任 劍，成鵬飛，周向紅

1.湖南大學(xué) 工商管理學(xué)院，長沙 410082

2.湖南商學(xué)院 湖南省移動電子商務(wù)協(xié)同創(chuàng)新中心，長沙 410205

3.湖南科技大學(xué) 管理學(xué)院，湖南 湘潭 411201

IPOWA算子及其在正態(tài)隨機(jī)多準(zhǔn)則決策中的應(yīng)用*

任 劍1,2，成鵬飛3+，周向紅3

1.湖南大學(xué) 工商管理學(xué)院，長沙 410082

2.湖南商學(xué)院 湖南省移動電子商務(wù)協(xié)同創(chuàng)新中心，長沙 410205

3.湖南科技大學(xué) 管理學(xué)院，湖南 湘潭 411201

REN Jian,CHENG Pengfei,ZHOU Xianghong.IPOWA operator and its application in normal stochastic multi-criterion decision-making.Journal of Frontiers of Computer Science and Technology,2017,11(1):155-162.

現(xiàn)實(shí)中，很多現(xiàn)象近似服從正態(tài)分布。為了解決準(zhǔn)則值為正態(tài)隨機(jī)變量且決策者風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度不確定的多準(zhǔn)則決策問題，提出了一種基于區(qū)間可能有序加權(quán)平均（interval possible ordered weighted averaging，IPOWA）算子與可能性系數(shù)的方法。通過正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合方法，算出各方案的線性加權(quán)正態(tài)隨機(jī)變量。根據(jù)正態(tài)隨機(jī)變量的3σ原則，將線性加權(quán)正態(tài)隨機(jī)變量轉(zhuǎn)化為隨機(jī)區(qū)間數(shù)。對隨機(jī)區(qū)間數(shù)進(jìn)行兩兩比較，得到可能度矩陣，利用區(qū)間可能有序加權(quán)平均算子，集結(jié)可能度矩陣中每行元素的值。采用風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的可能性系數(shù)，計(jì)算各方案的綜合評價(jià)值，進(jìn)而確定各方案的最終排序。最后，通過兩個(gè)算例的對比分析，表明所提方法具有排序結(jié)果穩(wěn)定，支持信息充分等特點(diǎn)。

多準(zhǔn)則決策；正態(tài)隨機(jī)變量；區(qū)間可能有序加權(quán)平均算子；可能度矩陣；風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的可能性系數(shù)

1 引言

正態(tài)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)總體上呈現(xiàn)“兩頭低，中間高”的特征，在數(shù)學(xué)、物理及工程等領(lǐng)域有著很重要的理論價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值。中心極限定理指出：大多數(shù)獨(dú)立同分布的隨機(jī)事件，整體上服從正態(tài)分布。在實(shí)際隨機(jī)多準(zhǔn)則決策中，若缺乏對準(zhǔn)則值隨機(jī)性的深入了解以及無法獲取充足決策信息，則隨機(jī)準(zhǔn)則值的概率或概率密度函數(shù)難以確定。此時(shí)，可將大多數(shù)隨機(jī)準(zhǔn)則值近似為服從正態(tài)分布。由于這種方式在處理隨機(jī)不確定性上更具靈活性和實(shí)用性，引起眾多學(xué)者的關(guān)注。

在正態(tài)隨機(jī)多準(zhǔn)則決策領(lǐng)域，主要有以下研究方法：（1）仿真法。劉琳等人采用模糊隨機(jī)仿真法得到正態(tài)分布區(qū)間屬性值的綜合評估值[1]。（2）算子法。王堅(jiān)強(qiáng)等人提出一種基于方案貼近度與加權(quán)連續(xù)區(qū)間有序加權(quán)平均（weighted continuous-intervalargument ordered weighted averaging，WC-OWA）算子的正態(tài)隨機(jī)多準(zhǔn)則決策方法[2]。汪新凡等人定義了正態(tài)分布區(qū)間數(shù)的加權(quán)算術(shù)平均（weighted arithmetic averaging，WAA）算子、有序加權(quán)平均（ordered weighted averaging，OWA）算子和混合加權(quán)平均（hybrid weighted averaging，HWA）算子，求解正態(tài)分布區(qū)間多準(zhǔn)則群決策問題[3]。（3）Outranking法。姜廣田等人先后運(yùn)用PROMETHEE法、隨機(jī)占優(yōu)關(guān)系與ELECTREⅢ法求解正態(tài)隨機(jī)多準(zhǔn)則決策問題[4-5]。（4）可能度法。徐改麗等人根據(jù)離差最大化原理確定準(zhǔn)則權(quán)重，利用可能度法對正態(tài)分布區(qū)間數(shù)進(jìn)行排序[6]。（5）行為決策法。陳振頌等人基于前景均值-方差準(zhǔn)則，求解正態(tài)三角模糊隨機(jī)多屬性決策問題[7]。上述方法大多數(shù)結(jié)合區(qū)間數(shù)或模糊數(shù)的性質(zhì)，處理正態(tài)分布的準(zhǔn)則值，且考慮了準(zhǔn)則權(quán)重不完全確定或未知情形，較好解決了正態(tài)隨機(jī)多準(zhǔn)則決策問題。然而，對于決策者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度由于情緒、環(huán)境等變化可能導(dǎo)致的不確定性，沒有深入探討。

