張 帥 侯琬姣 張雪瑩 楊紅雙 徐桂芝

（河北工業(yè)大學(xué)河北省電磁場(chǎng)與電氣可靠性重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 天津 300401）

基于真實(shí)乳腺模型的感應(yīng)式磁聲成像正問題

張 帥 侯琬姣 張雪瑩 楊紅雙 徐桂芝

（河北工業(yè)大學(xué)河北省電磁場(chǎng)與電氣可靠性重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 天津 300401）

感應(yīng)式磁聲成像（MAT-MI）是一種融合電阻抗成像和超聲成像的多物理場(chǎng)成像技術(shù)。生物體結(jié)構(gòu)復(fù)雜，對(duì)生物體MAT-MI研究具有重要意義和臨床應(yīng)用價(jià)值。正問題計(jì)算是MAT-MI的前提和基礎(chǔ)，以MAT-MI建模與正問題求解為研究對(duì)象，分析了MAT-MI中磁聲耦合問題的原理，構(gòu)建了真實(shí)乳腺模型；利用廣義有限元法求解了電磁場(chǎng)和聲場(chǎng)正問題，獲取了聲源、聲壓分布，并對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了誤差分析。結(jié)果表明：真實(shí)模型與理想同心球模型相比，渦流密度和聲源的分布、聲壓均發(fā)生了較大變化，在臨床應(yīng)用的圖像重建中應(yīng)予以足夠重視。該計(jì)算方法可適用于真實(shí)模型MAT-MI正問題的求解，計(jì)算精度較高。

感應(yīng)式磁聲成像 真實(shí)乳腺模型 正問題 渦流分布 廣義有限元法

0 引言

目前，乳腺癌已成為我國(guó)女性最常見的惡性腫瘤之一，居女性惡性腫瘤死亡率的首位[1]。以大中城市的發(fā)病率為最高，現(xiàn)已步入每年2%～3%的快速增長(zhǎng)期。乳腺癌早期很少轉(zhuǎn)移，經(jīng)手術(shù)治療后，其10年的生存率可達(dá)90%以上，因此，乳腺癌的早期篩查非常重要。早發(fā)現(xiàn)、早治療能有效降低乳腺癌死亡率。目前常用的乳腺癌診斷設(shè)備（X射線、超聲成像、紅外成像、MRI等）不易區(qū)別早期腫瘤的良性與惡性，對(duì)于致密型乳腺檢查準(zhǔn)確率不高，有些檢測(cè)伴有電磁輻射且設(shè)備昂貴。這些不足限制了現(xiàn)有乳腺診斷設(shè)備作為乳腺癌早期篩查工具的廣泛應(yīng)用。

正常與病變組織之間電特性差異較大，乳腺組織的電特性檢測(cè)可提供被檢部位生理和病理信息[2]。感應(yīng)式磁聲成像（Magnetoacoustic Tomography with Magnetic Induction，MAT-MI）是一種以生物組織電導(dǎo)率為成像目標(biāo)，融合了超聲成像的功能成像技術(shù)，不僅具有非侵入性，而且兼具電阻抗成像良好的對(duì)比度與超聲成像高空間分辨率兩種優(yōu)勢(shì)[3]。

與電阻抗成像、磁感應(yīng)成像、磁共振電阻抗成像、磁聲成像、磁生電成像[3]和霍爾效應(yīng)成像等方法相比，MAT-MI可克服“屏蔽效應(yīng)”，甚至可穿透顱骨；MAT-MI對(duì)磁場(chǎng)均勻性和穩(wěn)定性的要求更低，可降低費(fèi)用并易于實(shí)現(xiàn)小型化。

