陳玉明

（廣東技術(shù)師范學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，廣東廣州 510665）

一類廣義Lorenz-Stenflo超混沌系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性及fold分岔研究

陳玉明

（廣東技術(shù)師范學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，廣東廣州 510665）

針對一類廣義的Lorenz-Stenflo四維超混沌系統(tǒng)，基于Routh-Hurwitz準(zhǔn)則，分別研究了該系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡點(diǎn)及非原點(diǎn)平衡點(diǎn)為雙曲平衡點(diǎn)時(shí)的局部穩(wěn)定性，并利用含參中心流形方法，對該系統(tǒng)在原點(diǎn)平衡點(diǎn)處的fold分岔進(jìn)行了研究，從而獲得了原點(diǎn)平衡點(diǎn)為非雙曲時(shí)的穩(wěn)定性行為.

Lorenz型系統(tǒng)；超混沌；穩(wěn)定性；fold分岔

1 引言

在1963年，Lorenz在研究氣象模型時(shí)提出了第一個(gè)混沌數(shù)理模型，即Lorenz系統(tǒng).從那以后，來自于不同領(lǐng)域的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家及工程師們便對混沌的起源、混沌系統(tǒng)的特征與分岔行為、通向混沌的路徑等各個(gè)方面，都展開了深入地研究.超混沌，作為另一種復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為，它比混沌行為具有更強(qiáng)的復(fù)雜性以及更強(qiáng)的應(yīng)用潛力.由于在自治常微分方程系統(tǒng)中要產(chǎn)生超混沌行為，必須要求系統(tǒng)維數(shù)至少為四維，因此，對四維超混沌系統(tǒng)的研究，尤其是對四維Lorenz型超混沌系統(tǒng)的研究，將顯得尤為重要.

在對于混沌系統(tǒng)的研究中，系統(tǒng)局部穩(wěn)定性及分岔行為的研究是非常重要的一部分.隨著系統(tǒng)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的改變，即發(fā)生分岔行為，系統(tǒng)的局部動(dòng)力學(xué)行為也會(huì)隨之改變，甚至?xí)l(fā)系統(tǒng)全局動(dòng)力學(xué)行為的變化.在穩(wěn)定性的研究方面，針對經(jīng)典的Lorenz系統(tǒng)，文獻(xiàn)［5］給出了Lorenz系統(tǒng)零平衡點(diǎn)Lyapunov意義下全局指數(shù)穩(wěn)定、全局漸近穩(wěn)定以及不穩(wěn)定的簡潔的代數(shù)充分條件，也給出了兩個(gè)非零平衡點(diǎn)局部指數(shù)穩(wěn)定、不穩(wěn)定及線性化系統(tǒng)穩(wěn)定而非漸近穩(wěn)定的代數(shù)充分條件.在fold分岔的研究方面，文獻(xiàn)［6］利用間接法對一典型的電壓穩(wěn)定模型進(jìn)行計(jì)算并確定了系統(tǒng)負(fù)荷的fold分岔值，而文獻(xiàn)［7］則首次利用了含參中心流形的方法對電力系統(tǒng)中與電壓崩潰相關(guān)聯(lián)的fold分岔進(jìn)行了簡化分析.針對三維統(tǒng)一Lorenz型系統(tǒng)及一類四維Lorenz型超混沌系統(tǒng)，文獻(xiàn)［8，9］分別對它們原點(diǎn)平衡點(diǎn)處的fold分岔進(jìn)行了仔細(xì)地研究.

在1996年，Stenflo沿著Lorenz模型的方向，提出了描述大氣擾動(dòng)的一個(gè)簡單模型，其被稱為Lorenz-Stenflo系統(tǒng)［10］.該系統(tǒng)考慮了地球的旋轉(zhuǎn)，黏度效應(yīng)及熱擴(kuò)散效應(yīng)等因素，該系統(tǒng)的方程為

基于上述的Lorenz-Stenflo系統(tǒng)，通過將該系統(tǒng)的參數(shù)可選取范圍進(jìn)行推廣，本文考慮了如下的廣義Lorenz-Stenflo系統(tǒng)

其中參數(shù)滿足a>0，b>0，cdrs≠0.當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)選取a=19.42，b=1.91，c=29.45，d=-2.86，r= 0.23及s=9.64時(shí)，系統(tǒng)（1）具有超混沌吸引子，該吸引子所對應(yīng)的Lyapunov指數(shù)為

λLE1=0.0696，λLE2=0.0359，

λLE3=0.0002，λLE4=-24.5176.

該超混沌吸引子在x-y-w空間的投影相圖如圖1所示.