連續(xù)型信息集結(jié)算子可有效處理正態(tài)分布的準(zhǔn)則值，且考慮了決策者風(fēng)險(xiǎn)偏好、風(fēng)險(xiǎn)中立、風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避等類型，在正態(tài)隨機(jī)多準(zhǔn)則決策領(lǐng)域有著很好的應(yīng)用前景。最常見的是連續(xù)區(qū)間有序加權(quán)平均（continuous-interval-argument ordered weighted averaging, C-OWA）算子及其拓展形式。Yager為了集結(jié)區(qū)間數(shù)，提出C-OWA算子[8]。徐澤水基于此，定義了加權(quán)C-OWA（WC-OWA）算子，用來處理兩個(gè)以上區(qū)間的數(shù)據(jù)集結(jié)[9]。Yager等人定義了（continuous ordered weighted geometric,C-OWG）算子，應(yīng)用于具有區(qū)間乘性偏好關(guān)系的決策中[10]。Zarghamia等人提出模糊隨機(jī)修正OWA算子進(jìn)行不確定性多準(zhǔn)則決策，并應(yīng)用于流域管理中[11]。Zhou等人定義了連續(xù)泛型OWA算子、加權(quán)連續(xù)泛型OWA算子、有序加權(quán)連續(xù)泛型OWA算子、組合連續(xù)泛型OWA算子、組合連續(xù)泛型丘奎特積分集結(jié)（combined continuous generalized Choquet integral aggregation,CC-GCIA）算子，并利用這些拓展的連續(xù)泛型OWA算子進(jìn)行有區(qū)間數(shù)的群決策[12]。Zeng等人定義了不確定概率有序加權(quán)平均距離（uncertain probabilistic ordered weighted averaging distance,UPOWAD）算子，應(yīng)用于區(qū)間多準(zhǔn)則群決策問題中[13]。上述算子已經(jīng)成功應(yīng)用于區(qū)間數(shù)決策問題中。鑒于正態(tài)隨機(jī)變量可近似轉(zhuǎn)化為區(qū)間數(shù)，本文定義了區(qū)間可能有序加權(quán)平均（interval possible ordered weighted averaging，IPOWA）算子，考慮決策者的不同風(fēng)險(xiǎn)偏好類型及其可能性系數(shù)，構(gòu)建相應(yīng)的正態(tài)隨機(jī)多準(zhǔn)則決策方法，并應(yīng)用于城市雨澇災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn)承受能力綜合評估問題和多指標(biāo)電力零售商選擇問題中進(jìn)行算例分析。

2 正態(tài)隨機(jī)變量

2.1 正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合方法

定理1[14]若有n個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量，則服從正態(tài)分布。

定理2[14]若有n個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量，則服從正態(tài)分布。

2.2 正態(tài)隨機(jī)變量的3σ原則

在準(zhǔn)則值為正態(tài)隨機(jī)變量的多準(zhǔn)則決策中，若決策者無法獲得更多準(zhǔn)則的取值信息，則可將正態(tài)隨機(jī)變量近似為有限區(qū)間上服從均勻分布的隨機(jī)變量，可用區(qū)間數(shù)α=[αL,αR]表示這樣的隨機(jī)有限區(qū)間，滿足下列條件[2]：

3 IPOWA算子

4 風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的可能性系數(shù)

