潘城閱

正所謂“溫故而知新”，古人所推崇的學(xué)習(xí)方法為今天的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供了很好的借鑒.所謂“溫故”，在數(shù)學(xué)中，個(gè)人認(rèn)為不僅是溫習(xí)舊知識(shí)，更是溫習(xí)學(xué)習(xí)方法、解題思路、思維方式，總體來講就是進(jìn)行一次解題反思，這個(gè)過程符合數(shù)學(xué)知識(shí)在大腦中思維演變的發(fā)展規(guī)律，契合學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)邏輯的認(rèn)知和理解過程，有效地應(yīng)對(duì)高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)變式復(fù)雜的考查模式.而在當(dāng)下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)解題反思的研究和實(shí)踐缺少科學(xué)的認(rèn)識(shí)和應(yīng)用，多數(shù)老師更依賴傳統(tǒng)的題海模式，這無疑對(duì)教學(xué)效率、學(xué)習(xí)收效都產(chǎn)生了不利的影響.所以我們提倡在教學(xué)實(shí)踐中，積極地開展解題反思教學(xué)，培養(yǎng)師生的反思意識(shí)，提高“教與學(xué)”的效率.

一、反思題目?jī)?nèi)容，發(fā)掘問題本質(zhì)

數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)是知識(shí)點(diǎn)多，但有規(guī)律可循；題目的變式復(fù)雜，但考查的本質(zhì)固定.所以當(dāng)我們對(duì)于看似陌生的題目，尋找到對(duì)應(yīng)的解題方法解決題目后，應(yīng)該對(duì)題目的出題目的、思路、問題的設(shè)計(jì)進(jìn)行有針對(duì)性的反思.對(duì)題目的反思是解題反思的重要環(huán)節(jié)，這個(gè)過程有助于我們發(fā)覺題目的考查本質(zhì)，有針對(duì)性地選擇解題方法，避免落入題目設(shè)計(jì)的陷阱.

以一道高考模擬題為例：為得到函數(shù)y=cos2x+π3的圖像，只需將函數(shù)y=sin2x的圖像怎么移動(dòng)即可？A：向左平移5π12個(gè)長(zhǎng)度單位；B：向右平移5π12個(gè)長(zhǎng)度單位；C：向左平移5π6個(gè)長(zhǎng)度單位；D：向右平移5π6個(gè)長(zhǎng)度單位.對(duì)題目進(jìn)行反思主要反思兩個(gè)方面：一是題干內(nèi)容，確定題目主要考查的范圍是三角函數(shù)的內(nèi)容，提問的方式可以反映出解題步驟中存在三角函數(shù)的轉(zhuǎn)化；二是答案設(shè)置，答案中存在“左右”的變化，反思可以幫助我們注意計(jì)算中符號(hào)的關(guān)系，而兩個(gè)不同的分?jǐn)?shù)關(guān)系提醒我們注意系數(shù)的關(guān)系.

通過對(duì)題目的反思，我們的目的不僅僅是掌握一個(gè)類型題目的表述方式，更可以提煉出這個(gè)類型題目需要注意的地方，也是出題者習(xí)慣設(shè)置“陷阱”的位置.對(duì)題目的有效反思主要是通過對(duì)題干的解讀，剖析題干所包含的本質(zhì)屬性，同時(shí)結(jié)合變式的運(yùn)用，可以舉一反三設(shè)計(jì)更多的題目進(jìn)行分析練習(xí).

二、反思解題思路，歸納解題技巧

眾所周知，數(shù)學(xué)應(yīng)用中有很多廣泛使用的解題技巧，可以針對(duì)一類甚至幾類題型發(fā)揮積極的作用.同時(shí)解題技巧又是一種數(shù)學(xué)思維在大腦中的升華和創(chuàng)造，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的精髓.但是同學(xué)往往不能自己總結(jié)和歸納出有效的解題技巧，而盲目大量的練習(xí)設(shè)計(jì)又會(huì)使得學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)產(chǎn)生倦怠感.而利用解題反思的策略可以很好地幫助學(xué)生歸納解題技巧，提高學(xué)習(xí)效率.

