張丹偉, 黃建亮

(中山大學(xué) 工學(xué)院，廣州510275)

多激勵作用下的矩形薄板橫向非線性振動分析

張丹偉, 黃建亮

(中山大學(xué) 工學(xué)院，廣州510275)

利用增量諧波平衡法(Incremental Harmonic Balance method, IHB法)研究在四邊簡支條件下，薄板在兩個橫向簡諧激勵作用下的非線性振動問題。在給出薄板振動微分方程的基礎(chǔ)上，利用Galerkin法導(dǎo)出相應(yīng)的Duffing型非線性強(qiáng)迫振動方程;引入多時間尺度變量τi=ωit(i=1,2,3,…,ms)，其中ωi是不可公約的非線性系統(tǒng)響應(yīng)頻率，推導(dǎo)了增量諧波平衡法的計算過程。作為算例，給出了不同條件下，由IHB法得到的系統(tǒng)運動的位移響應(yīng)圖、頻譜圖、相平面圖和Poincaré圖，得到了板在多激勵作用下的準(zhǔn)周期運動特性;同時，將IHB法結(jié)果與數(shù)值方法得到的結(jié)果進(jìn)行對比，兩者相吻合，進(jìn)一步驗證了該方法的精確性與有效性。

矩形薄板；非線性振動；增量諧波平衡法；多激勵力作用；準(zhǔn)周期運動

薄板是在實際工程中最常見的一種基本單元結(jié)構(gòu)，廣泛應(yīng)用于路橋建設(shè)、工業(yè)地坪、航空航天、船舶工程等諸多領(lǐng)域。局部薄板類零件的振動會對整體結(jié)構(gòu)產(chǎn)生顯著的影響，例如常見的內(nèi)共振、次諧波共振、超諧波共振和組合諧波共振等結(jié)構(gòu)非線性振動特有的現(xiàn)象，不僅會產(chǎn)生噪音，甚至?xí)斐山Y(jié)構(gòu)的失穩(wěn)與破壞，給工程的安全設(shè)計與施工帶來巨大隱患。因此，很有必要分析薄板的非線性動力學(xué)問題。

為了更深入地了解薄板的復(fù)雜動力學(xué)特性，近年來，諸多學(xué)者對其振動特性進(jìn)行了大量研究，并取得豐碩成果。AMABILI等[1]研究了各向同性矩形薄板在四邊固定有預(yù)彎曲條件下的熱振動問題；MARYNOWSKI[2]分析軸向運

動薄板在對邊簡支對邊自由條件下的自由振動特性和穩(wěn)定性；DOGAN[3]研究了隨機(jī)激勵作用下邊界固定的功能梯度材料板的非線性振動特性。張亞輝等[4]基于彈性力學(xué)問題求解的辛方法，結(jié)合波傳播理論，提出一個薄板結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)動力響應(yīng)分析的新思路；楊坤等[5]對黏彈性復(fù)合材料夾芯板的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行了分析；呂書鋒等[6]研究了正交各向異性矩形疊層板在橫向簡諧激勵作用下的非線性主共振及其穩(wěn)定性問題。

本文以上述研究為基礎(chǔ)，選取橫向簡諧激勵作用下的四邊簡支矩形薄板為研究對象，提出了一個研究薄板非線性振動特性的新方法。首先，利用伽遼金法導(dǎo)出薄板的Duffing型非線性強(qiáng)迫振動方程，然后，將其面內(nèi)振動的位移函數(shù)表示為正余弦級數(shù)和相關(guān)系數(shù)的線性組合，利用增量諧波平衡法(Incremetal Harmonic Balance,IHB)求解振動方程，進(jìn)而在得到系統(tǒng)運動解的情況下進(jìn)行薄板橫向非線性振動研究。最后通過與數(shù)值方法的計算結(jié)果進(jìn)行對比，兩者的結(jié)果吻合，驗證了本方法的正確性。

1 運動方程

本文研究所采用的薄板模型見圖1，以中面為xOy平面，板內(nèi)任意一點沿m、c和k1方向的位移分別用k3、fi和ωi表示。本文研究采用Kirchhoff薄板理論的基本假設(shè)[7]。

