孫娜++李曉芳

摘要：導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)的變化率，在研究函數(shù)變化的性態(tài)中有著十分重要的意義。因而在自然科學(xué)，工程技術(shù)以及社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域中得到廣泛的應(yīng)用，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)可以解決經(jīng)濟(jì)上常見的一些問題[1]。本文重點(diǎn)討論了導(dǎo)數(shù)在解決經(jīng)濟(jì)學(xué)中“邊際成本”，“邊際收入”，“邊際利潤(rùn)”以及“最大利潤(rùn)”等問題[2]。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；變化率；邊際成本；邊際收入；邊際利潤(rùn)；最大利潤(rùn)

引言：微積分學(xué)是高等數(shù)學(xué)最基本、最重要的組成部分，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)許多分支的基礎(chǔ)，是人類認(rèn)識(shí)客觀世界、探索宇宙奧秘乃至人類自身的典型數(shù)學(xué)模型之一。導(dǎo)數(shù)[3]是微積分的兩大部分之一，指的是函數(shù)的變化率，闡述了一些事物和現(xiàn)象都不斷變化，當(dāng)然經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象也不例外。本文主要討論了經(jīng)濟(jì)學(xué)中邊際分析的應(yīng)用。

一、導(dǎo)數(shù)的概念

定義 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量 在 處取得增量 （點(diǎn) + 仍在該鄰域內(nèi)）時(shí)，相應(yīng)地函數(shù) 取得增量 ，如果 與 之比當(dāng) 0時(shí)的極限存在，則稱函數(shù) 在點(diǎn) 處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限為函數(shù) 在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)，記為 ，即

. （1）

令（1）中的 時(shí)，則當(dāng) 時(shí) ，因此（1）式又可寫為

.（2） 令 ，則得到（3）式

.（3）

進(jìn)而可引出左，右導(dǎo)數(shù)的定義：

，

.

二、邊際的概念及應(yīng)用

邊際概念是經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一個(gè)重要概念，通常指經(jīng)濟(jì)變量的變化率，即經(jīng)濟(jì)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為邊際。而利用導(dǎo)數(shù)研究經(jīng)濟(jì)變量的邊際變化的方法，就是邊際分析方法。

1.邊際成本

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，邊際成本定義為產(chǎn)量增加或減少一個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)所增加或減少的總成本。即有如下定義：

定義1：設(shè)總成本函數(shù) ，且其它條件不變，產(chǎn)量為 時(shí)，增加（減少）1個(gè)單位產(chǎn)量所增加（減少）的成本叫做產(chǎn)量為 時(shí)的邊際成本。即：

其中 =1或 =-1。

例1：已知某商品的成本函數(shù)為：

（Q表示產(chǎn)量）

求：（1）當(dāng) 時(shí)的平均成本及 為多少時(shí)，平均成本最??？

（2） 時(shí)的邊際成本并解釋其經(jīng)濟(jì)意義。

解：（1）由 得平均成本函數(shù)為：

當(dāng) 時(shí)：

記 ，則 令 得：

而 ，所以當(dāng) 時(shí)，平均成本最小。

（2）由 得邊際成本函數(shù)為：

則當(dāng)產(chǎn)量 時(shí)的邊際成本為5，其濟(jì)意義為：當(dāng)產(chǎn)量為10時(shí)，若再增加（減少）一個(gè)單位產(chǎn)品，總成本將近似地增加（減少）5個(gè)單位。

2.邊際收入

定義2：若總收益函數(shù) 可導(dǎo)，稱

為銷售量為 時(shí)該產(chǎn)品的邊際收益。 稱為邊際收益函數(shù)，且 .

其經(jīng)濟(jì)意義為在銷售量為 時(shí)，再增加（減少）一個(gè)單位的銷售量，總收益將近似地增加（減少） 個(gè)單位。

注：總收益是生產(chǎn)者出售一定量產(chǎn)品所得以的全部收入，表示為 ，其中 表示銷售量。

3.邊際利潤(rùn)

定義3：總利潤(rùn)是指銷售 個(gè)單位的產(chǎn)品所獲得的凈收入，即總收益與總成本之差，記 為總利潤(rùn)，則：

（其中 表示銷售量）

定義4：若總利潤(rùn)函數(shù) 為可導(dǎo)函數(shù)，稱

為 在 處的邊際利潤(rùn)。

其經(jīng)濟(jì)意義為在銷售量為 時(shí)，再多（少）銷售一個(gè)單位產(chǎn)品所增加（減少）的利潤(rùn)。

根據(jù)總利潤(rùn)函數(shù)，總收益函數(shù)、總成本函數(shù)的定義及函數(shù)取得最大值的必要條件與充分條件可得如下結(jié)論。

由定義，

令 則 .

