◇ 江蘇 楊歡濤

函數(shù)對(duì)稱性的類(lèi)比推理與數(shù)理證明

◇ 江蘇 楊歡濤

函數(shù)的基本性質(zhì)在高中課程標(biāo)準(zhǔn)中是難點(diǎn)也是重點(diǎn),同時(shí)在高考要求上屬于C級(jí),所以我們?cè)诟呖碱}或調(diào)研考試的中檔題中經(jīng)常見(jiàn)到如“函數(shù)f(x)關(guān)于x＝a對(duì)稱”或“f(a＋x0)＝f(a－x0)”的題設(shè)條件.研究高中數(shù)學(xué)中函數(shù)的性質(zhì)往往繞不開(kāi)函數(shù)的對(duì)稱性,而事實(shí)上高中數(shù)學(xué)中許多函數(shù)不僅具有優(yōu)美的對(duì)稱圖象,而且還具有優(yōu)美的對(duì)稱表達(dá)式.眾所周知,對(duì)稱關(guān)系存在軸對(duì)稱和中心對(duì)稱之分,本文嘗試從數(shù)學(xué)推理和理論證明的角度來(lái)討論函數(shù)對(duì)稱性.

1 軸對(duì)稱函數(shù)對(duì)稱性類(lèi)比與論證

學(xué)生最熟悉的軸對(duì)稱函數(shù)非偶函數(shù)莫屬.偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱,因此有f(x)＝f(－x).關(guān)于y軸對(duì)稱,其實(shí)質(zhì)是關(guān)于x＝0對(duì)稱.

1)類(lèi)比推理.

如圖1,函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直線x＝a(a＞0)對(duì)稱,以“偶函數(shù)關(guān)于x＝0對(duì)稱,則f(x)＝f(－x)”為基礎(chǔ),不難推理得出結(jié)論:“若函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直線x＝a對(duì)稱,則f(a＋x)＝f(a－x).”其類(lèi)比推理過(guò)程如下:關(guān)于直線x＝a對(duì)稱的函數(shù)f(x),可看成由關(guān)于x＝0對(duì)稱的函數(shù)平移得來(lái),原圖象上一組對(duì)稱點(diǎn)P和P′,平移后在新圖象上對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)可分別記為(a＋x,f(a＋x))和(a－x,f(a－x)).因?yàn)檫@是一組對(duì)稱點(diǎn)的水平移動(dòng),縱坐標(biāo)大小不變,顯然存在f(a＋x)＝f(a－x).反之,上述命題的逆命題也成立,即:“若f(a＋x)＝f(a－x),則若函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直線x＝a對(duì)稱.”當(dāng)然這僅僅是邏輯上推演,要證明命題“若函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直線x＝a對(duì)稱,則f(a＋x)＝f(a－x)”,必須有充分的理論證明.

圖1

2)理論證明.

證明命題“若函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直線x＝a對(duì)稱,則f(a＋x)＝f(a－x)”,需要從充分性和必要性2方面進(jìn)行說(shuō)明.充分性證明:不妨設(shè)函數(shù)上任意點(diǎn)P坐標(biāo)為(a＋x,f(a＋x)),由軸對(duì)稱的性質(zhì)易知點(diǎn)P關(guān)于直線x＝a對(duì)稱點(diǎn)P′也在函數(shù)f(x)的圖象上,其坐標(biāo)滿足函數(shù)y＝f(x)的表達(dá)式.根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式易得xP′＝a－x,所以點(diǎn)P′的縱坐標(biāo)yP′＝f(ax).又因?yàn)辄c(diǎn)P與點(diǎn)P′關(guān)于直線x＝a對(duì)稱,所以f(a＋x)＝f(a－x).必要性證明:在函數(shù)y＝f(x)的圖象上任取一點(diǎn)P記其坐標(biāo)為(a＋x,f(a＋x)),若點(diǎn)P關(guān)于x＝a的對(duì)稱點(diǎn)也在函數(shù)圖象上,則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直線x＝a對(duì)稱.易知P關(guān)于直線x＝a對(duì)稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xP′＝a－x,根據(jù)對(duì)稱關(guān)系顯然P′的縱坐標(biāo)可記為yP′＝f(a＋x).又因f(a＋x)＝f(a－x),所以點(diǎn)P′的坐標(biāo)可記為(a－x,f(ax)),所以P′的坐標(biāo)滿足函數(shù)y＝f(x)的關(guān)系式,即點(diǎn)P′也在函數(shù)圖象上,所以必要性得證.

3)補(bǔ)充證明.

