王 攀， 廖海辰， 鄧兆祥,2， 魯 俊， 王正亞

(1.重慶大學(xué) 汽車工程學(xué)院，重慶 400044； 2.汽車噪聲振動與安全技術(shù)國家重點實驗室，重慶 400039)

機敏約束層阻尼H∞混合靈敏度控制研究

王 攀1， 廖海辰1， 鄧兆祥1,2， 魯 俊1， 王正亞1

(1.重慶大學(xué) 汽車工程學(xué)院，重慶 400044； 2.汽車噪聲振動與安全技術(shù)國家重點實驗室，重慶 400039)

以SCLD對邊約束板結(jié)構(gòu)為研究對象，采用H∞混合靈敏度控制算法對機敏約束結(jié)構(gòu)振動主動控制問題展開研究;基于有限元單元法，引入GHM模型建立了系統(tǒng)的動力學(xué)模型。采用動力縮聚和內(nèi)平衡相結(jié)合的降階方法，獲得了可控可觀的控制模型。提出H∞混合靈敏度控制算法加權(quán)函數(shù)選取方法并設(shè)計出H∞魯棒控制器。最終在不同外擾激勵下對實際控制效果進行了試驗驗證。結(jié)果表明：根據(jù)所設(shè)計出的魯棒H∞控制器對板結(jié)構(gòu)主動控制取得良好的效果，衰減正弦激勵振動響應(yīng)幅值≈40%，衰減白噪聲激勵振動響應(yīng)均方根值18%。

振動；主動控制；機敏約束層阻尼；H∞混合靈敏度；加權(quán)函數(shù)

薄壁板件是汽車車身的重要組成部分，當(dāng)它們受到外界激勵時，很容易產(chǎn)生振動。特別是20～200 Hz容易引起車身板件共振[1]。近年來機敏約束層阻尼(Smart Constrained Layer Damping，SCLD)技術(shù)成為了主動減振技術(shù)的一個熱點問題，它結(jié)合了約束阻尼技術(shù)與主動阻尼控制技術(shù)的雙重優(yōu)勢，其結(jié)構(gòu)具有約束層阻尼簡單、可靠的特點，又擁有主動控制的自適應(yīng)能力，是一種非常有效的減振手段。尤其在低頻范圍有良好的控制效果。

在結(jié)構(gòu)振動主動控制中，由于剩余模態(tài)和其他參數(shù)攝動的影響以及傳感與作動系統(tǒng)模型存在誤差，使得精確控制模型很難建立[2-4]。魯棒控制在控制系統(tǒng)不確定性條件下可使控制系統(tǒng)維持穩(wěn)定，尤其是H∞已經(jīng)成為國內(nèi)外研究的熱點問題[5-8]。目前基于SCLD結(jié)構(gòu)的H∞混合靈敏度控制加權(quán)函數(shù)還沒有確切的選擇方法，并且對于隨機激勵的控制效果并不理想。為研究魯棒H∞混合靈敏度控制對于機敏約束層阻尼在不同激勵下的控制效果，本文以局部覆蓋SCLD結(jié)構(gòu)的對邊約束板作為研究對象，使用壓電陶瓷作為作動器建立動力學(xué)方程，基于H∞混合靈敏度控制理論，建立結(jié)構(gòu)振動主動控制模型。仿真與主動控制實驗的結(jié)果表明，通過對性能加權(quán)函數(shù)的合理選取，系統(tǒng)對不同類型振動取得了較好的控制效果。

1 有限元動力學(xué)模型

1.1 動力學(xué)方程

機敏約束層阻尼結(jié)構(gòu)包括基層(BASE)，黏彈性層(VEM)和約束層(PZT)。利用有限元法將板結(jié)構(gòu)離散成有限個矩形單元(見圖1)，單元長度為a，寬度為b。

圖1 SCLD矩形單元

每個單元4個節(jié)點，7個自由度，包括約束層面x，y向位移，基層面x，y向位移，z方向橫向位移以及單元中面繞x，y軸的轉(zhuǎn)動。設(shè)節(jié)點i的7個自由度位移矢量為：

