鄭洲

引入：（2013年浙江高考卷理科22題）已知 ，函數(shù) 。

（1）求曲線 在點(diǎn) 處的切線方程。

（2）當(dāng) 時(shí)，求 的最大值。

1.試題簡析

（2）由于 故

（1）當(dāng) 時(shí)，有 ，此時(shí) 在 上單調(diào)遞減，故

（2）當(dāng) 時(shí)，有 ，此時(shí) 在 上單調(diào)遞增，故

（3）當(dāng) 時(shí)，設(shè) ， ，則 ， 。

由于 故 ，

，從而 。

所以 。

（4）當(dāng) 時(shí)，

又 ，

故 。

（2）當(dāng) 時(shí)， 且 。

又 ，所以

（i）當(dāng) 時(shí)， .故 .

（ii） 當(dāng) 時(shí)， .故 .

綜上所述，

2.初等應(yīng)用

例1.設(shè)函數(shù)

（1）當(dāng) 時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng) 時(shí)，求函數(shù) 在 上的最大值M。

解析：（1）略（2）

令 得 。令 ，則 所以 在 上遞增，所以 ，

從而 所以 ，所以當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)，

所以 。

令 ，則 ，令 則 所以 在 上遞減，而 所以存在 使得 且當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)， 所以 在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減。

因?yàn)?所以 在 上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取得等號(hào)。

綜上，函數(shù) 在 上的最大值 。

點(diǎn)評：本題得關(guān)鍵是做差比較 和 的大小關(guān)系，構(gòu)造函數(shù) ， ，并二次求導(dǎo)，證明 在 上恒成立。