杭永根

【課本原題】（蘇科版《數(shù)學》教科書九年級下冊第25頁例題）不畫圖像，判斷二次函數(shù)y=-x2+5x-8的圖像與x軸是否有公共點？

本題的求解比較容易，故從略.

【演變過程】這是判斷二次函數(shù)圖像與x軸交點情況的問題，我們知道x軸上的點的縱坐標都是0，即y=0.當y=0時二次函數(shù)y=ax2+bx+c就變成了一元二次方程ax2+bx+c=0，因此判定二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸的交點個數(shù)情況就轉(zhuǎn)化為判定一元二次方程ax2+bx+c=0實數(shù)根個數(shù)的情況，即由根的判別式Δ=b2-4ac的符號來確定：Δ>0[?]拋物線與x軸有兩個交點；Δ=0[?]拋物線與x軸有一個交點；Δ<0[?]拋物線與x軸沒有交點.還可應用求根公式和根的判別式等知識去尋找二次函數(shù)問題的求解途徑.反過來，也可構(gòu)造二次函數(shù)來解決方程問題.中考命題者常常在這兩個核心知識的交匯處設計試題.

【考題在線】

變式1：（2016·湖南永州）拋物線y=x2+2x+m-1與x軸有兩個不同的交點，則m的取值范圍是（ ）.

A.m<2 B.m>2

C.0

【思路分析】拋物線y=x2+2x+m-1與x軸有兩個不同交點，即對應的一元二次方程有兩個不等的實根，因此可由Δ>0確定m的取值范圍.

【解答】由題意可知方程x2+2x+m-1=0有兩個不等的實根，∴Δ=22-4（m-1）=8-4m>0，解得m<2，故選A.

【解后反思】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，應用這種聯(lián)系將二次函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題是解題的關鍵.

變式2：（2016·湖北荊州）若函數(shù)y=（a-1）·x2-4x+2a的圖像與x軸有且只有一個交點，則a的值為 .

【思路分析】由于題目中沒有說明是二次函數(shù)，因此需要分a=1、a≠1兩種情況進行分類思考，分別找出解題思路.

【解答】當a=1時，函數(shù)y=（a-1）x2-4x+2a=-4x+2，其圖像與x軸有交點；當a≠1時，由Δ=（-4）2-4×2a×（a-1）=0，解得a=2或-1.因此a的值為1、2或-1.

【解后反思】解決本題的關鍵是要明確函數(shù)的類型，進而分類運用相關的知識來求解.

變式3：（2016·四川瀘州）若二次函數(shù)y=2x2-4x-1的圖像與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0）兩點，則[1x1]+[1x2]的值為 .

【思路分析】首先根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的關系得到x1和x2是一元二次方程2x2-4x-1=0的兩個根，然后由根與系數(shù)的關系求出對稱式的值.

【解答】∵x1和x2是一元二次方程2x2-4x-1=0的兩個根，∴x1+x2=2，x1x2=[-12]，∴[1x1]+[1x2]=[x1+x2x1x2]=-4.

【解后反思】二次函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸交點的橫坐標就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，因此二次函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸交點的兩個橫坐標也滿足一元二次方程根與系數(shù)的關系.

變式4：（2016·江蘇泰州壓軸題）已知兩個二次函數(shù)y1=x2+bx+c和y2=x2+m.對于函數(shù)y1，當x=2時，該函數(shù)取最小值.

（1）求b的值；

（2）若函數(shù)y1的圖像與坐標軸只有2個不同的公共點，求這兩個公共點間的距離；

（3）若函數(shù)y1、y2的圖像都經(jīng)過點（1，-2），過點（0，a-3）（a為實數(shù)）作x軸的平行線，與函數(shù)y1、y2的圖像共有4個不同的交點，這4個交點的橫坐標分別是x1、x2、x3、x4，且x1

【思路分析】這是一道以一次函數(shù)和二次函數(shù)為背景的綜合題，難度適中，入口寬，解法多，考查一次函數(shù)、二次函數(shù)、一元二次方程、不等式（組）、勾股定理等核心知識和轉(zhuǎn)化、方程、分類、模型、配方等數(shù)學思想方法.

【解答】（1）由二次函數(shù)的對稱軸為x=2有x=[-b2]=2，∴b=-4.

（2）由函數(shù)y1的圖像與坐標軸只有2個不同的公共點，知有兩種情況：①圖像與x、y軸都只有一個公共點，此時Δ=0，解得c=4，兩個公共點分別為（2，0）、（0，4），∴兩公共點間的距離為[22+42=25]；②二次函數(shù)的圖像與y軸必有公共點，要使二次函數(shù)的圖像與坐標軸只有兩個公共點，則其中必有一個是原點，即c=0，此時y1=x2-4x，∴兩公共點間的距離為[x1-x2]=[x1+x22-4x1x2]=[42]=4.

（3）函數(shù)y1、y2的圖像都經(jīng)過點（1，-2），∴c=1，m=-3，∴y1=x2-4x+1，y2=x2-3，如圖所示.

①當a>0且a-3<-2，即0

由x2-4x+1=a-3有x2-4x+4-a=0，∴x3+x4=4，x3·x4=4-a，∴x4-x3=[x3+x42-4x3x4]

=[16-44-a]=[2a]，∴x4-x3+x2-x1=[2a]+[2a]

=[4a].∵0

②當a-3>-2，即a>1時，x2、x4在y1上，x1、x3在y2上，由x2-4x+1=a-3有x2-4x+4-a=0，∴x2+x4=4；由x2-3=a-3有x2-a=0，x1+x3=0，∴x4-x3+x2-x1=（x4+x2）-（x3+x1）=4-0=4.

∴綜上所述，x4-x3+x2-x1的最大值為4.

【解后反思】這里，第（1）題運用了轉(zhuǎn)化與方程思想，先由x=2時該函數(shù)取最小值轉(zhuǎn)化出二次函數(shù)的對稱軸為x=2，再利用二次函數(shù)的對稱軸為x=[-b2]，構(gòu)造出方程來求解.第（2）題運用了分類與轉(zhuǎn)化思想.先用分類思想找出了y1的圖像與坐標軸只有2個不同公共點的兩種情況，避免了漏解.然后，對情況①，將二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次方程來處理；對情況②，從兩個公共點中轉(zhuǎn)化出必有一個是原點，然后運用坐標軸上兩點間距離公式和根與系數(shù)關系，巧妙地將求兩公共點間的距離轉(zhuǎn)化為求代數(shù)式的值.第（3）題利用整體思想，在求出a的兩個不同取值范圍后，將x4-x3+x2-x1分別轉(zhuǎn)化為兩根之差與兩根之和，再利用由直線解析式和二次函數(shù)解析式得到的兩個方程，利用一元二次方程根與系數(shù)的關系分別求出兩根之差與兩根之和，然后整體代入，避免了對根的不同情況的討論，解題過程顯得比較簡捷.

（作者單位：江蘇省興化市戴澤初級中學）