劉大偉， 任廷志, 巴延博， 谷丹丹， 楊二旭

(燕山大學 機械工程學院，秦皇島 066004)

基于彈性轉角分離的非圓齒輪扭振模型及其動態(tài)特性

劉大偉， 任廷志, 巴延博， 谷丹丹， 楊二旭

(燕山大學 機械工程學院，秦皇島 066004)

隨著非圓齒輪向高速重載應用領域的擴展，其動力學問題日益凸顯，針對非圓齒輪的非線性轉角關系，提出基于彈性轉角分離的動力學建模方法。首先根據(jù)非圓齒輪傳動特征，分析其內(nèi)部激勵產(chǎn)生機理并給出非圓齒輪自身特有激勵的計算方法；以非圓齒輪彈性轉角為自變量，考慮時變剛度，阻尼，誤差及非圓齒輪特有的非線性激勵，根據(jù)集中參數(shù)理論建立了非圓齒輪的扭振模型；最后以橢圓齒輪為例，應用高精度Rounge-Kutta法，定量地研究了不同工作條件下，不同激勵對振動響應的影響規(guī)律。研究成果對于認識和改善非圓齒輪復雜的動態(tài)性能具有重要的理論意義和實用價值。

非圓齒輪；參數(shù)激勵；扭轉振動；動態(tài)響應

非圓齒輪是一種緊湊而精確的變速比傳動機構，在很多設備中采用非圓齒輪，可以大大簡化機構的復雜程度，提高設備的性能，另外非圓齒輪在主動平抑傳動系統(tǒng)的速度及扭矩波動方面上也展現(xiàn)出獨特的優(yōu)勢，故其應用從低速輕載領域逐步擴展到高速重載領域，如連鑄機結晶器驅(qū)動裝置[1]，旋轉葉片發(fā)動機[2]和火炮旋轉平臺[3]，隨著非圓齒輪的廣泛應用，非圓齒輪動力學特性已成為制約其應用關鍵問題。

由于變速比傳動的特點，非圓齒輪相對圓齒輪具有更多的非線性激勵因素，故其動力學更為復雜。LIU等[4-5]通過試驗對橢圓齒輪振動和噪聲進行了測試，并分析了不同外部條件下的齒輪振動規(guī)律；在理論研究方面，王艾倫等[6]基于鍵合圖理論建立了橢圓齒輪的扭轉-軸向耦合模型，認為慣性力和離心力是造成振動的主要原因，卻沒有關注時變的節(jié)曲線向徑所造成的影響；張愛梅等[7]將非圓齒輪在圓周上分段，在每段上用圓齒輪代替，但建模時忽略了非圓齒輪由于變速比傳動導致的慣性力；LIU等[8]將慣性力作為等效負載，以各齒輪對電機的相對轉角為自變量建立了非圓齒輪-轉子扭振模型，不過在描述輪齒間相對位移時忽略了非圓齒輪的非線性轉角關系；李憲奎等[9-10]分析了橢圓齒輪驅(qū)動結晶器運動時產(chǎn)生的低頻共振現(xiàn)象，但模型中沒有考慮橢圓齒輪輪齒間的彈性變形。上述研究對非圓齒輪理論的發(fā)展具有積極的推進作用，但由于非圓齒輪非線性激勵較多的緣故，現(xiàn)有模型都進行了部分簡化，無法較全面準確地反映非圓齒輪的動態(tài)性能，因此在詳細分析非圓齒輪內(nèi)部激勵產(chǎn)生機理的基礎上，建立了基于彈性轉角分離的非圓齒輪的扭轉振動數(shù)學模型，對不同激勵下非圓齒輪的動態(tài)響應規(guī)律進行研究，并根據(jù)響應特點給出了提高非圓齒輪動態(tài)性能的有效方法。

1 非圓齒輪的內(nèi)部激勵

1.1 內(nèi)部激勵的類型

非圓齒輪可以看作是凸輪與齒輪組合體，在傳動中，其內(nèi)部激勵不僅包含常規(guī)圓齒輪的剛度激勵，誤差激勵和嚙合沖擊激勵，而且由于時變傳動比的影響，非圓齒輪還具有另外兩種特殊的內(nèi)部激勵。