通常，決策者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度會根據(jù)不同的決策情景表現(xiàn)出不確定性。例如：當(dāng)股市低迷時(shí)，大多數(shù)中小股民減少股票投資；當(dāng)股市趨好時(shí)，大多數(shù)中小股民加大股票投資。因此，引入風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的可能性系數(shù)。

定義4設(shè)α為風(fēng)險(xiǎn)偏好的可能性系數(shù)，β為風(fēng)險(xiǎn)中立的可能性系數(shù)，γ為風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避的可能性系數(shù)，其中α，β，γ∈[0 ,1]，且α+β+γ=1。

風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的可能性系數(shù)可以根據(jù)歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)、行為實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、主觀概率估計(jì)等方式獲得。

基于風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的可能性系數(shù)，方案ai的綜合評價(jià)值為(i∈M)：

5 IPOWA算子在正態(tài)隨機(jī)多準(zhǔn)則決策中的應(yīng)用

5.1 問題描述

在某一個(gè)多準(zhǔn)則決策問題中，設(shè)有m個(gè)備選方案，記為A={a1,a2,…,am}；n個(gè)相互獨(dú)立的評價(jià)準(zhǔn)則，記為C={C1,C2,…,Cn}；W=(w1,w2,…,wn)表示準(zhǔn)則權(quán)重向量，wj是準(zhǔn)則Cj的權(quán)重(j∈N)，0≤wj≤1且；正態(tài)隨機(jī)決策矩陣記為NSDM=(xij)m×n，xi(i∈M)是正態(tài)隨機(jī)變量集，表示方案ai在準(zhǔn)則集C下的優(yōu)劣表現(xiàn)，xij(i∈M,j∈N)是正態(tài)隨機(jī)變量，表示方案ai在準(zhǔn)則Cj下的優(yōu)劣表現(xiàn)；確定方案集A的排序。

5.2 決策步驟

步驟1根據(jù)正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合方法，利用定理2，求得方案ai在準(zhǔn)則集C下的線性加權(quán)正態(tài)隨機(jī)變量yi服從正態(tài)分布。

步驟2根據(jù)正態(tài)隨機(jī)變量的3σ原則，利用式（1）和式（2），將線性加權(quán)正態(tài)隨機(jī)變量yi轉(zhuǎn)化為隨機(jī)區(qū)間數(shù)。

步驟3利用定義2，對隨機(jī)區(qū)間數(shù)αi進(jìn)行兩兩比較(i∈M)，得到可能度矩陣P=(pij)m×m。

步驟4利用定義3，求得、。

步驟5確定風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的可能性系數(shù)α、β、γ，利用式（4），計(jì)算方案ai的綜合評價(jià)值CEV(ai)(i∈M)。

步驟6根據(jù)CEV(ai)(i∈M)的大小，對方案集A進(jìn)行排序。

Table 1 Normal stochastic decision-making matrix表1 正態(tài)隨機(jī)決策矩陣

6 算例分析

6.1 城市雨澇災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn)承受能力綜合評估的算例分析

近年來，由于極端氣候及我國城市“攤大餅式”建設(shè)等原因，導(dǎo)致城市雨澇災(zāi)害頻發(fā)，造成嚴(yán)重的財(cái)產(chǎn)損失，危及人民生命安全，城市雨澇災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn)承受能力評估已成為亟待破解的新難題。某市水務(wù)管理部門決策者對本市3個(gè)城市片區(qū)A={a1,a2,a3}的雨澇災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn)承受能力進(jìn)行綜合評估?；诔蔀?zāi)模式分析，確定評估雨澇災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn)承受能力的指標(biāo)體系C= {C1,C2,…,C6}：滲水能力C1、蓄水能力C2、排水能力C3、用水能力C4、救援能力C5、治水能力C6。指標(biāo)權(quán)重向量W=(0.12,0.15,0.18,0.25,0.20,0.10)。正態(tài)隨機(jī)決策矩陣如表1所示。試評估各城市片區(qū)的雨澇災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn)承受能力。

利用定理2，求得方案ai在準(zhǔn)則集C下的線性加權(quán)正態(tài)隨機(jī)變量yi(i∈M={1,2,3})如表2所示。

Table 2 Linear weighted normal stochastic variablesyi(i∈M)表2 線性加權(quán)正態(tài)隨機(jī)變量yi(i∈M)

利用式（1）和式（2），將線性加權(quán)正態(tài)隨機(jī)變量yi轉(zhuǎn)化為隨機(jī)區(qū)間數(shù)αi(i∈M)如表3所示。