近20年來，國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)MAT-MI作了一系列研究工作。B. J. Roth等以均勻?qū)щ娗蝮w為模型進(jìn)行磁聲成像方法研究，利用電流偶極子源簡(jiǎn)單分析了其聲源產(chǎn)生機(jī)制[4]。明尼蘇達(dá)大學(xué)的Xu Yuan等于2005年提出了MAT-MI理論[5]，計(jì)算了各向同性電導(dǎo)率球模型正問題聲源，并分析了聲壓分布，應(yīng)用時(shí)間反演算法重建了聲源；利用仿體實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)了不同電導(dǎo)率邊界區(qū)域的重建。Li Xu等使用雙層球模型進(jìn)行MAT-MI仿真，應(yīng)用標(biāo)量電勢(shì)和矢量磁勢(shì)規(guī)律分析了雙層同心球模型內(nèi)的感應(yīng)渦流場(chǎng)，并由差分離散公式??(J×B)計(jì)算了其數(shù)值解[6]。Ma Qingyu等將二維對(duì)稱多層均勻電導(dǎo)率樣本置于均勻分布的靜磁場(chǎng)和激勵(lì)磁場(chǎng)中，計(jì)算推導(dǎo)了二維對(duì)稱模型的聲源計(jì)算公式；利用聲場(chǎng)傳遞函數(shù)，計(jì)算了模型的空間聲場(chǎng)分布；針對(duì)多層介質(zhì)進(jìn)行了MATMI的聲源重建[7]。Xia Rongmin等應(yīng)用諧函數(shù)展開法推導(dǎo)了由理想矢量聲壓信號(hào)重建聲源公式[8]。2013年，L. Mariappan等提出利用矢量源重建電導(dǎo)率的方法，由聲壓信號(hào)通過矢量成像點(diǎn)傳播函數(shù)獲得感應(yīng)電流，進(jìn)而估算電導(dǎo)率分布圖像[9]。

在國(guó)內(nèi)，中國(guó)科學(xué)院電工所對(duì)磁聲成像技術(shù)進(jìn)行了系統(tǒng)研究，如利用聲壓-速度耦合方程、位移方程和弱形式處理洛倫茲力散度聲源三種方法，對(duì)MAT-MI正問題進(jìn)行了模擬[10]，設(shè)計(jì)了脈沖激勵(lì)磁場(chǎng)[11]。Guo Liang等利用互易定理研究了磁聲電成像方法[12]。中國(guó)協(xié)和醫(yī)科大學(xué)在MAT-MI模型[13]、基于聲換能器特性正問題求解[14]和樣本導(dǎo)電邊界提取等方面開展了深入的研究工作。李珣等利用時(shí)間反演算法進(jìn)行了電導(dǎo)率各向同性MAT-MI模型正問題計(jì)算[15]。周廉等提出了積分法處理出現(xiàn)奇異值電導(dǎo)率邊界的重建算法[16,17]。李宜令等研究了磁感應(yīng)磁聲成像的洛倫茲力重建問題[18]。郭余慶等利用聲偶極輻射模型解釋了邊界信號(hào)和反相振動(dòng)問題[19]。河北工業(yè)大學(xué)的Zhang Shuai等采用廣義有限元法，對(duì)MAT-MI正問題進(jìn)行了數(shù)值求解，有效地提高了計(jì)算精度[20]。

MAT-MI因其多場(chǎng)成像的特點(diǎn)，同時(shí)具備超聲邊界成像高空間分辨率和電特性功能成像高時(shí)間分辨率的優(yōu)勢(shì)，在乳腺特別是致密型乳腺檢測(cè)與成像中具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。已有文獻(xiàn)報(bào)道中，大多以理想球、同心球、偏心球、橢球等規(guī)則形態(tài)為模型進(jìn)行研究。但生物體結(jié)構(gòu)復(fù)雜，基于規(guī)則模型的仿真結(jié)果往往會(huì)有較大偏差。因此，本文構(gòu)建了三維真實(shí)乳腺模型，對(duì)MAT-MI正問題進(jìn)行仿真分析。重點(diǎn)考察模型形態(tài)差異對(duì)MAT-MI正問題計(jì)算中渦流密度分布、聲源和聲壓幅值的影響，獲取了高精度MAT-MI正問題數(shù)值解，為后續(xù)電導(dǎo)率圖像的精確重構(gòu)奠定了基礎(chǔ)。本文工作成果有望將MAT-MI的研究向臨床應(yīng)用推進(jìn)一步，為該技術(shù)的臨床應(yīng)用奠定良好基礎(chǔ)。