單元4個節(jié)點的位移向量為：

假設(shè)形函數(shù)為

ub=a1+a2x+a3y+a4xy

vb=a5+a6x+a7y+a8xy

uc=a9+a10x+a11y+a12xy

vc=a13+a14x+a15y+a16xy

w=b1+b2x+b3y+b4x2+b5xy+b6y2+b7y3+b8x2y+b9xy2+b10y3+b11x3y+b12xy3

單元任意一點的位置可表示為：

(1)

在給出節(jié)點位移形式與形函數(shù)矩陣后，可通過能量原理得到單元質(zhì)量矩陣剛度矩陣和黏彈性層的剪切剛度矩陣。為避免黏彈性材料特性隨頻率與溫度變化對模型的影響，這里引入GHM(Golla Hughes McTavish),[9]模型。按照有限元組集方法，考慮邊界條件，建立動力學(xué)方程。

(2)

式中:M為質(zhì)量矩陣;D為阻尼矩陣;K為剛度矩陣;Fc為壓電控制力矩陣;Fd為激振器外擾矩陣。

1.2 模型降階

由于本系統(tǒng)降階前每個節(jié)點有7個自由度，而GHM模型又引入大量的耗散自由度，系統(tǒng)自由度相當(dāng)大，為了便于控制，必須對模型進行降階[10]。首先在物理空間進行高精度動力降階。將SCLD結(jié)構(gòu)中約束層的x向，y向的線位移和結(jié)構(gòu)的z向位移作為主自由度，將其他物理自由度與耗散自由度作為副自由度，則式(2)改寫為：

(3)

如果主副自由度之間的關(guān)聯(lián)矩陣是R，則經(jīng)過i次迭代后降階的系統(tǒng)方程為：

(4)

式中:

(5)

令x=Rx’，對式(5)做非奇異線性變換，其中R為非奇異矩陣。則式(5)變?yōu)槿缦缕胶馐剑?/p>

(6)

將式(6)的狀態(tài)變量寫為：

(8)

模態(tài)實驗測得兩點間的頻響曲線和程序計算的降階前后仿真頻響曲線如圖2所示。從圖中可以看出降階前后模型與實驗實測曲線在前四階吻合較好，第四階頻率以后出現(xiàn)較大偏差。降階模型與原模型在低頻區(qū)動力學(xué)特性基本保持不變。相比降階前模型1 284個自由度，降階后自由度數(shù)變?yōu)?個，模型規(guī)模不但被大幅度減小，而且保證系統(tǒng)處于可控、可觀的狀態(tài)。模型降階前后和實驗實測的固有頻率見表1。

圖2 降階前后頻響對比Fig.2 FRF of before and after reduction

表1 系統(tǒng)降階前后與模態(tài)實驗固有頻率

2 魯棒H∞混合靈敏度控制器設(shè)計

2.1 靈敏度和補靈敏度函數(shù)

根據(jù)SCLD板結(jié)構(gòu)的狀態(tài)方程，設(shè)計魯棒控制器，構(gòu)成閉環(huán)控制系統(tǒng)，對板振動進行主動控制。

如圖3所示的閉環(huán)控制系統(tǒng)。K(s)為控制器;P(s)為控制對象傳遞函數(shù);r為外部輸入;e為誤差信號;u為控制器輸出;d為外部擾動;Y為控制對象輸出。

圖3 閉環(huán)控制系統(tǒng)一般模型

在單輸入單輸出的場合，d=0，有外部輸入r到控制對象輸出Y的閉環(huán)傳遞函數(shù)為:

(9)

令：

(10)

(11)

S(s)稱為靈敏度函數(shù)，‖S(s)‖∞表示系統(tǒng)對干擾d的抑制能力，‖S(s)‖∞越小對擾動的抑制越好；T(s)稱為補靈敏度函數(shù)，關(guān)系到模型不確定性的魯棒穩(wěn)定性，‖T(s)‖∞是對乘性攝動大小的度量；‖R(s)‖∞是對加性攝動大小的度量。

2.2 多輸入多輸出控制模型

在上面H∞引入加權(quán)函數(shù)，設(shè)計出SCLD多輸入多輸出系統(tǒng)如圖4所示。其中F為作用在結(jié)構(gòu)上的外擾激勵，G(s)為外擾激勵到傳感器的傳遞函數(shù)，W1對輸出Y進行加權(quán)，重點抑制所需頻帶上的外擾d，達到對Y整形的目的；W2為控制器輸出加權(quán)函數(shù)，表征系統(tǒng)的加性攝動；W3為魯棒加權(quán)函數(shù)，表征系統(tǒng)的乘性攝動。

