（連江文筆中學(xué)，福建福州350500）

例談校本作業(yè)中開放題的設(shè)置策略

陳維樂(lè)

（連江文筆中學(xué)，福建福州350500）

在日常教學(xué)中，為更好地開拓學(xué)生思維的廣闊性和發(fā)散性，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，需要教師在校本作業(yè)中設(shè)置一定量的數(shù)學(xué)開放題。本文通過(guò)若干個(gè)實(shí)例闡述了數(shù)學(xué)開放題在校本作業(yè)中設(shè)置策略，以及它在提升學(xué)生思維水平方面的作用。

數(shù)學(xué)開放題；校本作業(yè)；思維；案例

一、兩個(gè)概念

1.數(shù)學(xué)開放題

戴再平對(duì)數(shù)學(xué)開放題給出了一個(gè)描述性的界定：數(shù)學(xué)開放題是指那些答案不唯一，并在設(shè)問(wèn)方式上要求學(xué)生進(jìn)行多方面、多角度、多層次探索的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

2.校本作業(yè)

所謂校本作業(yè)，是指教師從所在校的生源具體情況出發(fā)，結(jié)合學(xué)校師資的傳統(tǒng)優(yōu)勢(shì)，所開發(fā)或者選編出來(lái)，能很好體現(xiàn)本校特色且適合學(xué)情的作業(yè)。

二、研究的意義

作業(yè)是教育活動(dòng)的一個(gè)重要組成部分，它既是教師教學(xué)活動(dòng)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，又是學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行鞏固的有效途徑。但目前數(shù)學(xué)作業(yè)長(zhǎng)期被封閉題所霸占，鮮見開放題，這種單一的題目模式不利于學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)。而數(shù)學(xué)開放題具有“條件可以冗余或不足；答案不要求唯一確定，甚至可以無(wú)終極的答案；解題方法可以豐富多樣”等特點(diǎn)，它能給學(xué)生提供廣闊的平臺(tái)，讓他們充分發(fā)揮創(chuàng)造性。因而，數(shù)學(xué)開放題很好地彌補(bǔ)了現(xiàn)階段校本作業(yè)中封閉有余、開放不足的缺憾，讓校本作業(yè)在開拓學(xué)生思維的廣闊性和發(fā)散性方面發(fā)揮更大的作用。

三、開放題設(shè)置策略

在校本作業(yè)中設(shè)置一定量的數(shù)學(xué)開放題是有意義的，我們?cè)撊绾卧O(shè)置，在哪些環(huán)節(jié)設(shè)置？下面筆者著重從校本作業(yè)中常見的幾個(gè)環(huán)節(jié)的設(shè)置策略和作用，結(jié)合實(shí)例予以闡述。

1.用在新課引入環(huán)節(jié)

通過(guò)設(shè)置開放問(wèn)題，展開討論，逐步引入新課課題，是新課引入常見的一種形式，但常常因?yàn)橐恍┲R(shí)學(xué)習(xí)時(shí)間間隔過(guò)久而冷場(chǎng)，或因?yàn)閱?wèn)題的開放性較大，學(xué)生參與的“熱情”過(guò)度，導(dǎo)致教師無(wú)法很好地掌控課堂教學(xué)進(jìn)程，完成預(yù)定教學(xué)任務(wù)。針對(duì)這一問(wèn)題，筆者在某些需要大量討論的課嘗試將引入環(huán)節(jié)前置，即在課前布置預(yù)習(xí)作業(yè)，以期更好地掌控課堂教學(xué)進(jìn)程。例如在學(xué)習(xí)《正弦定理》前筆者以開放題的形式布置了一道預(yù)習(xí)作業(yè)：

【例1】一般地，把三角形的三個(gè)角A,B,C和它們的對(duì)邊a,b,c叫做三角形的元素。初中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)關(guān)于三角形中這些元素的哪些關(guān)系？你能對(duì)此進(jìn)行分類嗎？

