屈聰,張水利,2

(1.平頂山學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,河南平頂山467000))

(2.湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,湖北武漢430062))

一般狀態(tài)空間馬氏鏈隨機泛函的指數(shù)矩

屈聰1,張水利1,2

(1.平頂山學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,河南平頂山467000))

(2.湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,湖北武漢430062))

本文研究了一般狀態(tài)空間馬氏鏈隨機泛函的指數(shù)矩.利用最小非負(fù)解理論,得到了隨機泛函的指數(shù)矩是相應(yīng)方程的最小非負(fù)解,推廣了可數(shù)狀態(tài)空間馬氏鏈的結(jié)果,作為應(yīng)用,證明了隨機泛函的指數(shù)矩與漂移條件等價.

馬氏鏈;隨機泛函;最小非負(fù)解

1 引言及主要結(jié)果

馬氏過程泛函的矩已有許多學(xué)者進行了研究,如王梓坤在文獻[1]中研究了連續(xù)時間可數(shù)狀態(tài)空間馬氏鏈(即Q過程)的隨機積分型泛函的矩;李俊平等在文獻[2]中研究了Markov骨架過程隨機積分型泛函的分布與矩;來向榮在文獻[3]中研究了非齊次生滅過程的積分型泛函;陳柳鑫等在文獻[4]中研究了非齊次(H,Q)過程隨機積分型泛函的分布與矩.而本文利用文獻[5]中最小非負(fù)解的一般理論,研究了一般狀態(tài)空間馬氏鏈的隨機泛函的指數(shù)矩,作為應(yīng)用,得到了一般狀態(tài)空間馬氏鏈的矩條件與漂移條件等價.

設(shè)E是局部緊可分度量空間,E是E上的Borel σ代數(shù),P:E×E→[0,1]是轉(zhuǎn)移概率核,Φ={Φn,n≥0}以P為轉(zhuǎn)移核的馬氏鏈.對任意的A∈E,E上的非負(fù)實值可測函數(shù)V,以及x∈E,記

定義1.1[6]稱馬氏鏈Φ={Φn,n≥0}是φ不可約的,若存在σ有限測度φ,當(dāng)φ(A)＞0,有Px(τA＜∞)＞0,?x∈E.

注1.2由文獻[6]中的命題4.2.2可知若馬氏鏈Φ={Φn,n≥0}是φ不可約的,則一定存在最大不可約概率測度ψ(即對任意其它不可約測度ν,都有ν關(guān)于ψ絕對連續(xù)).令E+={A∈E:ψ(A)＞0}.

定義1.3[6]稱集合A是Harris常返的,若Q(x,A)=Px(ηA=∞)=1,x∈A.稱馬氏鏈Φ={Φn,n≥0}是Harris常返的,若馬氏鏈?zhǔn)铅撞豢杉s的,且E+中的每一個集合都是Harris常返的.

如果沒有特別說明,總是假設(shè)馬氏鏈Φ={Φn,n≥0}是Harris常返的.本文的主要結(jié)果是

定理1.4設(shè)Φ={Φn,n≥0}是(E,E)上的馬氏鏈,常數(shù)r＞1,C∈E+,函數(shù)f:E→[0,∞),則隨機泛函的指數(shù)矩是方程

的最小非負(fù)解.

推論1.5隨機泛函的指數(shù)矩{GC(x,f,r)=是方程

的最小非負(fù)解.

應(yīng)用定理1.4,我們得到了下面的矩條件與漂移條件等價.

定理1.6設(shè)Φ={Φn,n≥0}是(E,E)上的馬氏鏈,r＞1,C∈E+,函數(shù)f:E→[0,∞),在集合C上有界,則下列兩個條件等價

(1)方程

有幾乎處處(關(guān)于ψ)有限非負(fù)解.

注1.7對于連續(xù)時間可數(shù)狀態(tài)空間馬氏鏈{Xt,t≥0},B是一個非空有限子集,則集合B的首次返回時的指數(shù)矩在集合B上有界等價于從集合B中任一個狀態(tài)出發(fā),首次返回此狀態(tài)的指數(shù)矩是有限的,即＜∞,j∈B,其中表示馬氏鏈{Xt,t≥0}第一次跳躍時刻.利用此性質(zhì),證明了可數(shù)狀態(tài)空間馬氏鏈的漂移條件與矩條件等價(見文[7],§6.6,引理6.4).而一般狀態(tài)空間馬氏鏈沒有類似的性質(zhì),本文利用隨機泛函的指數(shù)矩是相應(yīng)方程的最小非負(fù)解,證明了一般狀態(tài)空間馬氏鏈的矩條件與漂移條件等價.

2 定義及引理

定義2.1[6]稱集合A∈E是滿集,若ψ(Ac)=0.稱集合A∈E是吸收集,若P(x,A)=1,?x∈A.

引理2.2[6]設(shè)馬氏鏈?zhǔn)铅撞豢杉s的,則每個非空的吸收集都是滿集.

引理2.3[6]設(shè)馬氏鏈Φ={Φn,n≥0}是Harris常返的,則對任意的x∈E,B∈E+,有Px(ηB=∞)=1,更有Px(τB＜∞)=1.