圖1給出了一對非圓齒輪節(jié)曲線在兩個時刻的位置關系;其中點P為非圓齒輪的節(jié)點;直線mm為節(jié)點P處兩節(jié)曲線的公切線;直線nn代表齒廓接觸點的法線;a0為加工刀具的齒形角。過非圓齒輪的回轉中心O1，O2，作法線nn的垂線，可分別得到該時刻兩個非圓齒輪嚙合力的力臂rb1和rb2。

圖1 不同時刻的非圓齒輪

從圖1可知，在非圓齒輪傳動的不同時刻，其節(jié)點位置，法線方向以及嚙合力力臂都是變化的，即使外載不變，兩非圓齒輪齒廓嚙合力大小和方向也會隨時間變化，從而產(chǎn)生激勵。這種激勵產(chǎn)生的根本原因在于非勻速傳動比使非圓齒輪的嚙合力力臂具有時變性。在不考慮其它激勵的情況下，非圓齒輪也會由周期變化的嚙合力力臂產(chǎn)生彈性振動，故其屬于一種參數(shù)激勵。

另外，由于非圓齒輪從動輪變速轉動，從動輪及其連接機構會產(chǎn)生額外慣性力，該慣性力與負載綜合作用，對非圓齒輪中的從動輪產(chǎn)生一種類似周期性外部激勵效果。但本質(zhì)上，慣性力是由非圓齒輪的傳動特性決定，因此慣性力激勵也是一種內(nèi)部參數(shù)激勵。

1.2 內(nèi)部激勵的計算方法

非圓齒輪的剛度激勵，誤差激勵和嚙合沖擊激勵可參照常規(guī)圓形齒輪的計算方法，但非圓齒輪的輪齒形狀不規(guī)則，而且各不相同，不易通過理論計算得到精確的輪齒剛度，因此可采用有限元法。

首先應根據(jù)齒廓數(shù)學方程求出齒廓曲線數(shù)據(jù)，導入有限元軟件建立非圓齒輪的輪齒模型，對單個輪齒進行網(wǎng)格劃分，施加齒面法向載荷F以及定義邊界等預處理，如圖2(a)所示。通過計算得到輪齒的變形量如圖2(b)，經(jīng)多次計算發(fā)現(xiàn)，嚙合線處的位移最大而且數(shù)值隨網(wǎng)格的疏密程度變化。嚙合線附近位移量大是因為該處除了彎曲變形外還有接觸變形，而數(shù)值隨網(wǎng)格變化是因為載荷施加點處出現(xiàn)奇異值。為了得到較為準確的輪齒變形量，可以采集嚙合線以及嚙合線附近區(qū)域的變形數(shù)據(jù)，取其平均值作為該受力方向上輪齒的變形量s，將平均變形量代入k=F/s，即可求出該嚙合線處的單齒剛度k。改變輪齒嚙合線位置，計算不同嚙合點處輪齒剛度，將所得的數(shù)據(jù)進行擬合，可得單齒剛度曲線。同理可計算出另一個非圓齒輪上之配合的輪齒剛度曲線，將兩個輪齒按串接彈簧處理，得到單對輪齒嚙合剛度曲線。

圖2 單齒有限元模型

按上述方法可得非圓齒輪副其它單對輪齒的嚙合剛度，然后根據(jù)嚙合過程單、雙對輪齒的交替規(guī)律，計算出非圓齒輪在整個回轉周期內(nèi)的綜合剛度km1，如圖3所示。與圓齒輪不同的是，非圓齒輪單齒嚙合剛度及單、雙齒嚙合區(qū)間不是固定的，因此若要得到精確的綜合剛度，需要計算出所有輪齒的單齒剛度及相應的單、雙齒嚙合區(qū)間。

圖3 輪齒綜合剛度曲線

非圓齒輪的嚙合力力臂不僅與節(jié)曲線的形狀有關，而且還與非圓齒輪的轉動方向有關。圖4給出了一對非圓齒輪在同一位置轉動方向不同時的嚙合力力臂簡圖。若主動齒輪1順時針旋轉，如圖4(a)所示，非圓齒輪的右齒廓接觸，此時非圓齒輪嚙合力力臂為

(1)

式中:r1、r2分別為兩非圓齒輪在節(jié)點P處的節(jié)曲線向徑;m為節(jié)點P處節(jié)曲線切線與向徑的夾角;其表達式為:

(2)

式中:φ1為非圓齒輪1節(jié)曲線的極角，若非圓齒輪從極角為零時開始旋轉，則非圓齒輪的極角和轉角相等。為便于表示，下文推導中非圓齒輪的極角與轉角均相等。

若主動齒輪1逆時針旋轉，如圖4(b)所示，非圓齒輪的左齒廓接觸，此時非圓齒輪的嚙合力力臂為

圖4 非圓齒輪的嚙合力力臂

(3)

慣性力激勵計算可根據(jù)主動輪的轉速和非圓齒輪的傳動比算出從動輪的角速度，對其求時間的導數(shù)可得從動輪角加速度，然后與從動齒輪及負載的轉動慣量之和相乘可得慣性力。

2 非圓齒輪的扭轉振動模型

齒輪的扭轉振動模型是齒輪系統(tǒng)動力學的基礎，因此針對非圓齒輪最基本的扭轉振動形式展開研究。在任意瞬時，將非圓齒輪等效成半徑為rb1和rb2的集中轉動慣量元件，如圖5中虛線所示，其轉動慣量不隨半徑變化。非圓齒輪的輪齒等效成彈簧和阻尼器，在任意瞬時其方向與齒廓法線相同。

圖5 非圓齒輪的扭轉模型

由于非圓齒輪轉角間的非線性關系，兩齒輪在齒廓法線上的相對位移不能像圓齒輪一樣表示成x=rb1φ1-rb2φ2，而應表示成

(4)

式中:φ1、φ2為非圓齒輪1和非圓齒輪2的轉角；i12為非圓齒輪1和非圓齒輪2的角速度之比。一般情況下，非圓齒輪傳動比的積分運算無法獲取解析函數(shù)，那么利用式(4)建立的非圓齒輪扭振微分方程中還包含積分項，其求解相當困難，因此基于彈性轉角分離原理，提出了一種簡單的非圓齒輪動力學模型構建方法，便于數(shù)學方程推導和求解。

2.1 非圓齒輪副扭振模型

將非圓齒輪作為彈性機構時，其真實轉角φ可以看成是剛性轉角和彈性轉角之和。令圖5中非圓齒輪1的真實轉角、剛性轉角和彈性轉角分別為φ1、θ1和Δθ1，非圓齒輪2的真實轉角、剛性轉角和彈性轉角分別為φ2、θ2和Δθ2。

由于剛性轉動時，非圓齒輪在節(jié)點處的相對轉速為零，故非圓齒輪在齒形法線上的相對移動都是由彈性轉角所致，而與剛性轉角無關。考慮到齒輪的彈性轉角很小，可認為在t時刻，雖然齒輪發(fā)生彈性轉動，但嚙合力方向不變，即rb1和rb2不變。故非圓齒輪等效彈簧的位移為

x=rb1Δθ1-rb2Δθ2

(5)

式中:x為等效彈簧的位移;在t時刻，非圓齒輪等效阻尼器的速度為

(7)式中:I1，I2分別為非圓齒輪1和非圓齒輪2的轉動慣量;非圓齒輪1的剛性速度可以是恒定的也可以是變化的。不考慮非圓齒輪齒側間隙，根據(jù)非圓齒輪1和非圓齒輪2所受扭矩平衡，可得非圓齒輪副的扭振方程為

(8)

式中:km1，cm1分別為非圓齒輪副的綜合嚙合剛度和阻尼;e1為輪齒綜合誤差;T1為齒輪副的驅(qū)動力矩;T2為齒輪副的阻力矩。方程中彈性轉角為未知參數(shù)，而剛性角加速度可根據(jù)傳動機構的剛性角速度及結構參數(shù)進行求解。

2.2 非圓齒輪-轉子扭振模型

在非圓齒輪副純扭振模型基礎上，考慮傳動軸的扭轉剛度以及原動機和負載的轉動慣量，則形成齒輪-轉子扭振問題，其典型的模型見圖6。

圖6 非圓齒輪-轉子扭轉模型

彈性轉角分離原理同樣適用傳動軸上的扭矩求解，對于圖6中的傳動軸1，電機轉動慣量和非圓齒輪1之間的扭矩可由二者的彈性轉角表示為k1(ΔθM-Δθ1)，則整個傳動系統(tǒng)的模型為