1 MAT-MI理論基礎(chǔ)

MAT-MI的原理為：將被檢測(cè)樣本置于靜態(tài)磁場(chǎng)和時(shí)變磁場(chǎng)內(nèi)，因時(shí)變磁場(chǎng)的激勵(lì)，在樣本中感應(yīng)出渦流；渦流與上述靜態(tài)磁場(chǎng)相互作用產(chǎn)生洛倫茲力，在組織內(nèi)引起聲振動(dòng)并以超聲波的形式向外傳播；由超聲換能器收集這些聲信號(hào)，依據(jù)相應(yīng)的算法，可實(shí)現(xiàn)對(duì)樣本內(nèi)電導(dǎo)率分布的重構(gòu)。

MAT-MI正問題是指由超聲信號(hào)產(chǎn)生的機(jī)制（主要包括由已知樣本的幾何結(jié)構(gòu)、電導(dǎo)率分布、激勵(lì)信號(hào)時(shí)頻特性和空間分布特性），求解樣本周圍的聲壓信號(hào)。

將各向同性電導(dǎo)率σ(r)的樣本（r是位置矢量）放置在磁通密度為B0(r)的靜磁場(chǎng)內(nèi)，該靜磁場(chǎng)通常由永磁體（如釹鐵硼）[21,22]提供。時(shí)變的激勵(lì)磁場(chǎng)為B1(r,t)，亦可通過矢量磁位A(r,t)的旋度表示，即B1(r,t)=?×A(r,t)[23]。在MAT-MI中，通常使用μs級(jí)的電流脈沖激勵(lì)，故感應(yīng)電磁場(chǎng)可看作準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng)[24]。進(jìn)而將時(shí)變場(chǎng)表示為空間變量r和時(shí)間t的函數(shù)，即B1(r,t)=B1(r)f(t)、A(r,t)=A(r)f(t)。此外，由于生物組織在MHz頻率附近位移電流遠(yuǎn)小于傳導(dǎo)電流，可忽略位移電流的作用，僅考慮組織傳導(dǎo)特性而忽略其介電特性。

2 仿真

本文通過建立同心球模型和真實(shí)乳腺模型，進(jìn)行了正問題仿真和對(duì)比分析。

2.1 同心球模型MAT-MI正問題計(jì)算

同心球模型球心位于（0.015, 0.017, 0）（m），內(nèi)層球半徑r1=0.01m，外層球半徑r2=0.05m，內(nèi)層球電導(dǎo)率σ1=0.9S/m，外層球電導(dǎo)率σ2=0.04S/m。利用與傳統(tǒng)有限元[25-27]不同的廣義有限元分析方法[20]進(jìn)行數(shù)值計(jì)算與仿真，以均勻介質(zhì)、靜磁場(chǎng)均勻分布為基礎(chǔ)，仿真樣本內(nèi)渦流場(chǎng)分布，進(jìn)而求解聲源、聲壓分布，最后基于聲速不變的條件求解樣本周圍聲壓分布。激勵(lì)磁場(chǎng)頻率為500kHz，脈寬為1μs，靜磁場(chǎng)強(qiáng)度為1T。

在z=0平面內(nèi)，感應(yīng)渦流矢量的x方向分量Jx和y方向分量Jy、聲源As和0°位置聲壓p(r,t)的計(jì)算結(jié)果如圖1～圖3所示。其中，聲壓的求解通過式（11）來完成。由圖1可見，感應(yīng)電流在內(nèi)部高電導(dǎo)率區(qū)域（內(nèi)球）較集中，外周幅值大，內(nèi)部幅值小，且在外周向內(nèi)部有減小趨勢(shì)。由圖2可知，腫瘤所在位置聲源與其周圍聲源差異顯著，內(nèi)外聲源幅值之比為22.49，與電導(dǎo)率之比22.5非常接近。由圖3可見，聲壓信號(hào)序列有四個(gè)明顯的負(fù)向峰值、一個(gè)明顯的正向峰值，且四個(gè)負(fù)向峰值出現(xiàn)的時(shí)間與模型內(nèi)外邊界和聲速有嚴(yán)格的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

為了驗(yàn)證所采用的一階廣義有限元法數(shù)值求解的精度，將數(shù)值解與同心球模型渦流矢量的解析解[6]進(jìn)行了對(duì)比分析，如圖4a所示；兩者的相對(duì)誤差如圖4b所示。下文的數(shù)值計(jì)算均采用與同心球模型相同的網(wǎng)格密度，可保證求解的精度。