Table 3 Stochastic interval numbersαi(i∈M)表3 隨機(jī)區(qū)間數(shù)αi(i∈M)

得到可能度矩陣P=(pij)3×3如表4所示。

Table 4 Possible degree matrixP表4 可能度矩陣P

根據(jù)決策者不同的風(fēng)險(xiǎn)偏好進(jìn)行處理：當(dāng)決策者為風(fēng)險(xiǎn)偏好型時(shí)，取Q1(x)=x12，ω1≈(0.577 4,0.239 1, 0.183 5)；當(dāng)決策者為風(fēng)險(xiǎn)中立型時(shí)，取Q2(x)=x，ω2≈(0.333 3,0.333 3,0.333 3)；當(dāng)決策者為風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避型時(shí)，取Q3(x)=x2，ω3≈(0.111 1,0.333 3,0.555 6)。

Table 5 Result by interval possible ordered weighted averaging operator表5 區(qū)間可能有序加權(quán)平均算子的計(jì)算結(jié)果

Table 5 Result by interval possible ordered weighted averaging operator表5 區(qū)間可能有序加權(quán)平均算子的計(jì)算結(jié)果

風(fēng)險(xiǎn)偏好型IPOWAQ21 2 3ω1風(fēng)險(xiǎn)中立型IPOWAQ1ω2風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避型IPOWAQ2ω3p1p2p3 0.408 0 0.785 9 0.502 6 0.342 8 0.722 0 0.435 3 0.259 5 0.638 7 0.348 9

利用本文方法獲得方案ai(i∈M)的排序結(jié)果，如表6所示。

Table 6 Ranking result of alternatives by IPOWAoperator表6 IPOWA算子得到的方案排序結(jié)果

Table 7 Comprehensive evaluation value表7 綜合評價(jià)值

方案集A的排序結(jié)果為：。

下面對本算例進(jìn)行比較分析。

隨機(jī)模擬法是最常用的處理隨機(jī)變量的方法。文獻(xiàn)[16]提出一種云加權(quán)算術(shù)平均（cloud weighted arithmetic averaging，CWAA）算子集結(jié)云模型，并利用隨機(jī)模擬法處理集結(jié)云模型。云模型是一種泛型的正態(tài)隨機(jī)變量。根據(jù)類似思路，對表2中的線性加權(quán)正態(tài)隨機(jī)變量yi，以10為增量，隨機(jī)模擬10次到1 000次，并計(jì)算每回的均值，可得結(jié)果如圖1所示。從圖1中不難發(fā)現(xiàn)：y1、y2、y3的模擬結(jié)果較為穩(wěn)定，即a2?a3?a1。

Fig.1 Result of stochastic simulation method圖1 隨機(jī)模擬法的結(jié)果

區(qū)間數(shù)可能度矩陣的排序向量法是較常用的比較區(qū)間數(shù)優(yōu)劣的方法[6]。

可能度矩陣P=(pij)m×m的排序公式為：

利用式（5）可得排序向量K=(k1,k2,…,km)，比較ki(i∈M)的大小可得區(qū)間數(shù)的排序。

根據(jù)上述方法，求得表4中可能度矩陣P的排序向量K=(0.254 7,0.444 3,0.301 0)，并得到方案的排序結(jié)果：。

比較隨機(jī)模擬法、排序向量法、IPOWA算子法的排序情況，可得以下結(jié)論：

（1）三者得到了較一致的排序結(jié)果；

（2）隨機(jī)模擬法只考慮了決策者風(fēng)險(xiǎn)中立的情形，且沒有指示排序可能性大小的輔助信息；

（3）排序向量法具有指示排序可能性大小的輔助信息，但沒有考慮決策者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度；

（4）IPOWA算子法既有指示排序可能性大小的輔助信息，也考慮了決策者的不同風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度及其動態(tài)變化，另外所得排序結(jié)果的離差較大，對方案的區(qū)分度較好。