式中:IM、IL為電機和負載的轉動慣量;k1、c1為電機與主動非圓齒輪連接軸的扭轉剛度和扭轉阻尼;k2、c2分別從動非圓齒輪與負載連接軸的扭轉剛度和扭轉阻尼;TM、TL為作用在原動機和負載上的扭矩;θM、θL為原動機和負載的剛性轉角;ΔθM、ΔθL為原動機和負載的彈性轉角。

3 非圓齒輪的扭振特性分析

非圓齒輪扭振方程為二階線性變系數(shù)微分方程，相比圓齒輪動力學模型增加了時變的嚙合力力臂和慣性力激勵，通過解析方法求解比較困難，故本文應用Rounge-Kutta法求解高精度數(shù)值解。

為了更加直接的反映非圓齒輪的動態(tài)特性，不考慮誤差影響，應用齒輪副模型，計算一對橢圓齒輪的動態(tài)響應，其中橢圓齒輪傳動比為

(10)

式中:ε為偏心率，0<ε<1。橢圓齒輪的模數(shù)m=6 mm，刀具齒形角α0=20°，齒數(shù)Z=56。通過有限元計算，得到橢圓齒輪副剛度曲線見圖7，齒輪的阻尼cm1為

(11)

式中:ζ為阻尼比。

圖7 非圓齒輪綜合剛度曲線

3.1 不同偏心率下的動態(tài)響應

橢圓齒輪的偏心率控制其傳動比，偏心率越大，橢圓齒輪的傳動比范圍越大，嚙合力力臂和慣性力變化越劇烈。令橢圓齒輪主動輪角速度為40 rad/s，從動輪阻力矩為1 000 N·m，橢圓齒輪的偏心率分別取0.01，0.2和0.5，則根據(jù)ROUNGE-KUTTA法原理，在MATLAB中編程對微分方程式(8)進行數(shù)值計算，得到從動輪彈性轉角時域響應曲線及相應的幅頻曲線如圖8所示。

圖8中左側的時域響應曲線表明，非圓齒輪的動態(tài)響應隨著偏心率的增大而增大。但非圓齒輪不僅有輪齒剛度激勵，還有嚙合力力臂及慣性力激勵，因此進一步通過頻譜分析，探索這些非線性因素在振動中所起的作用。在本例中剛度激勵的頻率為365 Hz，嚙合力力臂及慣性力激勵頻率與橢圓齒輪的傳動比變化頻率相同，都為6.4 Hz，在分析中難以區(qū)分二者，故將嚙合力力臂和慣性力統(tǒng)稱為傳動比綜合激勵。

通過頻譜分析發(fā)現(xiàn)，當橢圓齒輪偏心率較低時，如圖8(a)中ε=0.1時，傳動比綜合激勵頻率6.4 Hz對應的振幅小于剛度激勵頻率365 Hz對應的振幅，故剛度激勵是產(chǎn)生振動的主要原因；隨這偏心率ε提高到0.2，如圖8(b)所示，剛度激勵與傳動比綜合激勵頻率對應的振幅接近，二者對齒輪振動的影響程度相當；在圖8(c)中，偏心率ε提高到0.3，傳動比綜合激勵頻率對應的振幅超過剛度激勵頻率對應的振幅，傳動比綜合激勵成為非圓齒輪振動的主要原因。因此對于大傳動比范圍的非圓齒輪來說，通過齒廓修形改善非圓齒輪動態(tài)性能的效果將不會很明顯，此時應采用串聯(lián)非圓齒輪的形式，將傳動比分配到兩對或多對非圓齒輪上，以此減小傳動比綜合激勵引起的振動。

(a) ε=0.1 (b) ε=0.2 (c) ε=0.3

另外，隨著橢圓齒輪偏心率的增大，剛度激勵的振幅略有增加，傳動比激勵的振幅則大幅增加，說明對于輪齒剛度相近的一對非圓齒輪和一對圓齒輪，非圓齒輪的動態(tài)性能要比圓齒輪差。將本例中的橢圓齒輪與一對傳動比為1，剛度相同的圓齒輪進行對比，橢圓齒輪偏心率為0.1，0.2和0.5時，其彈性轉角最大幅值相對圓齒輪分別擴大了3.13倍，3.49倍和7.59倍。

