王曦浛,高 麗,李國蓉,薛 陽

(延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,陜西延安 716000)

偽Smarandache無平方因子函數(shù)與Euler函數(shù)的兩個方程

王曦浛,高 麗,李國蓉,薛 陽

(延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,陜西延安 716000)

對任意的正整數(shù)n,著名的偽Smarandache無平方因子函數(shù)Zw(n)定義為最小的正整數(shù)m使得n|mn,利用初等方法以及偽Smarandache無平方因子函數(shù)Zw(n)和Euler函數(shù)φ(n)的性質(zhì),研究了方程Zw(φ(n))＝φ(Zw(n))的可解性,證明了該方程有無窮多個正整數(shù)解。同時討論了方程Zw(n)＋φ(n)＝2n的可解性,并求出了該方程的正整數(shù)解為n＝1。

偽Smarandache無平方因子函數(shù);Euler函數(shù);正整數(shù)解

對任意的正整數(shù)n,著名的偽Smarandache無平方因子函數(shù)Zw(n)[1]定義為最小的正整數(shù)m使得n|mn,即Zw(n)＝min{m∶n|mn,m∈N}。這個Zw(n)函數(shù)是由美籍羅馬尼亞著名的數(shù)論專家Smarandache教授在他所著的《Only Problems, Not Solutions!》一書中提出來的,并建議人們研究其性質(zhì)。而Euler函數(shù)φ(n)定義為不大于n且與n互素的正整數(shù)的個數(shù)。對于這兩個函數(shù)許多學(xué)者對其進(jìn)行了研究,并得出了有意義的結(jié)論[2-7],如文獻(xiàn)[2]中研究了方程Zw(Z(n))－Z(Zw(n))＝0的可解性,并證明了該方程有無窮多個正整數(shù)解,文獻(xiàn)[3]中研究了方程Zw(n)＝φ(n)與Zw(n)＋S(n)＝2n的可解性問題,文獻(xiàn)[4]中討論了Sk(n)＝φ(n)的可解性,并給出該方程的所有正整數(shù)解,文獻(xiàn)[5]中討論了兩個數(shù)論函數(shù)方程φ(n)＝Z(nk)與Z(n)＋φ(n)＝2n的可解性問題,并給出所有的正整數(shù)解,文獻(xiàn)[6]中討論了關(guān)于Smarandache函數(shù)和Euler函數(shù)的三個方程的可解性問題并求出所有正整數(shù)解。

我們利用初等方法研究了方程Zw(φ(n))＝φ(Zw(n))與Zw(n)＋φ(n)＝2n的可解性問題,并給出方程所有的正整數(shù)解。

1 相關(guān)引理

引理1對于素?cái)?shù)p與α≥1,有φ(pα)＝pα－1(p－1)[8]。

引理3設(shè)n是任意的正整數(shù),有Zw(n)≤n,特別當(dāng)n是無平方因子數(shù)時,則Zw(n)＝n[9]。

引理4如果p為素?cái)?shù)且k≥1,則Zw(pk)＝p[]。

引理6若(m,n)＝1,則Zw(m,n)＝Zw(m)·Zw(n)[9]。

2 主要結(jié)論及其證明

定理1對任意的正整數(shù)n,方程

有無窮多個正整數(shù)解。

證明(1)顯然當(dāng)n＝1時,Zw(φ(1))＝1,φ(Zw(1))＝1,故方程(1)成立。

(2)當(dāng)n＝p時,由引理1和引理4可知:Zw(φ(p))＝Zw(p－1),φ(Zw(p))＝φ(p)＝p－1。若方程(1)成立,則Zw(p－1)＝p－1。顯然當(dāng)p－1為無平方因子數(shù)時,Zw(p－1)＝p－1成立,所以當(dāng)n＝p且p－1為無平方因子數(shù)即為方程(1)的解。

(3)當(dāng)n＝pα?xí)r,由引理1和引理4可知,Zw(φ(pα))＝Zw(pα－1(p－1)),φ(Zw(pα))＝φ(p)＝p－1。此處對p分兩種情況討論:

(ⅰ)當(dāng)p是奇素?cái)?shù)時,α≥2,∵(pα－1,p－1)＝1。由引理6可知:Zw(φ(pα))＝Zw(pα－1(p－1))＝Zw(pα－1)·Zw(p－1)＝p·Zw(p－1)。若方程(1)成立,則p·Zw(p－1)＝p－1,即Zw(p－1)＝1－經(jīng)檢驗(yàn)方程(1)無解。