6.2 多指標(biāo)電力零售商選擇的算例分析

為了更進(jìn)一步檢驗(yàn)本文方法的性能，下面利用文獻(xiàn)[5]中的算例數(shù)據(jù)進(jìn)行對比分析。

當(dāng)決策者為風(fēng)險(xiǎn)偏好型時(shí)，取Q′1(x)=x13，ω′1≈(0.480 7,0.125 0,0.087 7,0.069 8,0.058 9,0.051 5,0.046 1, 0.041 9,0.038 5)；當(dāng)決策者為風(fēng)險(xiǎn)中立型時(shí)，取Q′2(x)=x,ω′2≈(0.1111,0.1111,0.1111,0.1111,0.1111,0.111 1, 0.111 1,0.111 1,0.111 1)；當(dāng)決策者為風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避型時(shí)，取Q′3(x)=x3，ω′3≈(0.001 4,0.009 6,0.026 1,0.050 8, 0.083 7,0.124 8,0.174 2,0.231 8,0.297 7)。

利用本文方法獲得方案ai(i∈M)的排序結(jié)果為：

（1）若決策者為風(fēng)險(xiǎn)偏好型

（2）若決策者為風(fēng)險(xiǎn)中立型

Table 8 Result by interval possible ordered weighted averaging operator表8 區(qū)間可能有序加權(quán)平均算子的計(jì)算結(jié)果

Table 8 Result by interval possible ordered weighted averaging operator表8 區(qū)間可能有序加權(quán)平均算子的計(jì)算結(jié)果

風(fēng)險(xiǎn)偏好型IPOWAQ′31 2 3ω′1風(fēng)險(xiǎn)中立型IPOWAQ′1ω′2風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避型IPOWAQ′3ω′3p′1p′2p′3p′4p′5p′6p′7p′8p′9 0.558 7 0.555 2 0.418 1 0.565 9 0.711 5 0.567 6 0.574 8 0.575 1 0.580 6 0.496 1 0.488 1 0.350 1 0.499 0 0.645 1 0.501 1 0.503 0 0.508 8 0.508 9 0.452 8 0.441 3 0.301 2 0.452 5 0.598 2 0.454 9 0.453 1 0.462 8 0.459 1

（3）若決策者為風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避型

在各種風(fēng)險(xiǎn)偏好情況下：決策者為風(fēng)險(xiǎn)偏好型和風(fēng)險(xiǎn)中立型時(shí)，排序結(jié)果完全一致；決策者為風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避型時(shí)，排序結(jié)果與前兩種情況總體相近。在a8與a9、a6與a7、a1與a4三對方案上，的優(yōu)劣順序相同，但三對方案內(nèi)出現(xiàn)逆序，比較三對方案內(nèi)兩個(gè)方案間的排序可能度，均非常接近0.5，因此三對方案內(nèi)兩個(gè)方案間優(yōu)劣相當(dāng)。

當(dāng)綜合三種情況時(shí)，可得方案集排序結(jié)果為：

通過本文方法與文獻(xiàn)[5]的排序結(jié)果對比可知：兩者排序結(jié)果總體相近，本文方法不需要準(zhǔn)則閾值等輔助決策信息，計(jì)算步驟清晰，過程簡便。在a7與a8、a4與a6、a1與a2三對方案上，的優(yōu)劣順序相同，但三對方案內(nèi)出現(xiàn)逆序，比較三對方案內(nèi)兩個(gè)方案間的排序可能度，均非常接近0.5，因此三對方案內(nèi)兩個(gè)方案間優(yōu)劣相當(dāng)。

綜上分析，本文方法比傳統(tǒng)方法具有更好的排序結(jié)果和分析手段，性能優(yōu)良。

7 結(jié)束語

本文介紹了正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合方法和3σ原則，在分析有序加權(quán)平均算子的性質(zhì)后，定義了IPOWA算子與風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的可能性系數(shù)，并提出了一種基于IPOWA算子與可能性系數(shù)的正態(tài)隨機(jī)多準(zhǔn)則決策方法。最后通過兩個(gè)算例的對比分析，顯示本文方法具有以下優(yōu)點(diǎn)：（1）將OWA算子引入?yún)^(qū)間數(shù)排序的可能度方法中，考慮決策者風(fēng)險(xiǎn)偏好、風(fēng)險(xiǎn)中立、風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避三種風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度；（2）引入風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的可能性系數(shù)，考慮不同決策情景引起決策者風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度不確定的情形；（3）排序結(jié)果穩(wěn)定性較高，且有更多決策支持信息，如排序可能度，可進(jìn)行決策結(jié)果分析。

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REN Jian was born in 1979.He received the Ph.D.degree in management science and engineering from Central South University in 2010.Now he is an associate professor and M.S.supervisor at Hunan University of Commerce. His research interests include electronic commerce,decision theory and method,etc.