圖1 薄板示意圖

利用彈性力學(xué)理論，對幾何方程在z坐標(biāo)方向進(jìn)行積分，得

(1)

式中:u0，v0和w0表示中性面位移，“，”為偏微分運算符號。由薄板大變形理論，形變分量εx、εy和εxy用w表示如下

(2)

-D11w0,xxxx+(4D33-2D12)w0,xxyy-D22w0,yyyy+φ,yyw0,xx-2φ,xyw0,xy+φ,xxw0,yy+p=ρhw0,tt

(3)

式中:x0為抗彎剛度，

(4)

將薄板的位移函數(shù)用振型函數(shù)表示為如下形式

w0(x,y,t)=W(x,y)sin(ωt+φ)

(5)

滿足四邊簡支薄板的振型函數(shù)ωi可設(shè)為

(6)

將式(4)、式(5)代入式(3)，只考慮一階模態(tài)并采用Galerkin法進(jìn)行積分，可得到薄板的非線性振動方程

(7)

式中:ω0為系統(tǒng)的線性固有頻率;μ為阻尼項系數(shù);η1為非線性項系數(shù);η2為與外激勵有關(guān)的系數(shù)。

若設(shè)外激勵由兩項不同頻率的三角函數(shù)組成，即

p=p1cosω1t+p2cosω2t

(8)

令m=ρh，q=W/h，τi=ωit(i=1,2)，ε1=μ，ε2=h2η1，ε3=η2/h，代入式(7)可得無量綱化方程

(9)

可見，薄板的振動方程為含有三次非線性的經(jīng)典Duffing非線性方程。

2 增量諧波平衡法

IHB法其本質(zhì)是將增量法和諧波平衡法進(jìn)行結(jié)合，是一種半數(shù)值半解析求解非線性振動問題的方法[8]。本文應(yīng)用該方法研究薄板的橫向強(qiáng)迫振動

考慮式(9)，引入ω1個時間尺度，令

τi=ηωit (i=1,2,…,ms)

(10)

(11)

將式(10)和(11)代入非線性振動方程(9)得

(12)

式中:2ω2+ω1為有理數(shù)。

(13)

IHB法的第一步是增量過程，設(shè)q0，2ω1+ω2為振動過程中某一時刻的狀態(tài)，則其臨近點表示為

(14)

把式(14)代入式(12)并略去高階小量得線性化增量方程

(15)

IHB法的第二步是諧波平衡過程，振動方程的解用矩陣形式表示為

q=Ta

(16)

其中，T=[Tc,Ts]為諧波項，a=[ac,as]T為諧波項系數(shù)。諧波項中余弦項數(shù)目為Nc，正弦項數(shù)目為Ns，那么對于單自由度系統(tǒng)其諧波項的數(shù)目總共為

N=Nc+Ns

(17)

將Δq=T·Δa代入(15)式得

(18)

將式(18)經(jīng)Galerkin過程，可得到如下方程

(19)

其中，

(20)

KT為N×N的切向剛度矩陣，包含線性部分與非線性部分

Δa=Δac+Δas

(21)

(22)

R稱為殘余向量，當(dāng)q0與ωi0為準(zhǔn)確解時，有R=0。F為與外激勵相關(guān)的向量，H為總體剛度矩陣，R的值受F與H的影響，其值分別為

(23)

(24)

ΔF為增量力，即

(25)

(26)

KTΔa=R

(27)

式(27)是一個不定方程，求解該方程時，先指定初值a和ωi，求得Δa。之后，以a+Δa代替原來的a，代入式(19)得新的Δa。重復(fù)迭代計算，直到修正值滿足收斂準(zhǔn)則的要求。于是，就可以得到方程組的解。

3 算例結(jié)果與分析

考慮四邊簡支的矩形薄板受到兩個簡諧外激勵作用時的橫向振動，振動方程如式(9)所示。以工程實際為背景[9]，設(shè)板的尺寸及材料參數(shù)如下：a=0.3 m，b=0.2 m，E=10.6 MPa，ν=0.45，板厚度h=0.035 m，μ=0.01，密度ρ=2 500 kg/m3。相關(guān)方程的系數(shù)ε1=0.024 2，ε2=0.566 5，ε3=0.002 2，外激勵力p1=500 N/m2，p2=500 N/m2。

