郭 杰，郭淑妹

(信息工程大學(xué) 理學(xué)院,河南 鄭州450001)

一類行列式考研題目的算法探究

郭 杰，郭淑妹

(信息工程大學(xué) 理學(xué)院,河南 鄭州450001)

結(jié)合線性代數(shù)中常用的“打洞”技巧，對(duì)具有某種特定結(jié)構(gòu)的行列式提出了具有針對(duì)性的計(jì)算方法.計(jì)算方法思路清晰，簡(jiǎn)潔高效，對(duì)這種類型的行列式的計(jì)算起到事半功倍的效果.

線性代數(shù)；行列式計(jì)算；考研試題；“打洞”技巧；矩陣初等變換

0 引言

行列式是線性代數(shù)[1-3]的開篇章節(jié)，對(duì)于學(xué)生領(lǐng)悟線性代數(shù)的思想和方法有著重要意義,行列式的熟練掌握對(duì)于后面章節(jié)的學(xué)習(xí)起著舉足輕重的作用，但是學(xué)生往往對(duì)行列式的計(jì)算又有些不知所措、無從下手.行列式計(jì)算不理想的原因是多方面的，一方面，行列式的定義抽象、不可捉摸，對(duì)于剛?cè)雽W(xué)的大一新生來說是個(gè)不小的挑戰(zhàn)；另一方面，行列式的題目千變?nèi)f化、紛繁復(fù)雜，學(xué)生不可能把每個(gè)題目都做一遍.因此引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)歸納整理則會(huì)事半功倍，對(duì)于具有某種特點(diǎn)的行列式就用某種固定的解法，針對(duì)性強(qiáng)，提高做題效率.對(duì)該類題目的做法要理解其要點(diǎn)，舉一反三、觸類旁通.

行列式是研究生入學(xué)考試的必考知識(shí)點(diǎn).從歷年真題來看，行列式在考研數(shù)學(xué)試卷中一般以填空題、選擇題為主，所占比例不是很大，但卻是必考內(nèi)容，而且不只是考察行列式的概念、性質(zhì)、運(yùn)算，與行列式有關(guān)的考題也不少，例如方陣的行列式、求逆矩陣、向量組的線性相關(guān)性、矩陣的秩、線性方程組、方陣的特征值、正定二次型、正定矩陣等都會(huì)涉及行列式.如果試卷中沒有獨(dú)立的行列式試題，必然會(huì)在其他章節(jié)的試題中得以體現(xiàn)，所以在教學(xué)中必須要求學(xué)生熟練掌握行列式計(jì)算的常用方法.

1 行列式計(jì)算的一般方法介紹

行列式的計(jì)算方法有很多，比如降階法，有時(shí)與遞推法結(jié)合使用，或者借助特殊行列式比如三角行列式、范德蒙行列式、三線型行列式等，還有一些較高難度的加邊法、拆分法等.行列式計(jì)算的題型一般分為數(shù)字型行列式的計(jì)算、抽象型行列式的計(jì)算、含參數(shù)的行列式的計(jì)算.下面我們就一類行列式關(guān)于考研題目的計(jì)算進(jìn)行探究.

例1 2015年研究生考試數(shù)學(xué)(一)中的填空題第13題[4-5]，計(jì)算行列式

解法1 從行列式的結(jié)構(gòu)上看，特點(diǎn)明顯，大多數(shù)元素為零，同時(shí)元素分布比較有規(guī)律，因此可以設(shè)法找出n階行列式Dn與較低階行列式的關(guān)系，以此類推來計(jì)算行列式.據(jù)此，按行按列展開，然后結(jié)合遞推法計(jì)算.對(duì)行列式Dn按第n行展開有

整理得Dn=Dn-1+2n，進(jìn)一步有

Dn-1=Dn-2+2n-1
Dn-2=Dn-3+2n-2,

…

D2=D1+22，

D1=2，

相加求和得Dn=2n+2n-1+…+22+2=2n+1-2.