同樣以上題為例，解題過程為：y=cos2x+π3與函數(shù)y=sin2x可以通過三角函數(shù)關(guān)系來建立變形轉(zhuǎn)化關(guān)系，即：y=cos2x+π3=sin2x+π3+π2，進(jìn)行整理得：y=sin2x+5π6，化簡(jiǎn)為y=sin2x+5π12.這類題型一直是歷年高考的“常客”，題目看似不難，但出錯(cuò)概率不小.我們對(duì)這類題型進(jìn)行反思發(fā)現(xiàn)：其實(shí)題目考查的是正余弦的變換知識(shí)點(diǎn)，解題的“題眼”是cosα=sinα+π2關(guān)系的建立.并且通過本題的反思，我們應(yīng)同時(shí)聯(lián)想α為任意角時(shí)，α與-α，α與π±α和π2±α的三角函數(shù)關(guān)系，以及準(zhǔn)確掌握這些相關(guān)公式的特點(diǎn)的策略.相反我們還可以收集涉及正切、余切的同類題目進(jìn)行類似的反思過程，歸納規(guī)律性的解題思路.

可見解題過程的反思過程，可以針對(duì)一道題來聯(lián)想相關(guān)解題方法，也可以針對(duì)一類題，來歸納解題的通用技巧.反思的過程可以是一個(gè)發(fā)散思維的過程，也可以是一個(gè)思維內(nèi)化的過程.我們需要利用反思來幫助學(xué)生在有限的時(shí)間內(nèi)、在代表性的題目中掌握適用性強(qiáng)的解題方法和策略.

三、反思錯(cuò)誤原因，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維

就如例題所述的題型，這類題目我們常講，但同學(xué)卻常錯(cuò).不是學(xué)生不用心，也不是老師不投入，究其原因可能是應(yīng)對(duì)的方法不科學(xué).對(duì)于做錯(cuò)的題目，我們鼓勵(lì)師生一同進(jìn)行錯(cuò)題反思，目的有兩個(gè)：一是幫助學(xué)生了解錯(cuò)誤原因，為下次類似題目的出現(xiàn)做好防范；二是幫助老師透視學(xué)生容易犯錯(cuò)的環(huán)節(jié)，從而設(shè)計(jì)有針對(duì)性的教學(xué)內(nèi)容.

仍然以上題為例，答案中給出的四個(gè)選項(xiàng)都有被選擇的情況.反思錯(cuò)誤發(fā)生原因：一是相對(duì)移動(dòng)的方向發(fā)生了錯(cuò)誤，這是由于對(duì)y=sin2x+5π12中“+”號(hào)對(duì)移動(dòng)方向的影響不明確；二是移動(dòng)的長(zhǎng)度產(chǎn)生了錯(cuò)誤，這可能由于同學(xué)對(duì)y=sin2x和y=sin2x+5π6的函數(shù)部分的計(jì)算掌握不準(zhǔn)確，造成了變形后可能計(jì)算為y=sin2x+5π6的錯(cuò)誤情況.通過反思，老師針對(duì)錯(cuò)誤的原因側(cè)重設(shè)計(jì)教學(xué)策略：歸納y=sin（x±α），明確移動(dòng)時(shí)遵循“+”向左、“-”向右的記憶模塊；另外強(qiáng)調(diào)做題中注意在函數(shù)運(yùn)算時(shí)系數(shù)變化.

錯(cuò)題的反思可以直接幫助老師設(shè)計(jì)針對(duì)性的課題內(nèi)容，幫助同學(xué)了解自身所欠缺的解題邏輯，鍛煉解題所需要的邏輯思維.更重要的是，反思的過程是一個(gè)自主的邏輯內(nèi)化的過程，也是一個(gè)主動(dòng)學(xué)習(xí)習(xí)慣養(yǎng)成的過程.通過有針對(duì)性的反思過程，從主觀到客觀，從“教與學(xué)”的兩面，為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維做積極的努力.

四、反思評(píng)閱過程，強(qiáng)化解題定式

解題定式有別于解題技巧或解題方法，后者是解題中具體的實(shí)施策略，其可能包含解題的思路、公式的運(yùn)用、計(jì)算的過程；而前者則是一種解題的規(guī)范步驟，對(duì)于某一類題型的解題的具體流程規(guī)范，它廣泛地適用于同一類型的題目.雖然解題定式不是一種解題的方法，但是解題的定式可以有效地幫助同學(xué)在解題困惑時(shí)有章可循，迅速地進(jìn)入解題的角色.

如以上題為例，雖然這是一道選擇題，但是它的變形可以是填空題或是解答題的一個(gè)步驟.選擇題和填空題老師鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算是沒有問題的，但是如為一個(gè)解答題的一個(gè)環(huán)節(jié)，那就需要掌握解題定式.對(duì)這類題型的評(píng)閱過程進(jìn)行反思可以發(fā)現(xiàn)，解題步驟中的關(guān)鍵因素是cosα=sinα+π2這個(gè)誘導(dǎo)公式的選擇，所以在定式中我們要將這個(gè)關(guān)鍵因素體現(xiàn)：表述為，欲求cosα與sinα圖像的變化關(guān)系，則根據(jù)cosα=sinα+π2的誘導(dǎo)公式得：y=cos2x+π3=sin2x+π3+π2（化簡(jiǎn)步驟省略）.這個(gè)解題定式在解答題中顯得格外重要，不僅可以得到相應(yīng)的解題步驟分，而且為余下題目的計(jì)算奠定解題基礎(chǔ).