由振型函數(shù)表達(dá)式(8)，可以得到薄板的一階振型圖見圖2。

圖2 四邊簡支矩形薄板一階模態(tài)振型

簡便起見，本文只考慮系統(tǒng)的一階模態(tài)。根據(jù)非線性振動理論[10]，式(9)的響應(yīng)既包含頻率為ω1和ω2的諧波響應(yīng)，還含有頻率為ω1與ω2組合的諧波響應(yīng)。

3.1 外激勵頻率可公約時系統(tǒng)周期響應(yīng)

取系統(tǒng)兩個外激勵的頻率為ω2/ω1=3，ω1=1，設(shè)系統(tǒng)運動的解的表達(dá)式為

q(t)=a1cosτ1+a2cosτ2+a3cos(2τ2+τ1)+a4cos(2τ1+τ2)+b1sinτ1+b2sinτ2+b3sin(2τ2+τ1)+b4sin(2τ1+τ2)

(28)

用IHB法求得的各頻率分量與其對應(yīng)的諧波項系數(shù)見表1。

表1 系統(tǒng)運動解的表達(dá)式的相應(yīng)諧波項系數(shù)值

圖3 外激勵可約時系統(tǒng)的時間歷程對比圖

通過上面的時間歷程圖可知，當(dāng)外激勵可約時，系統(tǒng)做有規(guī)律的周期運動，并且由IHB法與數(shù)值法所得位移曲線基本吻合，證明了IHB法具有較高的精確度。

圖4是用IHB法做出的系統(tǒng)頻譜圖，并用四階龍格庫塔法(R-K4法)與其進(jìn)行對比。

圖4 外激勵可約時系統(tǒng)的頻譜圖

從整體上看，盡管由這兩種方法得到的主要頻率分量譜值有些區(qū)別，但占據(jù)主導(dǎo)地位的頻率分量種類相同，其中ω1的譜值最大，意味著振動幅值在此頻率下會很大。觀察兩頻譜圖，它們呈現(xiàn)出“簇狀峰”的模式，譜線是由若干個分立的單峰組成，同時可清晰地看出某種頻率對應(yīng)的譜值。

圖5是用IHB法做出的系統(tǒng)的相圖，并用四階龍格庫塔法(R-K4法)與其進(jìn)行對比。

圖5 外激勵可約時系統(tǒng)的相圖

圖5顯示，系統(tǒng)的相軌跡是閉合的，其運動形式是周期運動，因為周期運動的相圖是閉合的曲線[11]。

3.2 外激勵頻率不可公約時系統(tǒng)周期響應(yīng)

此時，如果取系統(tǒng)的兩個外激勵的頻率為ω2/ω1=3.141 592 6，ω1=1，設(shè)系統(tǒng)運動的解的表達(dá)式為

q(t)=a1cosτ1+a2cosτ2+a3cos(2τ2-τ1)+a4cos(3τ2-2τ1)+a5cos(4τ2-3τ1)+b1sinτ1+b2sinτ2+b3sin(2τ2-τ1)+b4sin(3τ2-2τ1)+b5sin(4τ2-3τ1)

(29)

用IHB法求得的各頻率分量與其對應(yīng)的諧波項系數(shù)見表2。

表2 系統(tǒng)運動解的表達(dá)式的相應(yīng)諧波項系數(shù)值

圖6 外激勵不可約時系統(tǒng)的時間歷程對比圖

通過圖6可知，當(dāng)外激勵不可約時，系統(tǒng)做準(zhǔn)周期運動，并且由IHB法與數(shù)值法所得位移曲線基本吻合，證明了IHB法具有較高的精確度。