以上兩種方法是計(jì)算行列式的常用的基本方法，對(duì)于大多數(shù)行列式來說，應(yīng)用上述方法均可求解.但是具有這種特定結(jié)構(gòu)的行列式，我們還可以采用更有針對(duì)性的解法，做到有的放矢，精簡(jiǎn)高效.

2 特定結(jié)構(gòu)行列式的針對(duì)性解法

為了探究計(jì)算這一類行列式的一般解法，需要介紹下述的舒爾公式，通常又稱為矩陣“打洞”技巧，實(shí)際上是將矩陣的初等變換推廣到對(duì)分塊矩陣施行初等變換，華羅庚教授形象地稱此方法為矩陣“打洞”.矩陣“打洞”技巧在行列式計(jì)算、可逆陣的判定、逆矩陣的求解、二次型理論等方面的應(yīng)用,顯示了它是矩陣計(jì)算中最基本的技巧,也是最重要、 最有用的技巧.

證明思路也很簡(jiǎn)單，就是利用子矩陣A或者D的可逆性來“打洞”，換句話說就是將子矩陣B或C化為零子塊.總之“打洞”并不復(fù)雜，就是利用可逆的子矩陣來做初等變換消去其他的子矩陣，從而實(shí)現(xiàn)問題的簡(jiǎn)化.

解法3 令

同樣，我們可以用舒爾公式簡(jiǎn)化線性代數(shù)教材中的習(xí)題.

證明令

注意：題中約定x≠0，若x=0，可用第1列展開得證.

考研題目縱有千變?nèi)f化，但是萬變不離其宗，比如2016年考研試題數(shù)學(xué)一的填空題第13題：

不難看出，這個(gè)行列式和例2的結(jié)構(gòu)完全相同，只是階數(shù)降了，改編為四階行列式.這個(gè)類型的行列式計(jì)算技巧掌握了，不論如何變形，我們都能順利求解.同時(shí)，我們還可以利用舒爾公式2)計(jì)算這類型的行列式考研題目.

解令

以上借助矩陣的“打洞”技巧計(jì)算了一類具有某種特點(diǎn)的行列式，給出了具體的操作方法和步驟，希望能夠引導(dǎo)讀者對(duì)行列式計(jì)算更進(jìn)一步的探索.

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)[M].5版.北京：高等教育出版社,2007:1-28.

[2]魏戰(zhàn)線，李繼成.線性代數(shù)與解析幾何[M].2版，北京：高等教育出版社,2010:1-27.

[3]方文波，段汕，江世宏,等.線性代數(shù)及其應(yīng)用[M].北京：高等教育出版社,2011:6-35.

[4]祝清順，馬朝忠，張寧.線性代數(shù)疑難釋疑[M].浙江：浙江大學(xué)出版社，2013:1-56.

[5]李國重，杜院錄，祝清順.線性代數(shù)課程教學(xué)執(zhí)行計(jì)劃[M].上海：上海交通大學(xué)出版社，2013:1-32.

[6]孟道驥，王立云.打洞技巧[J].高等數(shù)學(xué)研究,2006,9(4):15-20.

Exploration on Determinant of Grind Subject Algorithm

GUO Jie,GUO Shumei

(SchoolofScience,InformationEngineeringUniversity,Zhengzhou450001,China)

Based on skills of making a hole in linear algebra,corresponding algorithm for a particular structure of determinant is proposed.The method is clear,concise and very efficient for this type of determinant calculation.

linear algebra; determinant calculation; questions of postgraduate entrance exam; skills of making a hole; elementary transformation of matrix

2016-08-12

信息工程大學(xué)教育教學(xué)項(xiàng)目(XDJY3-2016039,XD6201513C)

郭 杰(1979—)，女，河南淮陽人，信息工程大學(xué)理學(xué)院副教授，主要研究方向：統(tǒng)計(jì)學(xué)應(yīng)用及數(shù)據(jù)處理.

10.3969/j.issn.1007-0834.2016.04.012

G642.0；O151

1007-0834(2016)04-0048-04