解題定式其實(shí)可以形象地比喻為為解題的過程打開一扇窗戶，而往往學(xué)生很少能意識(shí)到它在解題中起到的作用，只有通過反思教師的評(píng)閱內(nèi)容，才能意識(shí)到這個(gè)步驟的重要性.當(dāng)然在評(píng)閱的反思中，還應(yīng)該積極地總結(jié)解題定式中的其他環(huán)節(jié)，只有對(duì)定式充分地認(rèn)識(shí)，才能把握好步驟的得分點(diǎn)，即使解題思路不明確，按著解題定式來開展運(yùn)算，逐步地發(fā)掘題目的本質(zhì)，也能從容地應(yīng)對(duì)困難的題目.

五、反思教學(xué)過程，明確教師角色

以上都是老師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思的過程，當(dāng)然在整個(gè)教學(xué)過程中，老師也應(yīng)進(jìn)行積極的反思.老師進(jìn)行反思的內(nèi)容有很多，可以反思課堂中老師所扮演的角色，可以反思所應(yīng)用的教學(xué)方法和策略，還可以反思師生間互動(dòng)和交流的過程，等等.反思的目的是為今后的教學(xué)方法創(chuàng)新積累經(jīng)驗(yàn)、為活躍課堂氣氛尋找方法、為提高教學(xué)效率總結(jié)策略.

例如當(dāng)老師進(jìn)行角色反思時(shí)，可以通過設(shè)問的方式來反思自己在教學(xué)的各個(gè)階段所扮演的角色：在新課程的導(dǎo)入階段，是簡(jiǎn)單地進(jìn)行背景的介紹，還引導(dǎo)學(xué)生由淺入深地進(jìn)行自主的探究？在新知識(shí)的講授階段，是介紹方法結(jié)合題目練習(xí)，還是師生互動(dòng)，結(jié)合例題一同歸納解題方法？在知識(shí)的總結(jié)階段，是利用傳統(tǒng)的思維導(dǎo)圖幫學(xué)生梳理一節(jié)課的內(nèi)容，還是引導(dǎo)學(xué)生自主歸納，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維模式？通過這一個(gè)個(gè)問題，老師可以反思自己在教學(xué)中所扮演的角色，是否有喧賓奪主的情況發(fā)生？是否背離了教學(xué)中學(xué)生為主體的教學(xué)本質(zhì)？

由于受到傳統(tǒng)教學(xué)思想的影響，很多教師在教學(xué)中的角色沒有發(fā)生本質(zhì)上的轉(zhuǎn)變，“以師為本”的教學(xué)思想固化嚴(yán)重，這無疑背離了素質(zhì)教育的根本要求.通過對(duì)教學(xué)過程的反思，讓老師真切地認(rèn)識(shí)到自己的角色和定位；通過對(duì)教學(xué)互動(dòng)的反思，讓老師體會(huì)到以教師為主導(dǎo)教學(xué)模式的弊端；通過教學(xué)方法的反思，讓老師意識(shí)到學(xué)生在教學(xué)過程中角色的缺失.只有教師從反思中發(fā)現(xiàn)問題，才能激勵(lì)自己主動(dòng)去創(chuàng)新教法，轉(zhuǎn)換角色，以“學(xué)生為本”的教學(xué)理念才能真正地在教育中生根發(fā)芽.

綜上所述，反思意識(shí)雖然是教法與學(xué)法的創(chuàng)新，但其具有深深的歷史印記.它反映出數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是一個(gè)邏輯思維的成型過程、也是一個(gè)思維模式的轉(zhuǎn)化和變化的過程，只有在反思中不斷求真，在反思中不斷累積，才能具有識(shí)別題目考查本質(zhì)的“慧眼”、才能掌握撬動(dòng)復(fù)雜變式題目的“杠桿”、才能擁有打開數(shù)學(xué)之門的“鑰匙”.更重要的是，老師與學(xué)生的反思過程是一個(gè)主動(dòng)求真、求實(shí)的過程，是學(xué)生自主學(xué)習(xí)的體現(xiàn)，也是老師教學(xué)創(chuàng)新的基礎(chǔ).所以作為老師，我們不僅鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)反思，也要主動(dòng)開展教學(xué)反思，在反思中促進(jìn)師生的和諧發(fā)展和學(xué)科的長(zhǎng)足進(jìn)步.