圖1 系統(tǒng)（1）的超混沌吸引子在x-y-w空間的投影相圖

當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)滿足（ar+s）（ar（c+d）+ds）≤0時(shí)，系統(tǒng)（1）只具有唯一平衡點(diǎn)E0(0,0,0,0).而當(dāng)（ar+ s）（ar（c+d）+ds）>0時(shí)，系統(tǒng)（1）除了具有原點(diǎn)平衡點(diǎn)E0之外，還將具有另外兩個(gè)關(guān)于z軸對稱的非原點(diǎn)平衡點(diǎn)

針對四維廣義Lorenz-Stenflo超混沌系統(tǒng)（1），本文將研究該系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡點(diǎn)E0及非原點(diǎn)平衡點(diǎn)E±為雙曲平衡點(diǎn)時(shí)的穩(wěn)定性，并且通過對原點(diǎn)平衡點(diǎn)E0的fold分岔研究，還將進(jìn)一步得到原點(diǎn)平衡點(diǎn)E0為非雙曲平衡點(diǎn)時(shí)的穩(wěn)定性性質(zhì).

2 平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性

根據(jù)系統(tǒng)（1）的代數(shù)方程，可算得平衡點(diǎn)（x*，y*，z*，w*）處的Jacobian矩陣為

如下的兩個(gè)定理分別研究了系統(tǒng)（1）的平衡點(diǎn)E0及E±為雙曲平衡點(diǎn)時(shí)的穩(wěn)定性性質(zhì).

定理1.當(dāng)下述條件集合成立時(shí)，

平衡點(diǎn)為雙曲平衡點(diǎn)，并且是局部漸近穩(wěn)定的.

證明.容易算得Jacobian矩陣A在平衡點(diǎn)E0處的特征方程為

其中c1=a-d+r，c2=-ac-ad+ar-dr+s，c3=-acr-adr-ds.

計(jì)算如下的幾個(gè)行列式：

如果條件集合（3）成立，則可推得Δ1>0，Δ2>0及Δ3>0同時(shí)成立，而根據(jù)Routh-Hurwitz準(zhǔn)則，可知特征方程（4）所有的根都將具有負(fù)實(shí)部，從而平衡點(diǎn)E0為雙曲平衡點(diǎn)，并且為局部漸近穩(wěn)定的.

由于系統(tǒng)（1）在坐標(biāo)變換（x，y，z，w）→（-x，-y，z，-w）的作用下是保持不變的，于是平衡點(diǎn)E+及E-的穩(wěn)定性性質(zhì)將完全相同.因此，在下述定理中只需要研究平衡點(diǎn)E+的局部穩(wěn)定性即可.

定理2.當(dāng)參數(shù)滿足（ar+s）（ar（c+d）+ds）>0時(shí)，且有如下的條件集合成立

則系統(tǒng)（1）的非原點(diǎn)平衡點(diǎn)E+為雙曲平衡點(diǎn)，并且是局部漸近穩(wěn)定的.否則，平衡點(diǎn)為非雙曲或不穩(wěn)定的平衡點(diǎn).

證明.如果參數(shù)條件（ar+s）（ar（c+d）+ds）>0成立，則系統(tǒng)（1）將具有一對對稱的非原點(diǎn)平衡點(diǎn)E±，如表達(dá)式（2）所示.Jacobian矩陣A在平衡點(diǎn)E+處的特征多項(xiàng)式為

其中

基于條件集合（5），可算得如下幾個(gè)行列式

從而根據(jù)Routh-Hurwitz準(zhǔn)則，可得特征多項(xiàng)式（6）的所有根都將具有負(fù)實(shí)部，于是系統(tǒng)（1）的非原點(diǎn)平衡點(diǎn)E+為雙曲平衡點(diǎn)，并且是局部漸近穩(wěn)定的.否則，如果條件集合（5）不成立，則特征多項(xiàng)式（6）的某些根將會(huì)具有非負(fù)實(shí)部，即零實(shí)部或正實(shí)部，從而使得平衡點(diǎn)E+為非雙曲或不穩(wěn)定的平衡點(diǎn).

3 Fold分岔

通過使用含參中心留形理論以及規(guī)范形理論，本節(jié)將仔細(xì)地研究系統(tǒng)（1）在原點(diǎn)平衡點(diǎn)E0處的fold分岔，進(jìn)而得到fold分岔臨界狀態(tài)下非雙曲平衡點(diǎn)E0的穩(wěn)定性性質(zhì)，如下述定理所示.

定理3.令（a+r）d2+ac（d+r）≠0及d≠0，當(dāng)參數(shù)s穿過臨界值s0=-ar（c+d）/d時(shí)，系統(tǒng)（1）在平衡點(diǎn)E0處發(fā)生fold分岔，并且在fold分岔臨界狀態(tài)下，非雙曲平衡點(diǎn)E0處的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)如表1所示.

證明.由定理1的證明部分可知，系統(tǒng)（1）在平衡點(diǎn)E0處的特征方程如（4）所示.因此，當(dāng)s=-ar（c+d）/d及（a+r）d2+ac（d+s）≠0時(shí)，特征方程（4）具有一個(gè)零根，以及三個(gè)具有非零實(shí)部的其它特征根.