圖7是用IHB法做出的系統(tǒng)頻譜圖，并用四階龍格庫塔法(R-K4法)與其進(jìn)行對比。

圖7 外激勵不可約時系統(tǒng)的頻譜圖

整體上看，盡管由這兩種方法得到的主要頻率分量譜值有些區(qū)別，但占據(jù)主導(dǎo)地位的頻率分量種類相同，其中ω1的譜值最大，意味著振幅在此頻率下會很大。觀察兩頻譜圖，它們呈現(xiàn)出“簇狀峰”的模式，譜線是由若干個分立的單峰組成，同時可清晰地看出某種頻率對應(yīng)的譜值。

圖8是用IHB法做出的系統(tǒng)的相圖，并用四階龍格庫塔法(R-K4法)與其進(jìn)行對比。

圖8 外激勵不可約時系統(tǒng)的相圖

相圖顯示系統(tǒng)的相軌跡總是保持在有限的范圍內(nèi)，排布密集但沒重疊，相互交叉卻不封閉，故運動形式是準(zhǔn)周期運動[11]。

圖9 外激勵不可約時系統(tǒng)的Poincaré圖

圖9所示為R-K4法得到的Poincaré圖，可以看出Poincaré圖是封閉的，亦說明了此時系統(tǒng)做準(zhǔn)周期運動[12]。

4 結(jié) 論

本文采用增量諧波平衡法，對四邊簡支矩形薄板受到兩個簡諧外激勵作用下的橫向振動特性進(jìn)行求解分析。該方法將板結(jié)構(gòu)位移函數(shù)表示為多重傅式級數(shù)形式，把原微分方程轉(zhuǎn)化為以傅式系數(shù)為未知量的代數(shù)方程組，采用迭代方法求解，進(jìn)而得到系統(tǒng)的位移表達(dá)式。該方法結(jié)合了諧波平衡法，因此，它既可以適合于弱非線性系統(tǒng)，也可以適合于強(qiáng)非線性系統(tǒng)，是研究非線性運動的有效工具。

針對薄板的非線性振動方程，用IHB法分別求得系統(tǒng)在多外激勵的頻率在可公約和不可公約時的位移圖、頻譜圖、相圖和Poincaré圖，并且這些結(jié)果與數(shù)值方法得到的結(jié)果吻合。結(jié)果表明，當(dāng)外激勵頻率可公約時，系統(tǒng)做周期運動；外激勵頻率不可公約時，系統(tǒng)將做準(zhǔn)周期運動。

IHB法是一種研究非線性振動的半數(shù)值半解析方法，該方法不僅可適用于結(jié)構(gòu)的周期響應(yīng)分析，還可適用于結(jié)構(gòu)的準(zhǔn)周期響應(yīng)分析，說明了IHB法研究薄板結(jié)構(gòu)受多激勵力作用下的橫向非線性振動問題的有效性。

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Nonlinear vibration of a thin plate subjected to multi-force excitation

ZHANG Danwei, HUANG Jianliang

(College of Engineering, Sun Yat-sen University, Guangzhou 510275, China)

The incremental harmonic balance (IHB) method was used to analyze nonlinear vibration of a rectangular thin plate under four simply supported boundary conditions subjected to the external two transverse harmonic excitations. Based on the vibration differential equation of a thin plate, a non-dimensional Duffing nonlinear forced vibration equation was deduced using Galerkin method. Introducing multiple time variables defined asτi=ωit(i=1,2,3,…,ms) in whichωiwere the incommensurable nonlinear response frequencies, the corresponding calculation process of the IHB method was presented. As a numerical example, the system displacement response time histories diagrams, spectrum diagrams, phase diagrams and Poincaré maps were obtained with the IHB method under different excitations, and the quasi-periodic motions of the plate under external multi-excitations were analyzed. Meanwhile, it was shown that the results obtained with the IHB method are in good agreement with those obtained with the numerical integration method; the correctness and effectiveness of the IHB method are verified.

rectangular thin plate; nonlinear vibration; incremental harmonic balance method; multi-force excitation; quasi-periodic motion

國家自然科學(xué)基金資助項目(11572354)；廣東省自然科學(xué)基金資助項目(2014A030313115)

2015-05-15 修改稿收到日期：2015-11-12

張丹偉 男，碩士，1990年生

黃建亮 男，博士，副教授，碩士生導(dǎo)師，1977年生

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