李 瑩

(寶雞文理學院數(shù)學與信息科學學院,陜西寶雞 721013)

抽象空間脈沖發(fā)展方程初值問題的上下解方法

李 瑩

(寶雞文理學院數(shù)學與信息科學學院,陜西寶雞 721013)

主要研究有序Banach空間中一階脈沖發(fā)展方程的初值問題解的存在性。僅在半群為正半群時,對脈沖項加很少限制,利用正算子半群特征與上、下解單調迭代方法,得到了非線性脈沖發(fā)展方程初值問題最小、最大mild解的存在性等若干結果,推廣了已有工作。

上下解;Mild解;初值問題;正C0-半群;單調迭代方法

研究有序Banach空間X中含脈沖發(fā)展方程的初值問題

解的存在性。其中A為X中的稠定閉算子,f(t,x)∶J×X→X連續(xù),J＝[0,T],0＝t0＜t1＜…＜tm＜tm＋1＝T。初值x0∈X。脈沖函數(shù)Ik∶X→X(k＝1,2,…,m)。分別表示u(t)在t＝tk處的左極限與右極限(k＝1,2,…,m)。

將上下解單調迭代方法應用于不含脈沖的發(fā)展方程初值問題

已有很多結果,見參考文獻[1-5]。如文獻[3]中在上、下ω-解存在的情形下,獲得了非脈沖發(fā)展方程(2)最小及最大mildω-周期解的存在性。但這些文獻研究的都是不含脈沖項的一般抽象發(fā)展方程。將上下解方法應用于含脈沖的發(fā)展方程的相關文獻比較少,并且大多是在緊半群或等度連續(xù)半群的條件下獲得的,見文獻[6-13]。

假設-A生成的半群為正半群,在上、下解都存在的情形下,采用單調迭代方法,得到了含脈沖的發(fā)展方程(1)最小、最大mild解的存在性,并且最小、最大mild解可通過上下解單調迭代求解,在這一過程中,僅要求脈沖函數(shù)連續(xù)及單調;若只要求mild解的存在性,還可將脈沖函數(shù)的條件減弱,只限制其單調性。同時在證明中可以看出:對非脈沖發(fā)展方程(2),即便不要求T(t)等度連續(xù),同樣可得到最小、最大mild解的存在性等結果,削弱了定理條件,得到的結果也是新的。

1 預備工作

設X為有序Banach空間,P為X中的正元錐,則可由P引出X中的序關系“≤”:x≤y?y－x∈P。令J＝[0,T],記PC(J,X)＝{u∶J→X∣u(t)在J′上連續(xù),在每個tk點左連續(xù)、右極限存在,(k＝1, 2,…,m),其中J′＝J{t1,t2,…,tm}。令J0＝[0,t1],J1＝(t1,t2],…,Jm＝(tm,T]。在有限區(qū)間上,易見PC(J,X)按凸錐＝{u∈PC(J,X)∶u(t)≥0,t∈J}導出的序也構成有序Banach空間,且亦為正規(guī)錐。對?v,w∈PC(J,X),當v≤w時,記[v,w]為PC(J,X)中的序區(qū)間。

在后面的討論中,需要利用線性發(fā)展方程

的相關結論。先看一個引理。

引理1 對?x0∈D(A),Ik∶D(A)→D(A)(k＝1,2,…,m),h(t)∈PC(J,X)∩C1(J′,X),問題(3)存在唯一古典解:

u(t)∈PC(J,X1)∩C1(J′,X)∩C(J′,X1),且此解表示如下:

證明由文獻[1]中非脈沖情形的結果知:在每個Ji(i＝0,1,…,m)上問題(3)存在唯一古典解ui(t)∈C1(Ji,X)∩C(Ji,X1)(i＝0,1,…,m),且可表示如下:

構造函數(shù)u(t)如下:

顯然

u(t)∈PC(J,X1)∩C1(J′,X)∩C(J′,X1),滿足問題(3)。故又由uk(t)(k＝1,2,…,m)的唯一性知,問題(3)存在唯一古典解:

u(t)∈PC(J,X1)∩C1(J′,X)∩C(J′,X1),且此解表示如下:

命題得證。

而對?x0∈X及h∈PC(J,X),Ik∶X→X(k＝1,2,…,m),引理1確定的式(4)不一定可微,僅有u(t)∈PC(J,X),是問題(3)的mild解。

同樣地,對Banach空間X中的非線性脈沖發(fā)展方程初值問題(1)有類似的結果。

引理2 設-A為C0-半群T(t)(t≥0)的無窮小生成元,C為一實數(shù),則u(t)∈PC(J,X)為方程(1)的mild解的充要條件是u(t)滿足積分方程:

其中:S(t)＝e－CtT(t)(t≥0)為－(A＋CI)生成的C0-半群。

對于上、下解有如下定義。

定義1 若v∈PC(J,X1)∩C1(J′,X)∩C(J′,X1)滿足[4]:

則稱v為脈沖發(fā)展方程(1)的上解;不等式全取反向時,稱為下解。

2 主要結果

對于J＝[0,T],PC(J,X)構成有序Banach空間,故可以在整個區(qū)間上考慮初值問題(1)mild解的存在性[14],得到如下定理。

定理1-A生成正C0-半群T(t),x0∈X,Ik∶X→X(k＝1,2,…,m)連續(xù)。若問題(1)存在下解v0及上解w0,使v0≤w0,且滿足如下假設:

(H1) ?C≥0,對?x1,x2∈X,t∈J,當v0(t)≤x1≤x2≤w0(t)時,有

(H2) 對?x1,x2∈X,當v0(tk)≤x1≤x2≤w0(tk)(k＝1,2,…,m)時,有

(H3) ?L＞0,使得對任意的單調序列B＝{un}?[v0,w0],有

則初值問題(1)在[v0,w0]中存在最小mild解u和最大mild解,并且和分別可用上、下解單調迭代求解。

證明記D＝[v0,w0],S(t)＝e－CtT(t)(t≥0)為－(A＋CI)生成的正C0-半群。令

對?h∈D,考慮X中的線性脈沖發(fā)展方程初值問題:

由引理1,問題(6)存在唯一的mild解:

由Ik(k＝1,2,…,m)的連續(xù)性,易見Q∶D→PC(J,X)連續(xù)。若u∈D為Q的不動點:u＝Qu,u滿足積分方程(5)。則由引理2知,u為問題(1)的mild解,反之則不是問題(1)的mild解。故問題(1)的mild解即為Q的不動點。

對?h1,h2∈D,h1≤h2,由假設(H1)和(H2),有

即Qh1≤Qh2,故Q∶D→PC(J,X)為增算子。

下證:v0≤Qv0,Qw0≤w0。

因為v0為方程(1)的下解,故h(t)＝v′0(t)＋Av0(t)＋Cv0(t)∈PC(J,X),且h(t)≤f(t,v0(t))＋Cv0(t)。由線性脈沖發(fā)展方程mild解的積分表示,有

又因為I1∶X→X連續(xù),B0(t1)是X中的相對緊集,所以α(I1(B0(t1)))＝0。故

由Bellman不等式,α(B(t))≡0,t∈J1(特別地,α(B(t2))＝0),所以對?t∈J1,{vn(t)}相對緊。

類似地可以證明,對?t∈Jk(k＝2,3,…,m),α(B(t))≡0,從而{vn(t)}相對緊。因此,對?t∈J,{vn(t)}相對緊。結合單調性,{vn(t)}處處收斂,即{vn(t)}→ˉu(t)于t∈J。同理{wn(t)}→ˉu(t)于t∈J。

因為{vn(t)}∈PC(J,X),所以在每個Jk(k＝2,3,…,m)上有界可積。又因為t∈Jk時,vn(t)＝(Qvn－1)(t)＝S(t)x0＋

令n→∞,由Lebesgue控制收斂定理,對?t∈Jk(k＝2,3,…,m),有

注:即使對于不含脈沖的發(fā)展方程(2),上述定理的結論也是新的,不要求T(t)的等度連續(xù)性。

如果分別在每個Ji(i＝0,1,…,m)上來討論,此時問題轉化為不含脈沖的情形,因此可以不用假設脈沖函數(shù)的連續(xù)性,仍采用定理1的證明思路,僅得到了mild解的存在性。

定理2-A生成正C0-半群T(t),x0∈X,Ik∶X→X(k＝1,2,…,m)。若問題(1)存在下解v0及上解w0,使v0≤w0,且滿足假設(H1)～(H3),則初值問題(1)在[v0,w0]中存在mild解。

證明略。

當P為正則錐時,結合條件(H1)和正則錐的性質可推出條件(H3)[3],這樣就可刪去定理1和定理2中的條件(H3),即有以下推論。

推論1 設P為正則錐,-A生成正C0-半群T(t),x0∈X,Ik∶X→X(k＝1,2,…,m)連續(xù)。若問題(1)存在下解v0及上解w0,使v0≤w0,且滿足假設(H1)和(H2),則初值問題(1)在[v0,w0]中存在最小mild解和最大mild解,并且和分別可用上下解單調迭代求解。

推論2 設P為正則錐,-A生成正C0-半群T(t),x0∈X,Ik∶X→X(k＝1,2,…,m)。若問題(1)存在下解v0及上解w0,使v0≤w0,且滿足假設(H1)和(H2),則初值問題(1)在[v0,w0]中存在mild解。

3 結語

不要求半群的等度連續(xù)型,僅在正C0-半群下,采用單調迭代方法,對脈沖函數(shù)附加極少限制,得到了含脈沖的發(fā)展方程(1)最小、最大mild解的存在性,并且最小、最大mild解可通過迭代求解,推廣了已有工作。得到的抽象結果可應用于多種數(shù)學物理方程[17],在應用中具有一定的有效性,限于篇幅不再贅述。

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Upper and Lower Solutions Method of Initial-value Problem in Pulse Evolution Equation

Li Ying
(College of Mathematics and Information Science,Baoji University of Arts and Sciences,Baoji721013,China)

It is mainly study existence of initial-value problem solution in the first-order impulsive evolution equation in Banach space.Only when semigroup is positive semigroup,little limit is applied to impulsive item.By using the characteristic of positive semigroup of operators and upper and lower solutions monotonous iterative method,the existence and other some results of minimum and maximum mild solution of non-linear impulsive evolution equation initial-value problem can be attained,the current work has been popularized.

Upper and lower solutions;Mild solution;Initial-value problem;PositiveC0-semigroup;Monotonous iterative method

O175.3

:A

:1004-0366(2016)05-0005-05

2016-04-05;

:2016-05-25.

國家自然科學基金資助項目(11371031);陜西省自然科學基礎研究計劃資助項目(2014JM1027);寶雞文理學院重點科研計劃項目(ZK16028).

李瑩(1981-),女,甘肅張掖人,碩士,講師,研究方向為發(fā)展方程理論和應用.E-mail:chinaly1981＠163.com.

Li Ying.Upper and Lower Solutions Method of Initial-value Problem in Pulse Evolution Equation[J].Journal of Gansu Sciences,2016,28(5):5-9.[李瑩.抽象空間脈沖發(fā)展方程初值問題的上下解方法[J].甘肅科學學報,2016,28(5):5-9.]

10.16468/j.cnkii.ssn1004-0366.2016.05.002.