圖4 多輸入多輸出控制模型

由d到Z的閉環(huán)傳遞函數(shù)可以表示為：

2.3 加權(quán)函數(shù)的選擇

雖然H∞魯棒控制理論的標準問題無論在理論上還是在算法實現(xiàn)上都已基本成熟，并有可靠的商業(yè)軟件進行數(shù)值求解，但加權(quán)函數(shù)的選取是通過分析系統(tǒng)中的不確定性及系統(tǒng)的頻域和時域性能要求來完成的，不同的控制對象、不同控制指標需要不同的加權(quán)函數(shù)，相互之間沒有特定的規(guī)律可循，而且3個加權(quán)函數(shù)陣通常需要經(jīng)過一系列試計算和控制器一同確定[12-13]。本文考慮具有高頻未建模和中低頻參數(shù)有較大攝動特點的一類對象，采用一種特定加權(quán)函數(shù)選取準則。加權(quán)函數(shù)的選擇有如下準則:

(1)權(quán)函數(shù)矩陣為實對角陣；權(quán)函數(shù)矩陣階次不能太高，以便于控制器的實現(xiàn)，本文僅考慮權(quán)函數(shù)為一階時的情況。

(2)W1的選擇：W1為系統(tǒng)的性能加權(quán)函數(shù)，是對靈敏度函數(shù)S的加權(quán)，代表干擾的頻譜特性[14]，反映了對系統(tǒng)靈敏度函數(shù)S的形狀要求，應(yīng)基于系統(tǒng)性能的要求進行選擇。由于系統(tǒng)輸入信號的頻率一般較低，為增強系統(tǒng)跟蹤輸入信號能力，這就要求其加權(quán)函數(shù)W1在低頻段的幅值應(yīng)該盡可能大。因此，W1一般應(yīng)具有積分特性或高增益低通特性。W1的標準形式可令為：

(12)

K值表示閉環(huán)系統(tǒng)對低頻干擾的衰減系數(shù)，可以通過K的選擇來抑制波動和負載變化等低頻干擾對系統(tǒng)的影響。在T值一定的條件下，K值決定了系統(tǒng)的跟蹤性能，K值越大，系統(tǒng)跟蹤誤差越小；在K值一定的條件下，T值決定了系統(tǒng)跟蹤頻帶的寬度，T值越小頻帶越寬，但若T太小K太大，會出現(xiàn)系統(tǒng)設(shè)計無解的情況。因此為保證系統(tǒng)有解，盡量選取較小的T值和較大的K值。

(3)W3的選擇：W3是對補靈敏度函數(shù)T的加權(quán)函數(shù)，表示乘性攝動的范數(shù)界[15]，而乘性攝動往往用于表示系統(tǒng)的高頻未建模動態(tài)，為保證系統(tǒng)對高頻不確定性具有魯棒性，W3在高頻段的幅值應(yīng)該盡量大。W3可取對角的非真有理函數(shù)，但應(yīng)保證W3G為真有理函數(shù)?？闪?/p>

(13)

(4)W2的選擇：W2由控制輸入信號決定，是對R的加權(quán)函數(shù)，表示加性攝動的范數(shù)界。為了不增加控制器的階數(shù)，一般取為常數(shù)。W2可在W1和W3選定后調(diào)整得到。

(5)W1與W3選定后，應(yīng)盡量使它們幅值所包含的頻率范圍不相交。

根據(jù)上文所提出的原則，并通過SIMULINK仿真本文選定的3個參數(shù)為：

(14)

W2=0.001

(15)

(16)

通過以上加權(quán)函數(shù)設(shè)計魯棒控制器K(s)。對白噪聲信號進行控制仿真，仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5.控制前后速度響應(yīng)曲線

由仿真結(jié)果可以看出，白噪聲激勵控制效果比較明顯，響應(yīng)均方根值衰減近28%。說明按照前文所提出的加權(quán)函數(shù)選取原則有效。

3 硬件在環(huán)實驗

圖6 主動控制實驗系統(tǒng)