結(jié)論1:若函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直線x＝a對(duì)稱,則f(x)＝f(2a－x).不妨令上述結(jié)論中的a＋x＝t,移項(xiàng)后可得x＝t－a,以t－a替換x,顯然a－x＝2at,因此就存在f(t)＝f(2a－t),也即f(x)＝f(2ax).不妨設(shè)結(jié)論1中的2a＝b,則結(jié)論1的形式就可變?yōu)榻Y(jié)論2:若函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直線x＝對(duì)稱,則f(x)＝f(b－x).借助上述理論證明過(guò)程,不難證明結(jié)論3:若函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直線對(duì)稱,則f(a＋x)＝f(b－x).

2 點(diǎn)對(duì)稱函數(shù)對(duì)稱性的分析與證明

關(guān)于點(diǎn)(中心)對(duì)稱函數(shù)的對(duì)稱表達(dá)式又呈現(xiàn)出什么樣的形式呢?這可從奇函數(shù)對(duì)稱性表達(dá)式的類(lèi)比中窺得一斑,并且通過(guò)理論的證明來(lái)印證.

圖2

1)類(lèi)比推理.

眾所周知,奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,其對(duì)稱表達(dá)式為f(x)＋f(－x)＝0,以此為基礎(chǔ),不難類(lèi)比出命題:若函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱,則f(a＋x)＋f(a－x)＝2b.如圖2不妨假設(shè)a＞0、b＞0,則函數(shù)y＝f(x)可視為原奇函數(shù)向右平移a個(gè)單位,再向上平移b個(gè)單位形成,在此過(guò)程中原圖象上任意一組對(duì)稱點(diǎn)P和P′,在平移后其對(duì)應(yīng)坐標(biāo)分別可記為(a＋x,f(a＋x))和(a－x,f(a－x)),根據(jù)中心對(duì)稱的特性(對(duì)稱點(diǎn)連線經(jīng)過(guò)對(duì)稱點(diǎn)且被對(duì)稱點(diǎn)平分)并結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得f(a＋x)＋f(a－x)＝2b.同樣,其逆命題也成立,即:“若f(a＋x)＋f(a－x)＝2b,則y＝f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱.”

2)理論證明.

充分性證明:在y＝f(x)上任取一點(diǎn)P(a＋x,f(a＋x)),根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì),易知點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)(a,b)中心對(duì)稱點(diǎn)P′也在f(x)的圖象上,其坐標(biāo)應(yīng)滿足函數(shù)y＝f(x)的表達(dá)式.根據(jù)中點(diǎn)橫坐標(biāo)公式易得xP′＝a－x,所以點(diǎn)P′的縱坐標(biāo)yP′＝f(a－x),利用中點(diǎn)縱坐標(biāo)公式可得f(a＋x)＋f(a－x)＝2b.

必要性證明:在函數(shù)y＝f(x)的圖象上任取一點(diǎn)P記其坐標(biāo)為(a＋x,f(a＋x)),若點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)(a,b)中心對(duì)稱點(diǎn)P′也在函數(shù)f(x)的圖象上則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱.易知點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)(a,b)中心對(duì)稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xP′＝a－x,根據(jù)對(duì)稱關(guān)系顯然P′的縱坐標(biāo)可記為yP′＝2b－f(a＋x).又因?yàn)閒(a＋x)＋f(a－x)＝2b,所以點(diǎn)P′的坐標(biāo)可記為(a－x,f(a－x)),所以P′的坐標(biāo)滿足函數(shù)y＝f(x)的關(guān)系式,即點(diǎn)P′也在函數(shù)圖象上,所以必要性得證.

3)補(bǔ)充說(shuō)明.

反思上述函數(shù)對(duì)稱性的邏輯推理與數(shù)理證明過(guò)程,不難發(fā)現(xiàn)這種對(duì)稱性的結(jié)論與奇偶函數(shù)對(duì)稱性結(jié)論存在極大的相關(guān)性.因?yàn)榕己瘮?shù)關(guān)于y軸對(duì)稱,奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以只需要研究其在區(qū)間(－∞,0)上的性質(zhì),就可知道函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間(0,＋∞)的圖象和性質(zhì).而上述對(duì)稱性結(jié)論是研究函數(shù)在區(qū)間(－∞,a)上的圖象和性質(zhì),就可知道函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間(a,＋∞)上的圖象和性質(zhì).所以上述對(duì)稱思想研究函數(shù)的圖象和性質(zhì)可以看成奇、偶函數(shù)對(duì)稱性結(jié)論的推廣.

(作者單位:江蘇省蘇州市第一中學(xué))