該設(shè)問(wèn)類似于頭腦風(fēng)暴，若放在課堂上討論，必將占用較多的時(shí)間。由于將引入環(huán)節(jié)前置，上課時(shí)筆者在學(xué)生匯報(bào)后，給予了簡(jiǎn)單點(diǎn)評(píng)，歸納出如下五個(gè)關(guān)系：①三角形內(nèi)角和等于180°（對(duì)一般三角形中角與角關(guān)系的定量刻畫）；②大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊（對(duì)一般三角形中邊與角關(guān)系的定性刻畫）；③兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊（對(duì)一般三角形中邊與邊關(guān)系的定性刻畫）；④勾股定理及其逆定理（對(duì)特殊三角形中邊與邊關(guān)系的定量刻畫）；⑤銳角的三角函數(shù)（對(duì)特殊三角形中邊與角關(guān)系的定量刻畫）。通過(guò)歸納，引導(dǎo)學(xué)生明確已做過(guò)的研究工作——特殊三角形中邊與邊、邊與角的定量刻畫，這時(shí)再提出“能否對(duì)任意三角形中邊與角的關(guān)系進(jìn)行定量刻畫呢？”引入課題就顯得水到渠成了。接著，在討論銳角三角形和鈍角三角形情形（未研究過(guò)的）時(shí)，可自然地通過(guò)作高將三角形化歸為兩個(gè)直角三角形（已研究過(guò)的）進(jìn)行研究。

這樣的處理，既保留了探究新定理所需要的觀察、分析、類比、歸納、推理，又讓課堂教學(xué)進(jìn)程變得更加可控。

2.用在新知鞏固環(huán)節(jié)

新學(xué)了一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，需要一系列多層次的作業(yè)進(jìn)行鞏固，加深對(duì)新知的理解。對(duì)于定義、概念，我們需要對(duì)其辨析，弄清關(guān)鍵詞；對(duì)于定理、公式，我們常常關(guān)注該定理或公式使用有何前提條件，適用于什么樣的問(wèn)題。在設(shè)置作業(yè)時(shí)，除了機(jī)械記憶，還應(yīng)設(shè)置反例辨析（如判斷題），或者應(yīng)用小綜合（如開放題），追求對(duì)新知本質(zhì)的理解。筆者在《正弦定理》課后設(shè)置了這樣一道開放題。

【例2】在△ABC中，給出如下條件：

①a=6；②c=3+1；③A=60°；④B=45°。

從上述條件中選擇三個(gè)條件作為已知條件，利用正弦定理解三角形。

要解決本題，不僅要會(huì)用正弦定理，而且還要明確正弦定理所適用的情況：1.已知兩角一邊，解三角形；2.已知兩邊一對(duì)角，解三角形。從學(xué)生答題情況來(lái)看，大多數(shù)同學(xué)均能選擇正確的方案，但只有一半的同學(xué)能通過(guò)判斷，選擇更易計(jì)算的方案①③④或②③④。這體現(xiàn)了不同思維層次的學(xué)生對(duì)問(wèn)題思考深刻程度的不同，通過(guò)比較，讓學(xué)生很好地感受到“只有多思才能少算”。多做這樣的訓(xùn)練，學(xué)生在做題目時(shí)就會(huì)更愿意去思考，選擇更優(yōu)的解題途徑，而不是盲目地下筆。

3.用在知識(shí)復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)

在階段學(xué)習(xí)后，如章末、期中、期末等時(shí)間點(diǎn)，我們要對(duì)所學(xué)知識(shí)與方法做一歸納小結(jié)，幫助學(xué)生進(jìn)行梳理，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，以達(dá)到融會(huì)貫通。下例是筆者針對(duì)必修四復(fù)習(xí)設(shè)計(jì)的一道開放題，意在引導(dǎo)學(xué)生對(duì)求角度問(wèn)題做一梳理。

【例3】如圖1所示，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為邊AB的中點(diǎn)，線段AC與DE交于點(diǎn)P，求∠APD的某個(gè)三角函數(shù)值。

本題背景熟悉，條件簡(jiǎn)潔明了，表達(dá)通俗易懂，有著“起點(diǎn)低，入口寬，多層次”的特點(diǎn)。以常見正方形為背景，讓學(xué)生可以多角度使用平面幾何知識(shí)來(lái)輔助解題；入口寬，讓學(xué)生可以利用不同的方法刻畫∠APD，從而求出某個(gè)三角函數(shù)值；不同的視角帶來(lái)不同的計(jì)算量。在實(shí)際訓(xùn)練中，學(xué)生對(duì)本題的研究表現(xiàn)出很高的熱情，提供了多種解法，筆者將它們歸納為如圖2所示的幾個(gè)思路：

值得一提的是，在確定點(diǎn)P位置時(shí)，還呈現(xiàn)出利用△AEP∽△CDP、點(diǎn)P為△ABD重心、向量分解“算兩次”、直線方程求交點(diǎn)等不同的精彩。在這些解法中，涉及了平面幾何、解析幾何、三角恒等變換、平面向量的應(yīng)用等知識(shí)與方法，理順了求角的幾種常見思路。毋庸置疑，這樣的復(fù)習(xí)必將對(duì)學(xué)生加深知識(shí)與方法的理解，乃至融會(huì)貫通起到積極的推動(dòng)作用。