以SCLD板結(jié)構(gòu)為主動控制對象搭建實驗平臺。結(jié)構(gòu)見圖6。由于前兩階模態(tài)應(yīng)變能在板結(jié)構(gòu)四個角上最大所以壓電片配置在四個角上，激振器放置在三階模態(tài)的節(jié)線上防止觀測溢出。信號由低通濾波器過濾后再由dSAPCE轉(zhuǎn)化成電壓信號，其中由低通濾波器產(chǎn)生的時滯對系統(tǒng)基本沒有影響。電壓信號經(jīng)壓電陶瓷驅(qū)動電源放大后作用于壓電片。SCLD結(jié)構(gòu)參數(shù)如下，基層：6061鋁合金板，長×寬×高為420 mm×270 mm×2.5 mm，密度2 750 kg/m3，彈性模量68.9 GPa，泊松比0.33；黏彈性層：ZN-1型黏彈性材料，厚度1 mm，密度1 250 kg/m3,泊松比0.3；壓電層：PLS-51型壓電陶瓷，厚度1 mm，密度7 500 kg/m3，柔順系數(shù)15.9×10-12m2/N，泊松比0.36。

實驗對一階固有頻率(73 Hz)激勵，一二階固有頻率復(fù)雜周期信號(73 Hz&104 Hz)激勵，白噪聲(30～180 Hz)隨機激勵進行控制?？刂魄昂箜憫?yīng)曲線如圖7～圖9。

圖7 一階正弦激勵下的振動控制實驗結(jié)果

圖8 復(fù)雜周期激勵下的振動控制實驗結(jié)果

圖9 隨機激勵下的振動控制實驗結(jié)果

從實驗結(jié)果可以看出，主動控制算法對于一階固有頻率激勵，混合激勵下振動響應(yīng)幅值衰減了接近40%，對白噪聲激勵響應(yīng)均方根值也衰減近18%，實驗效果比較明顯。由于仿真條件較理想，加之模型有一定誤差導(dǎo)致對白噪聲激勵的控制效果沒有仿真條件下好。本次實驗控制電壓都保持在150 V以內(nèi)，消耗能量較低。

4 結(jié) 論

本文在局部覆蓋主動約束層阻尼板模型的基礎(chǔ)上，對H∞算法進行了研究?；赟CLD對邊約束薄板這一特殊對象采用了一類加權(quán)函數(shù)的選取原則，根據(jù)選取原則確定了各個加權(quán)函數(shù)，并建立了主動控制模型并計算出魯棒控制器。然后對SCLD對邊約束薄板結(jié)構(gòu)進行主動控制仿真，完成了硬件在環(huán)主動控制實驗。實驗結(jié)果表明：

(1)根據(jù)本文所采用的加權(quán)函數(shù)選取原則與其結(jié)構(gòu)所確定的加權(quán)函數(shù)對主動控制仿真效果有明顯效果。

(2)實驗驗證了混合靈敏度主動控制算法對SCLD對邊約束薄板控制的有效性，對于正弦與隨機信號激勵，結(jié)構(gòu)振動控制效果比較理想，并且控制電壓較低，有一定的工程應(yīng)用前景。

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H∞mixed sensitivity control for smart constrained layer damping

WANG Pan1, LIAO Haichen1, DENG Zhaoxiang1,2, LU Jun1, WANG Zhengya1

(1. College of Automotive Engineering, Chongqing University, Chongqing 400044, China;2. State key Laboratory of Vehicle NVH and Safety Technology, Chongqing 400039, China )

The vibration active control of piezoelectric smart constrained layer damping technology was studied using the mixed sensitivity method ofH∞r(nóng)obust control theory. A system dynamic model for a plate structure with SCLD was established based on the FE method and GHM damping model. The controllable and observable control model was obtained by using the dynamic condensation method and the inner balance method. Here, the general selection method of weighted functions forH∞mixed sensitivity control algorithm was proposed andH∞r(nóng)obust controller was designed. Finally, tests were performed under different external disturbance excitations. The results showed that the effects ofH∞r(nóng)obust controller designed with the proposed method on the vibration active control of the plate structure are good; the plate’s vibration response amplitudes to a sine excitation are attenuated nearly 40%; the plate’s RMS vibration responses to white noise excitation are attenuated nearly 18%.

vibration; active control; smart constrained layer damping; H∞mixed sensitivity; weighted function

國家“863”計劃項目號(2012AA111803);中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(CDJZR12110006)

2015-05-13 修改稿收到日期：2015-12-03

王攀 男，博士，副教授，1977年生

TH113;0327