3.2 不同輸入轉速下的動態(tài)響應

圖9為從動輪阻力矩為1 000 N·m，偏心率為0.3，主動輪輸入角速度分別為50 rad/s，100 rad/s和200 rad/s條件下橢圓齒輪的動態(tài)響應及相應的幅頻曲線。從圖9中的時域響應曲線可知，雖然轉速增加會導致慣性力變大，但橢圓齒輪的動態(tài)響應幅值并沒有隨輸入轉速升高而一直增大。通過頻譜分析可以發(fā)現(xiàn)：在偏心率不變的情況向，隨著輸入轉速的升高，橢圓齒輪剛度激勵和傳動比綜合激勵引起的動態(tài)響應都在增加，但二者對應的振幅比值基本保持不變，因此輸入轉速不會改變剛度激勵和傳動比綜合激勵在齒輪振動中的主次作用。

(a) 50 rad/s (b) 100 rad/s (c) 200 rad/s

3.3 不同扭矩下的動態(tài)響應

圖10為橢圓齒輪輸入角速度為40 rad/s，偏心率為0.3，從動輪阻力矩分別為1 000 N·m，2 000 N·m和3 000 N·m時的動態(tài)響應及相應的幅頻曲線。

(a) 阻力矩1 000 N·m (b) 阻力矩2 000 N·m (c) 阻力矩3 000 N·m

從圖10中可以看出，隨著阻力矩的增大，橢圓齒輪的動態(tài)響應近似呈線性增加，這與圓齒輪是相同的，因此阻力矩也無法改變剛度激勵和傳動比綜合激勵在齒輪振動中所起的主次作用。對于小偏心率的動力非圓齒輪，可通過適當修形改善其動態(tài)性能，而對大偏心率的動力非圓齒輪，宜采用多對串聯(lián)非圓齒輪替代的方式以提高傳動系統(tǒng)的動態(tài)性能。

4 結 論

(1)將非圓齒輪彈性轉角從總轉角中分離，進而通過集中參數(shù)理論構建非圓齒輪動力學模型，不僅能有效避免非線性剛性轉角給建模及求解帶來的困難，而且可準確反映出非圓齒輪所特有的嚙合力力臂及慣性力激勵，同時該方法也可推廣到非圓齒輪耦合動力學的研究中。

(2)非圓齒輪的傳動比綜合激勵隨偏心率的增大會逐漸超越剛度激勵而成為非圓齒輪振動的主要原因。隨著非圓齒輪轉速和負載扭矩的增大，傳動比綜合激勵及剛度激勵所引起的動態(tài)響應都會增加，但并不改變二者在非圓齒輪振動中的主次作用，因此對于高速、重載非圓齒輪，應根據(jù)偏心率的大小，來確定改善其動態(tài)性能的有效方法。

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Torsional vibration model and its dynamic characteristics for a noncircular gear based on separation of elastic rotating angle

LIU Dawei, REN Tingzhi, BA Yanbo, GU Dandan, YANG Erxu

(College of Mechanical Engineering, Yanshan University, Qinhuangdao 066004, China)

With the development of application of noncircular gears in high speed and heavy load field, their dynamic problems increasingly stand out. Aiming at the nonlinear ratating angle relationship of noncircular gears, a dynamic modeling approach was presented based on separation of elastic rotating angle. Firstly, according to transmission features of noncircular gears, the generation mechanism of the internal excitation was analyzed, the calculation method for itself special excitation of a noncircular gear was derived. Then based on the lumped parameter theory, the torsional vibration model for a noncircular gear was built with its elastic rotating angle as an independent variable considering time-varying stiffness, meshing damping, teeth error and the special nonlinear excitation of noncircular gears. Finally, with the high accuracy Rounge-Kutta method, the effect laws of internal excitations of a pair of elliptical gears on their dynamic responses were investigated under different working conditions quantitatively. The results were significant theoretically and valuable applicably for understanding and improving complicated dynamic characteristics of noncircular gears.

noncircular gear; parametric excitation; torsional vibration; dynamic response

河北省自然科學基金(E2016203183)；秦皇島市科技支撐計劃項目(201502A014)；燕山大學博士基金(B870)

2015-09-09 修改稿收到日期：2015-11-17

劉大偉 男，博士，講師，1984年生

TH113.1