4.用在分層作業(yè)環(huán)節(jié)

讓學(xué)生學(xué)有用的數(shù)學(xué)，讓不同層次的學(xué)生都得到發(fā)展，是我們一直在追求的目標(biāo)。如何在校本作業(yè)中設(shè)置分層作業(yè)，而不讓學(xué)困生產(chǎn)生自卑心理，筆者做了一些有益的嘗試，例如下題。

【例4】判斷函數(shù)f(x)=log2x-的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并指出其零點(diǎn)所在的大致區(qū)間（所給區(qū)間長(zhǎng)度短者為佳）。

本題在判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，既可從“形”出發(fā)，通過(guò)觀察函數(shù)y=x與y=的交點(diǎn)情況予以判斷，也可從“數(shù)”出發(fā)，利用f(x)為增函數(shù)，借助零點(diǎn)存在性定理予以解決。對(duì)于零點(diǎn)所在的區(qū)間，能力較低的學(xué)生可以通過(guò)判斷f(1)=0-1＜0，f(2)=1-＞0，推得零點(diǎn)x0?(1,2)。能力中等的學(xué)生由二分法可知，可繼續(xù)判斷的符號(hào)，通過(guò)變形和放縮得到，推得零點(diǎn)能力高的學(xué)生以此類推，可繼續(xù)判斷，甚至更為精確。

本題解法不單一，隨著零點(diǎn)所在區(qū)間長(zhǎng)度的縮短，對(duì)函數(shù)值符號(hào)的判斷難度增大，但各種水平的學(xué)生都有機(jī)會(huì)作出回答。這樣的分層作業(yè)既考慮到學(xué)生學(xué)業(yè)水平層次的不同，又在相同的題目背景下讓每個(gè)學(xué)生都能作答。

5.用在解題反思環(huán)節(jié)

美籍匈牙利數(shù)學(xué)家喬治·波利亞說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題之后的回顧?！敝挥袑W(xué)會(huì)解后反思，才能舉一反三，觸類旁通，從而脫離題海戰(zhàn)術(shù)之苦。在必修3第一章學(xué)習(xí)程序框圖設(shè)計(jì)時(shí)，“設(shè)計(jì)一個(gè)計(jì)算1+2+…+100的值算法”是課本上的一道例題，它是一類數(shù)列求和或求積問(wèn)題的母題，它對(duì)學(xué)生深刻地理解算法思想和程序框圖的設(shè)計(jì)起著非常重要的作用，教師有必要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)該例題進(jìn)行更為深刻地研究與反思。基于此，筆者在《程序框圖的畫法》這一節(jié)課后作業(yè)設(shè)計(jì)了如下一道開放題。

【例5】如圖3的程序框圖是計(jì)算1+2+…+100的值的一個(gè)算法，這是循環(huán)結(jié)構(gòu)應(yīng)用的一個(gè)重要實(shí)例，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行微調(diào)即可解決一類求和、求積的問(wèn)題。如只要將③處改為S=S+i2，該算法即可用于計(jì)算12+22+…1002的值。類似的有：

（1）將②處改為_____，③處改為_______，可用來(lái)計(jì)算1×2×…×99×100的值；

（2）請(qǐng)類比上述例子，改動(dòng)如圖3程序框圖中的若干處（不超過(guò)三處），解決一個(gè)求和或求積問(wèn)題。

該題以課本例題為母題，通過(guò)舉例示范，演示循環(huán)結(jié)構(gòu)在求和、求積問(wèn)題中的應(yīng)用，通過(guò)多層設(shè)問(wèn)，引發(fā)學(xué)生進(jìn)行解題反思，主動(dòng)對(duì)一道題目進(jìn)行適當(dāng)?shù)念惐?、引申、拓展。這不僅能讓學(xué)生直擊問(wèn)題的核心，而且能激發(fā)學(xué)生的探究熱情，提高他們的解題能力。

以上幾個(gè)案例說(shuō)明，數(shù)學(xué)開放題能給學(xué)生更多的思考空間，它有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的主動(dòng)建構(gòu)，獲得認(rèn)知結(jié)構(gòu)的改造和重組。在校本作業(yè)中設(shè)置數(shù)學(xué)開放題，必將對(duì)開拓學(xué)生思維的廣闊性和發(fā)散性，培養(yǎng)其創(chuàng)新意識(shí)起到積極的作用。

本文系福建省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2013年度課題“基于人本理念的高中數(shù)學(xué)校本作業(yè)模式研究”（項(xiàng)目編號(hào)：FJJKXB13—170）階段性研究成果。