圖1 渦流密度分布Fig.1 The distribution of eddy current

圖2 聲源As分布Fig.2 Distribution of acoustic sourceAs

圖3 0°位置聲壓p仿真曲線Fig.3 Diagram of acoustic pressurepat 0°

圖4x=-0.015m處渦流數(shù)值解與解析解的對(duì)比Fig.4 Comparison between numerical and analytical solutions of eddy current atx=-0.015m

2.2 三維真實(shí)乳腺模型

利用乳腺M(fèi)RI斷層圖像建立真實(shí)乳腺三維模型，步驟如下：①讀取MRI乳腺斷層圖像數(shù)據(jù)；②逐層對(duì)圖像進(jìn)行預(yù)處理、腐蝕、膨脹、開運(yùn)算和閉運(yùn)算，以得到圖像的外部輪廓；③圖像網(wǎng)格劃分，使每層都分割成具有相同數(shù)目的網(wǎng)格，并將二維圖像構(gòu)成三維乳腺實(shí)體。

在模型內(nèi)設(shè)置腫瘤組織，并對(duì)模型進(jìn)行廣義有限元離散，建立的三維模型如圖5所示。

2.3 腫瘤參數(shù)改變對(duì)正問題的影響

2.3.1 腫瘤半徑

設(shè)置乳腺組織的電導(dǎo)率參數(shù)σ2=0.04S/m，腫瘤組織的電導(dǎo)率參數(shù)σ1=0.9S/m，腫瘤中心位置為（-0.015, 0.017, 0）（m）。改變腫瘤半徑大小，即ra=0.01m、rb=0.005m、rc=0.002 5m，分別計(jì)算z=0平面內(nèi)，x方向渦流密度分量Jx、y方向渦流密度分量Jy、聲源As和0°位置聲壓p，仿真結(jié)果分別如圖6～圖9所示。

圖5 真實(shí)乳腺三維廣義有限元模型Fig.5 3D generalized finite element model of real breast

由圖6～圖9可以看出，腫瘤大小的改變，對(duì)感應(yīng)渦流密度的分布及幅值產(chǎn)生了較大影響，從而導(dǎo)致聲源、聲壓的分布及大小也發(fā)生了相應(yīng)的改變，內(nèi)部聲源邊界形態(tài)反映了腫瘤的邊界形狀。圖6、圖7中，腫瘤半徑越大，感應(yīng)渦流越集中在腫瘤位置。圖7a～圖7c的內(nèi)外聲源比分別為22.04、21.99和20.43，與內(nèi)外電導(dǎo)率之比22.5均非常接近，雖有一定程度的降低，但仍有足夠的分辨力。圖9所示的聲壓仿真曲線，第一和第四負(fù)向波峰幅值和相位保持了相對(duì)穩(wěn)定；第二和第三負(fù)向波峰的幅值隨腫瘤半徑的變小而減??；但正向波峰特征很明顯，即使在腫瘤半徑最小的圖9c中依然能清晰地將其分辨出。

圖6 腫瘤半徑對(duì)渦流密度分量Jx分布的影響Fig.6 Effect of tumor radium on distribution of eddy currentJx

圖7 腫瘤半徑對(duì)渦流密度分量Jy分布的影響Fig.7 Effect of tumor radium on distribution of eddy currentJy

圖8 腫瘤半徑對(duì)聲源As分布的影響Fig.8 Effect of tumor radium on distribution of acoustic sourceAs

圖9 腫瘤半徑對(duì)0°位置聲壓p仿真曲線的影響Fig.9 Effect of tumor radium on diagrams of acoustic pressurepat 0°

2.3.2 腫瘤電導(dǎo)率

設(shè)置腫瘤半徑r=0.01m，腫瘤中心位置為（-0.015, 0.017, 0）（m），乳腺組織的電導(dǎo)率參數(shù)σ2=0.04S/m。改變腫瘤電導(dǎo)率參數(shù)，即σ1a= 0.9S/m、σ1b=0.45S/m、σ1c=0.2S/m，分別計(jì)算z=0平面內(nèi)，x方向渦流密度分量Jx、y方向渦流密度分量Jy、聲源As和0°位置聲壓p，仿真結(jié)果分別如圖10～圖13所示。