任劍（1979—），男，湖南岳陽人，2010年于中南大學(xué)管理科學(xué)與工程專業(yè)獲得博士學(xué)位，目前在湖南大學(xué)從事博士后研究工作，湖南商學(xué)院副教授、碩士生導(dǎo)師，主要研究領(lǐng)域?yàn)殡娮由虅?wù)，決策理論與方法等。

CHENG Pengfei was born in 1969.He received the Ph.D.degree in management science and engineering from Central South University in 2008.Now he is a professor and M.S.supervisor at Hunan University of Science and Technology.His research interests include electronic commerce,decision theory and method,etc.

成鵬飛（1969—），男，湖南湘鄉(xiāng)人，2008年于中南大學(xué)管理科學(xué)與工程專業(yè)獲得博士學(xué)位，現(xiàn)為湖南科技大學(xué)教授、碩士生導(dǎo)師，主要研究領(lǐng)域?yàn)殡娮由虅?wù)，決策理論與方法等。

ZHOU Xianghong was born in 1981.He received the Ph.D.degree in management science and engineering from Central South University in 2015.Now he is a lecturer at Hunan University of Science and Technology.His research interests include electronic commerce,decision theory and method,etc.

周向紅（1981—），男，湖南新邵人，2015年于中南大學(xué)管理科學(xué)與工程專業(yè)獲得博士學(xué)位，現(xiàn)為湖南科技大學(xué)講師，主要研究領(lǐng)域?yàn)殡娮由虅?wù)，決策理論與方法等。

IPOWAOperator and ItsApplication in Normal Stochastic Multi-Criterion Decision-Making*

REN Jian1,2,CHENG Pengfei3+,ZHOU Xianghong3
1.School of Business,Hunan University,Changsha 410082,China
2.Mobile E-business Collaborative Innovation Center of Hunan Province,Hunan University of Commerce,Changsha 410205,China
3.School of Management,Hunan University of Science and Technology,Xiangtan,Hunan 411201,China
+Corresponding author:E-mail:chengpengfei69@126.com

In reality,most of the phenomena can approximately obey the normal distribution.In order to solve multicriterion decision-making problems with normal stochastic criterion evaluations and uncertain risk attitude of decision makers,this paper proposes a method based on interval possible ordered weighted averaging(IPOWA)operatorand possibility coefficients.Firstly,by the linear combination method of normal stochastic variables,the linear weighted normal stochastic variables of alternatives are gotten.Then,according to the3σprinciple of normal stochastic variables,the linear weighted normal stochastic variables are transformed into stochastic interval numbers. Furthermore,through the comparison of stochastic interval numbers,the possible degree matrix is attained.After that,using the IPOWA operator,the items of each row are integrated in the matrix.Accordingly,via the possibility coefficients of risk attitudes,the comprehensive evaluation values of alternatives are calculated.Moreover,the ranking order comes out.Finally,the comparative analysis of two illustrative examples shows the method has some features such as stable ranking result,sufficient support information and so on.

multi-criterion decision-making;normal stochastic variable;interval possible ordered weighted averaging operator;possible degree matrix;possibility coefficient of risk attitude

A

：C934

10.3778/j.issn.1673-9418.1604038

*The National Social Science Foundation of China under Grant No.15BJY163(國家社會科學(xué)基金);the Humanities and Social Science Foundation for Youth of Ministry of Education of China under Grant No.13YJCZH145(教育部人文社會科學(xué)研究青年基金); the Postdoctoral Science Foundation of China under Grant No.2013M531784(中國博士后科學(xué)基金);the Philosophy and Social Science Foundation of Hunan Province under Grant No.15JD21(湖南省哲學(xué)社會科學(xué)基金);the Major Project of the Social Science Achievement Evaluation Committee of Hunan Province under Grant No.XSP2016040508(湖南省社會科學(xué)成果評審委員會重大課題);the Scientific Research Project for the Outstanding Youth of Department of Education of Hunan Province under Grant No. 15B129(湖南省教育廳科學(xué)研究優(yōu)秀青年項(xiàng)目).

Received 2016-04,Accepted 2016-08.

CNKI網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版:2016-08-15,http://www.cnki.net/kcms/detail/11.5602.TP.20160815.1659.018.html