(ⅱ)當(dāng)p＝2時,有Zw(φ(2α))＝Zw(2α－1),φ(Zw(2α))＝φ(2)＝1。若方程(1)成立,則Zw(2α－1)＝1,即α＝1。故當(dāng)α＝1,p＝2,n＝2,方程(1)成立。

當(dāng)α1,α2,…,αs全都為1時,顯然有

若式(1)成立,則

結(jié)論與引理3矛盾,因此方程(1)無解。

當(dāng)α1,α2,…,αs不全為1時,又可以分兩種情況討論:

(ⅰ)當(dāng)p1,p2,…,ps全為奇素?cái)?shù)時,由引理2和

引理6可知:

由引理5可知:

若方程(1)成立,則

化簡得

結(jié)論與引理3矛盾,則方程(1)無解。

結(jié)論與引理3矛盾,則方程(1)無解。

綜上所述,得到方程(1)有無窮多個正整數(shù)解。

定理2對任意的正整數(shù)n,方程

僅有正整數(shù)解n＝1。

證明(1)當(dāng)n＝1時,由函數(shù)Zw(n)、φ(n)的定義,有Zw(1)＝1、φ(1)＝1,所以Zw(1)＋φ(1)＝2。

(2)當(dāng)n＝p時,由引理1和引理4可知

(3)當(dāng)n＝pα?xí)r,由引理1和引理4可知:Zw(pα)＝p,φ(pα)＝pα－1(p－1),則Zw(pα)＋φ(pα)＝p＋pα－1(p－1)。此處對p分兩種情況討論:

(ⅰ)當(dāng)p是奇素?cái)?shù)時,α≥2有p＋pα－1(p－1)＜2pα,即Zw(n)＋φ(n)＜2n。

(ⅱ)當(dāng)p＝2時,有Zw(2α)＝2,φ(2α)＝2α－1,則Zw(2α)＋φ(2α)＝2＋2α－1,∵2＋2α－1＜2·2α＝2α＋1,∴Zw(n)＋φ(n)＜2n。

當(dāng)α1,α2,…,αs全都為1時,顯然有p1p2…ps＋(p1－1)(p2－1)…(ps－1)＜2p1p2…ps,即Zw(n)＋φ(n)＜2n。

當(dāng)α1,α2,…,αs不全為1時,又可以分兩種情況討論:

綜上所述,方程(2)僅有正整數(shù)解n＝1。證畢。

[1] Smarandache F.Only Problems,Not Solutions[M].Chicago: Xiquan Publishing House,1993.

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[3] 王春萍.與Smarandache函數(shù)相關(guān)的一些方程[D].西安:西北大學(xué),2010.

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Two Equation of Fake Smarandache Square-free Factor Function and Euler Function

Wang Xihan,Gao Li,Li Guorong,Xue Yang
(College of Mathematics and Computer Science,Yan’an University,Yan’an716000,China)

For any positive integern,the famous fake Smarandache square-free factor functionZw(n)is defined as positive integerm,n|mn,with primary method and fake Smarandache square-free factor functionZw(n)and Euler functionφ(n),this text studies solvability of equationZw(φ(n))＝φ(Zw(n)),and proves that this equation has infinitely many integer solutions.Meanwhile,it discusses the solvability ofZw(n)＋φ(n)＝2n,giving its positive integer solution thatn＝1.

Fake Smarandache square-free factor function;Euler function;Positive integer solution

O156.4

:A

:1004-0366(2016)05-0023-03

Wang Xihan,Gao Li,Li Guorong,et al.Two Equation of Fake Smarandache Square-free Factor Function and Euler Function[J].Journal of Gansu Sciences,2016,28(5):23-25.[王曦浛,高麗,李國蓉,等.偽Smarandache無平方因子函數(shù)與Euler函數(shù)的兩個方程[J].甘肅科學(xué)學(xué)報(bào),2016,28(5):23-25.]

10.16468/j.cnkii.ssn1004-0366.2016.05.006.

2016-04-13;

:2016-05-26.

陜西省科技廳科學(xué)技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目(2013JQ1019);延安大學(xué)校級科研計(jì)劃項(xiàng)目-引導(dǎo)項(xiàng)目(YD2014-05);延安大學(xué)研究生教育創(chuàng)新計(jì)劃項(xiàng)目.

王曦浛(1990-),女,陜西乾縣人,碩士研究生,研究方向?yàn)閿?shù)論.E-mail:648034259＠qq.com.

高麗.E-mail:yadxgl＠163.com.