圖10 腫瘤電導(dǎo)率對(duì)渦流密度分量Jx分布的影響Fig.10 Effect of tumor conductivity on distribution of eddy currentJx

圖11 腫瘤電導(dǎo)率對(duì)渦流密度分量Jy分布的影響Fig.11 Effect of tumor conductivity on distribution of eddy currentJy

圖12 腫瘤電導(dǎo)率對(duì)聲源As分布的影響Fig.12 Effect of tumor conductivity on distribution of acoustic sourceAs

圖13 腫瘤電導(dǎo)率對(duì)0°位置聲壓p仿真曲線的影響Fig.13 Effect of tumor conductivity on diagrams of acoustic pressurepat 0°

由10～圖13可看出，腫瘤電導(dǎo)率的改變，對(duì)感應(yīng)渦流密度的分布與幅值也有影響，從而導(dǎo)致聲源、聲壓曲線發(fā)生了相應(yīng)改變。由圖10、圖11發(fā)現(xiàn)，腫瘤電導(dǎo)率越大，在腫瘤位置及附近區(qū)域渦流密度的幅值也越大。圖12a～圖12c的內(nèi)外聲源比依次為22.04、10.59和4.69，與內(nèi)外電導(dǎo)率之比22.5、11.25和5非常接近。圖13所示的聲壓仿真信號(hào)中，正向波峰幅值隨腫瘤電導(dǎo)率的減小而略有減小，四個(gè)負(fù)向波峰相位均保持了穩(wěn)定，其中第三負(fù)向波峰幅值隨電導(dǎo)率的減小，分別減小了57%和90%，反映了電導(dǎo)率的下降幅度（分別為50%和78%）。

2.3.3 腫瘤位置

設(shè)置腫瘤半徑r=0.01m，乳腺組織的電導(dǎo)率參數(shù)σ2=0.04S/m。腫瘤組織的電導(dǎo)率參數(shù)σ1= 0.9S/m，改變腫瘤中心位置，即a（-0.015, 0.017, 0）、b（0, 0, 0）、c（-0.03, 0.025, 0）（單位：m），分別計(jì)算z=0平面內(nèi)，x方向渦流密度分量Jx、y方向渦流密度分量Jy、聲源As和0°位置聲壓p，仿真結(jié)果分別如圖14～圖17所示。

由圖14～圖17可看出，腫瘤位置的改變，對(duì)感應(yīng)渦流密度的幅值、分布均有較大影響，從而導(dǎo)致聲源分布、聲壓也發(fā)生了較大改變，且聲壓曲線的峰值特征也很明顯。圖16a～圖16c內(nèi)外聲源比依次為22.04、22.09和22.14，與內(nèi)外電導(dǎo)率之比22.5非常接近，且保持相對(duì)穩(wěn)定。圖17中，正向波峰的相位發(fā)生了明顯變化，第二和第三負(fù)向波峰的相位也發(fā)生了改變。其中，圖17b中第二負(fù)向波峰幅值顯著高于第三負(fù)向波峰幅值，圖17c中第三負(fù)向波峰幅值顯著高于第二負(fù)向波峰幅值，兩者幅值的相對(duì)差異反映了腫瘤與乳腺邊界的相對(duì)位置。

圖14 腫瘤位置對(duì)渦流密度分量Jx分布的影響Fig.14 Effect of tumor position on distributions of eddy currentJx

圖15 腫瘤位置對(duì)渦流密度分量Jy分布的影響Fig.15 Effect of tumor position on distributions of eddy currentJy

圖16 腫瘤位置對(duì)聲源As分布的影響Fig.16 Effect of tumor position on distributions of acoustic sourceAs

圖17 腫瘤位置對(duì)0°位置聲壓p仿真曲線的影響Fig.17 Effect of tumor position on diagrams of acoustic pressurepat 0°