令A(yù):={A:H→H,A是一個錐射,當(dāng)fn∈H,fn↑f?Afn↑Af}.

定義2.4[5]給定A∈A,g∈H,稱f?為方程

的最小非負(fù)解,若f?滿足(2.1)式且對于任何滿足(2.1)式的都有

引理2.5[5]方程(2.1)的最小非負(fù)解一定存在并且唯一.進一步,最小非負(fù)解可以通過下面遞推方法構(gòu)造:令

則當(dāng)n→∞時,f(n)↑f?.

引理2.6[5](局部化定理)設(shè)U是一個非負(fù)可測核,{f?(x),x∈E}是方程

的最小非負(fù)解,則有

引理2.7[5]設(shè)A,∈A,g,∈H,滿足是方程(2.1)的最小非負(fù)解,則方程

設(shè)C∈E+,令?n≥1,則有由引理2.3及單調(diào)收斂定理,有

引理2.8沿用上面的記號,?x∈E,有下面的遞推公式

證當(dāng)n=1時,=min{τC,1}=1,所以

用θ表示通常的漂移算子.注意到,在τC＞1時,有τC=θτC+1,因此

由馬氏性,對任意的n≥1,有

3 主要結(jié)果的證明

定理1.4的證明令

下面利用歸納法證明,?n≥1,x∈E,都有

當(dāng)n=1時,由(2.2)式,有

即n=1時,(3.1)式成立.

即n=k+1時,(3.1)式仍成立.由引理2.5可知,方程(1.1)的最小非負(fù)解為

推論1.5的證明由定理1.4及局部化定理(引理2.6)可知結(jié)論成立.

定理1.6的證明(1)?(2)令

當(dāng)x∈Cc時,由推論1.5,有

由定理1.4可知

由(3.4),(3.5)式以及函數(shù)f在集合C上有界,有

當(dāng)x∈C時,由定理1.4以及f的非負(fù)性,有

由(3.3),(3.6)式以及f的非負(fù)性,有

矛盾,因此?x∈S,都有P(x,Sc)=0,即S是馬氏鏈的吸收集.由?C?S以及引理2.2可知,集合S是滿集,即Ψ(S)=1,因此(x)是幾乎處處有限的非負(fù)函數(shù).由(3.3),(3.7)式可知,是方程(1.2)的幾乎處處有限非負(fù)解.證畢.

[1]王梓坤.生滅過程與馬爾可夫鏈(第二版)[M].北京:科學(xué)出版社,2004.

[2]李俊平,侯振挺.Markov骨架過程積分型泛函的分布與矩及其應(yīng)用舉例[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報,2001, 24(2):277–283.

[3]來向榮.非齊次生滅過程的積分型泛函[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報,1994,11(2):69–75.

[4]陳柳鑫,李俊平,侯振挺.非齊次(H,Q)過程積分型泛函的分布與矩[J].長沙鐵道學(xué)院學(xué)報,2000, 18(3):81–85.

[5]Chen Mufa.From markov chains to non-equilibrium particle systems(2nd ed.)[M].Singapore:World Scientific,2004.

[6]Meyn S P,Tweedie R L.Markov chains and stochastic stability[M].London:Springer-Verlag,1992.

[7]Anderson W J.Continuous-time markov chains:an applications-oriented approach[M].New York: Springer-Verlag,1991.

[8]胡迪鶴.隨機過程論:基礎(chǔ),理論,應(yīng)用[M].武漢:武漢大學(xué)出版社,2005.

[9]徐侃,張紹義.Markov耦合與Markov過程的遍歷性[J].數(shù)學(xué)雜志,2001,21(3):315–318.

[10]高振龍,王偉剛,胡迪鶴.隨機環(huán)境中馬氏鏈轉(zhuǎn)移函數(shù)的收斂性[J].數(shù)學(xué)雜志,2008,28(5):546–550.

THE MOMENTS OF EXPONENTIAL OF STOCHASTIC FUNCTIONAL FOR MARKOV CHAINS ON GENERAL STATE SPACE

QU Cong1,ZHANG Shui-li1,2
(1.Institute of Mathematics and Information Science,Pingdingshan University, Pingdingshan 467000,China)
(2.Institute of Mathematics and Statistics,Hubei University,Wuhan 430062,China)

In this paper,we research the exponential moments of stochastic functional for markov chains on general state space.By using the theory of minimal nonnegative solutions, we obtain the minimal nonnegative solutions to the corresponding equation is the exponential moments of stochastic functional,the results for markov chains on denumerable space are enlarged, as application,the equivalence between the exponential moments of stochastic functional and drift condition,are proved.

Markov chains;stochastic functional;minimal nonnegative solutions

tion:60J05

O211.62

A

0255-7797(2017)01-0145-07

2014-01-21接收日期:2014-10-16

河南省教育廳科學(xué)技術(shù)研究重點項目資助(14B110038).

屈聰(1981–),女,河南南陽,講師,研究方向:概率論與數(shù)理統(tǒng)計.

張水利.