程煌

【考綱分析】（1）正弦定理和余弦定理：掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題.（2）應用：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題.

【考點分析】

上表是近十年新課標全國卷數(shù)學高考三角函數(shù)考點分布，由此表可以看出，考查重點是解三角形、圖像平移與性質、三角恒等變換等方面；在題量上，近十年一般是一道大題與兩道小題 （填空題或選擇題） 或一大一小的格局，有少數(shù)理科考卷只配置兩道小題，就解三角形來看，一般出現(xiàn)在解答題第一題或者填空題最后一題，與性質或恒等變換相比，學生普遍感覺難度更大.故本文就高考常見的解三角形題型及其解法作一淺析.

【題型分析】

題型一：靈活運用正余弦定理進行邊角互化

（一）靈活運用正余弦定理進行邊角互化，從而達到解三角形的目的.

解三角形的問題，本質就是求三角形的邊或角的問題，應充分利用正余弦定理，恰當進行邊與角的互化，從而求出邊，角，周長，面積或者判斷出三角形形狀.

例1. △ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知cos（A-C）+cosB=1，a=2c，求C.

【分析】（1）邊角互化. 本試題主要考查了解三角形的運用，給出兩個公式，一個是邊的關系，一個角的關系，而求解的為角，因此要找到角的關系式為好. 故自然可想到將a=2c利用正弦定理轉化為角的關系：sinA=2sinC.

（2）方程組思想. 得到兩角的二元一次方程組，自然很容易得到sinC的值.

【易錯點】①方法一中由sin 2A=sin 2B直接得到A=B，其實考生忽略了2A與2B互補的情況，由于計算問題出錯而結論錯誤.方法二中由c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2）不少同學直接得到c2=a2+b2，其實是考生忽略了a2-b2=0的情況，由于化簡不當致誤.

②結論表述不規(guī)范.正確結論是△ABC為等腰三角形或直角三角形，而不少考生回答為：等腰直角三角形.

題型二：正余弦定理與平面幾何相結合，從而達到解三角形的目的.

這類題題目簡潔明了，圖形簡單，是近幾年高考的熱點，但學生普遍反映三角函數(shù)中最害怕的就是這類題.沒有直接告訴邊角關系，而是給出幾何圖形，需要我們自己去尋找“突破口”，即分析應該從哪些三角形入手去尋找邊角關系，從而達到目的.下面通過一題重點分析這類題型常見解法：

（三）數(shù)形結合思想求最值

例9. 在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是 .

【分析】此題直接邊角互化求解很困難，特殊化是解決填空題的一種合情推理的方法，合理運用可以大大簡化解題過程，當然，這個過程中不能忘記重要的數(shù)學思想方法：數(shù)形結合.但多數(shù)考生未能想到這一解法，這表明考生的合情推理能力的訓練仍要加強.

【解析】如圖所示，延長BA，CD交于E，平移AD，（1）當A，D，E重合時，AB最長，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30° BC=2，由正弦定理可解得：BE=+. （2）當D與C重合時，AB最短，此時與AB交于F，在△BCF中，同理由正弦定理得：BF=-，故AB的取值范圍為（-，+）.

變式：在平面四邊形ABCD中，∠BAD=135°，∠ADC=120°，∠BCD=45°，∠ABC=60°，BC=2，則線段AC長度的取值范圍是 .

參考答案： [， 2].

題型四：解三角形在實際問題中的應用

例10. 如圖，為測量山高MN，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點. 從A點測得M點的仰角∠MAN=60°，C點的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；從C點得∠MCA=60°. 已知山高BC=100m，則山高MN=________m.

【分析】正余弦定理在解決實際問題中的應用學習的最終目的是為了應用于實際生活，遇到生活中的問題，我們可抽象出數(shù)學模型，然后應用定理去解決.應用數(shù)學知識解決問題的意識與能力是課程標準的明確要求，應用題是高考中的必考題型.三角函數(shù)是除概率之外出應用題的較好載體，在概率大題難以推陳出新時，三角函數(shù)就成為應用題的較好選擇.三角函數(shù)應用題，一般是選擇角為變量，通過建立三角函數(shù)作為目標函數(shù)來處理問題.三角函數(shù)應用題還可以與其他知識，如導數(shù)與不等式等結合，擴大考查的深度與廣度，這一單元的復習，三角函數(shù)應用題應作為重點來對待.

此題實際可以抽象為一個立體幾何模型，分析題意發(fā)現(xiàn)已知角很多，但是邊長只有BC的長，所以應該從BC所在的三角形入手，解出AC的長，從而在△ACM中，可解出AM的長度從而在Rt△AMN中解出MN的長度.

【解析】在Rt△ABC中，BC=100，∠CAB=45°，所以AC=100，在△ACM中，∠MAC=75° ∠MCA=60°，由正弦定理可得AM=100，在Rt△AMN中，可解得MN=150.

【總結】解三角形相關問題，主要是正弦定理和余弦定理的應用.正弦定理是一個關于邊角關系的連比等式，在運用此定理時只要知道其比值或者等量關系就可以通過約分達到解決問題的目；運用余弦定理時，要注意整體思想的運用以及與基本不等式的綜合應用；對于給出條件是邊角關系混合在一起的問題，一般應運用正弦定理和余弦定理，要么把它統(tǒng)一為邊的關系，要么把它統(tǒng)一為角的關系，再利用三角形的有關知識，三角恒等變形方法，代數(shù)恒等變形方法等進行轉化化簡，從而得出結論.解決正弦定理和余弦定理的綜合應用問題，應注意根據(jù)具體情況引入未知數(shù)，運用方程思想解決問題.在解決問題的時候，不要忘記數(shù)形結合、函數(shù)與方程的數(shù)學思想，在處理客觀題訓練時，可適當合情推理.

責任編輯 徐國堅