為了確定在臨界參數(shù)s=-ar（c+d）/d之下，非雙曲平衡點(diǎn)E0的穩(wěn)定性性質(zhì)，考慮系統(tǒng)（1）的如下等價(jià)變換:

其中a，b，c，d及r被看成固定常數(shù)，而sˉ= s+ar（c+d）/d則被當(dāng)成變化參數(shù).值得注意的是，在含參中心流形的討論中，系統(tǒng)（7）中的項(xiàng)sˉw應(yīng)該被看成是非線性項(xiàng)，并且原點(diǎn)E0也還是系統(tǒng)（7）的平衡點(diǎn).在平衡點(diǎn)E0處將系統(tǒng)（7）進(jìn)行線性化，可得對應(yīng)的Jacobian矩陣為

通過簡單計(jì)算，可得矩陣A0的特征值為

在變換（x，y，z，w）T=（ξ3，ξ4，ξ1，ξ2）（u，v，p，q）T的作用下，系統(tǒng)（7）將變換成為如下形式的新系統(tǒng)：

其中

根據(jù)含參中心流形理論，平衡點(diǎn)E0在ˉ=0附近的穩(wěn)定性可以通過研究一階常微分方程在其中心流行上的雙參數(shù)族來得到.這個(gè)中心流行可表示成為變量u及ˉ的一個(gè)圖形，即

于是可計(jì)算得

根據(jù)fold分岔的相關(guān)理論可知，當(dāng)參數(shù)s穿過臨界值s0=-ar（c+d）/d時(shí)，系統(tǒng)（1）在平衡點(diǎn)E0處發(fā)生叉形分岔.

考慮到系統(tǒng)（7）在平衡點(diǎn)E0處的特征值如（8）所示，由中心流形理論可知，系統(tǒng)（1）在非雙曲平衡點(diǎn)E0處的如下動(dòng)力學(xué)行為，見表1.

表1 搖系統(tǒng)（1）在fold分岔平衡點(diǎn)處的局部動(dòng)力學(xué)行為

［1］E.N.Lorenz.Deterministic non-periodic flow［J］.J.Stmos. Sci.1963.20.130-141.

［2］M.W.Hirsh,S.Smale,R.L.Devaney.Differential Equations,Dynamical Systems,and an Introduction to Chaos［M］. New York:Elsevier Academic Press.2007.

［3］L.P.Shilnikov,A.L.Shilnikov,D.V.Turaev,et al.Methods of Qualitative Theory in Nonlinear Dynamics［M］.Singapore: World Scientific.2001.

［4］S.Wiggins.Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos.Second Edit［M］.NewYork: Springer-Verlag.1990.

［5］廖曉昕,羅琦.Lorenz混沌系統(tǒng)Lyapunov穩(wěn)定性簡潔的代數(shù)充要條件及其應(yīng)用［J］.中國科學(xué):信息科學(xué),2010,40(8):1086-1095.

［6］曹國云,陳陳.間接法計(jì)算非線性電壓穩(wěn)定模型的平衡點(diǎn)分岔值［J］.電力系統(tǒng)自動(dòng)化,1999,23(21): 17-20.

［7］曹國云,王沖,陳陳.中心流形方法降維分析電壓崩潰中的Fold分岔［J］.中國電機(jī)工程學(xué)報(bào),2002, 22(7):40-43.

［8］Q.Yang,Y.Chen.Complex dynamics in the unified Lorenz-typesystems［J］.Int.J.Bifurcat.Chaos. 2014.24.1450055(30 pages).

［9］Y.Chen,Q.Yang.Dynamics of a hyperchaotic Lorenz-type system［J］,Nonlinear Dynam.2014.77.569-581.

［10］Stenflo L.Generalized Lorenz equations for acousticgravity waves in the atmosphere［J］.Phys.Scr.1996;53: 83-84.

［責(zé)任編輯：劉向紅］

Local Stability and Fold Bifurcation of a Generalized Lorenz-Stenflo Hyperchaotic System

CHEN Yuming

(School of Computer Science,Guangdong Polytechnic Normal University,Guangzhou 510665,China)

This paper approaches a generalized Lorenz-Stenflo hyperchaotic system.Basing on the Routh-Hurwitz principle,the stabilities of hyperbolic origin equilibrium and hyperbolic non-origin equilibria are investigated.Furthermore,with the help of the parameter-dependent center manifold theory,the fold bifurcation of this hyperchaotic system at origin equilibrium is investigated.Thus,the stability of the non-hyperbolic origin equilibrium is obtained.

Lorenz-type system;Hyperchaos;Stability;Fold bifurcation.

O 415

A

1672-402X（2016）11-0001-05

2016-04-22

廣東省自然科學(xué)基金（主持人：陳玉明，No.2015A030310424）

陳玉明（1987-），男，江西贛州人，博士，廣東技術(shù)師范學(xué)院講師.研究方向：微分方程及動(dòng)力系統(tǒng).