結(jié)論1：函數(shù)取得最大利潤(rùn)的必要條件是邊際收益等于邊際成本.

結(jié)論2：函數(shù)取得最大利潤(rùn)的充分條件是：邊際利益等于邊際成本且邊際利益的變化小于邊際成本的變化率。

例2：假定有酒100噸，現(xiàn)價(jià)8元/公斤，多陳一年可增值2元/公斤，貯存費(fèi)每年10000元，因貯存酒積壓資金引起機(jī)會(huì)成本每年增加 （其中 為酒的貯量， 為當(dāng)年白酒價(jià)格， 為利息率，且假定 %），那么這些酒須儲(chǔ)存多久效益才最大呢？

1. 年增加的總收入函數(shù)

（元）

2. 年增加的貯存總成本

（元）

3. 年凈增利潤(rùn)函數(shù)

= （元）

此時(shí)邊際收入： 邊際成本：

因?yàn)楫?dāng) 利潤(rùn)最大，所以有 ，即 年。

由于駐點(diǎn)唯一，故只有當(dāng)儲(chǔ)存期為2.75年時(shí)，企業(yè)才能獲得最佳經(jīng)濟(jì)效益，其最大凈增利潤(rùn)為151 250元。

三.總結(jié)

隨著市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的不斷進(jìn)步與發(fā)展，靈活利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決經(jīng)濟(jì)問題顯得越來越重要，而導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)中的重要概念，更是經(jīng)濟(jì)分析的重要工具。把經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中一些現(xiàn)象歸納到數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，來運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答，對(duì)很多經(jīng)營(yíng)決策起了非常重要的作用[4]。

對(duì)企業(yè)經(jīng)營(yíng)者管理者來說，精準(zhǔn)的對(duì)其經(jīng)濟(jì)環(huán)節(jié)進(jìn)行定量分析是非常必要的。最優(yōu)化問題也是經(jīng)濟(jì)管理活動(dòng)的核心，通常是利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求經(jīng)濟(jì)問題中的平均成本最低、總收入最大、總利潤(rùn)最大等問題。將導(dǎo)數(shù)作為分析工具，可以給企業(yè)經(jīng)營(yíng)者提供精確的數(shù)值和新的思路和視角[5]。

經(jīng)濟(jì)學(xué)分析中的主要優(yōu)化問題有產(chǎn)出最大化分析、收入最大化分析、利潤(rùn)最大化分析、資源合理利用的優(yōu)化分析、成本最小化分析以及最優(yōu)組合分析等，通常伴隨一些約束條件[6]。通過優(yōu)化分析可以幫助企業(yè)管理者尋求最大化企業(yè)的收益，并盡量降低生產(chǎn)成本和管理費(fèi)用，意義非常深遠(yuǎn)[7]。

導(dǎo)數(shù)對(duì)于在經(jīng)濟(jì)學(xué)中邊際問題的剖析尤為主要，經(jīng)由過程邊際問題的剖析，對(duì)于企業(yè)的抉擇妄想者做出正確的抉擇妄想起了十分主要的浸染！通過闡述導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的幾種應(yīng)用，說明導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)管理中的重要作用，利用數(shù)學(xué)工具對(duì)經(jīng)濟(jì)的各個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行定量分析[8]，有利于對(duì)經(jīng)濟(jì)管理工作做定性分析，從而更科學(xué)地進(jìn)行經(jīng)濟(jì)管理，這是我國(guó)深化體制改革使經(jīng)濟(jì)管理工作于國(guó)際接軌必不可少的一步。

參考文獻(xiàn)：

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[3]王青青.淺談導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用[J].高校講壇，2011（9）：8.

[4]王利珍：用導(dǎo)數(shù)解決經(jīng)濟(jì)中的最優(yōu)化問題[J].忻州師范學(xué)院學(xué)報(bào).2008.10.27-28

[5]王利珍：用導(dǎo)數(shù)解決經(jīng)濟(jì)中的最優(yōu)化問題[J].忻州師范學(xué)院學(xué)報(bào).2008.10.27-28

[6]雷良緩：經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)中的邊際分析與彈性分析[J].江蘇經(jīng)貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，1995.02.81-83

[7]蔡宇澤，趙春紅，王貝：需求彈性函數(shù)的經(jīng)濟(jì)分析[J].江蘇教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2007.07.87

[8]王桐柱：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與邊際成本[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2005.10.43-44