3 結(jié)論

本文建立了真實(shí)乳腺?gòu)V義有限元模型，針對(duì)模型內(nèi)部腫瘤不同的半徑、電導(dǎo)率和位置三個(gè)參數(shù)，分別進(jìn)行了感應(yīng)渦流密度分布、聲源和聲壓的計(jì)算，得到了渦流密度兩個(gè)正交分量、聲源分布和聲壓仿真曲線。仿真結(jié)果表明，腫瘤大小、電導(dǎo)率以及位置的改變，對(duì)感應(yīng)渦流密度的分布及幅值均有影響，從而導(dǎo)致聲源、聲壓也有一定程度的改變。由聲源分布可以清晰地分辨出腫瘤所在位置，且聲壓曲線特征明顯，為下一步進(jìn)行MAT-MI逆問題精確求解創(chuàng)造了必要條件。

目前，MAT-MI技術(shù)的研究大多采用規(guī)則模型展開，例如，球模型、同心球模型、偏心球模型、橢球模型等。然而，生物體器官（如乳腺、頭部等），外部形態(tài)和內(nèi)部結(jié)構(gòu)相對(duì)較復(fù)雜，因此，模型的逼真程度對(duì)MAT-MI技術(shù)的研究和臨床應(yīng)用具有重要意義。從本文仿真研究結(jié)果看出，模型外部形態(tài)差異將直接導(dǎo)致感應(yīng)渦流密度分布及大小的變化，而在數(shù)值計(jì)算中，聲源與聲壓的計(jì)算都基于感應(yīng)渦流密度而進(jìn)行的；同時(shí)，逆問題中樣本電導(dǎo)率的重建依賴于精確的聲源和聲壓信號(hào)。因此，建立真實(shí)乳腺模型能夠獲取更符合實(shí)際的聲源和聲壓信號(hào)，可為后續(xù)準(zhǔn)確地重構(gòu)電導(dǎo)率圖像提供必要的參考數(shù)據(jù)，并奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)；同時(shí)也將MAT-MI技術(shù)向臨床應(yīng)用推進(jìn)一步。

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Forward Problem in Magnetoacoustic Tomography with Magnetic Induction Based on Real Model of Breast

Zhang Shuai Hou Wanjiao Zhang Xueying Yang Hongshuang Xu Guizhi
（Key Laboratory of Electromagnetic Field and Electrical Apparatus Reliability of Hebei Province Hebei University of Technology Tianjin 300401 China）

Magnetoacoustic tomography with magnetic induction (MAT-MI) is a new type of multi-physical, functional imaging modality, which combines the electrical impedance tomography with the sonography. Due to the complex structure, the MAT-MI imaging problems based on real model is of scientific and clinical significance. Wherein, the forward solver is the foundation of MAT-MI imaging. This paper addressed the problem for the modeling and forward solution of MAT-MI. The principle of coupling problem in MAT-MI was analyzed, and the real model of breast was reconstructed. Using generalized finite element method (GFEM), the forward problems of electromagnetic field and acoustic field were solved based on the real model of breast. The distributions of the acoustic source and acoustic pressure were obtained. The results show that in the real model, the distributions of the eddy current density and the acoustic source, as well as the profile of the acoustic pressure, changed remarkably, compared with the ideal two-layer concentric spheres model. It is suggested that the effects of the real model should be taken into account for image reconstruction in clinical application. Thanks to the high accuracy, the calculation method in this paper is applicable to solve the forward problem of MAT-MI.

Magnetoacoustic tomography with magnetic induction, real model of breast, forward problem, eddy current distribution, generalized finite element method

TM12

張 帥 男，1978年生，博士，副教授，研究方向?yàn)樯镫姶偶夹g(shù)。

E-mail: zs@hebut.edu.cn

徐桂芝 女，1962年生，博士，教授，研究方向?yàn)樯镫姶偶夹g(shù)。

E-mail: gzxu@hebut.edu.cn（通信作者）

國(guó)家自然科學(xué)基金（51077040），河北省自然科學(xué)基金（E2015202292、E2015202050），河北省高層次人才項(xiàng)目（C2015005012），河北省重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃自籌項(xiàng)目（15272002、15275704）和河北省高等學(xué)校自然科學(xué)青年拔尖人才項(xiàng)目（BJ2016013）資助。

2016-04-13 改稿日期 2016-05-23