華峰

大家都知道，在地球重力場中單擺的振動(dòng)周期公式是T =2π.可是我們遇到的問題常常是求解單擺在不同條件下的周期，要簡捷、順利地求解此類問題，采用類比的方法，利用等效重力求解有奇效.下面舉例分析，希望同學(xué)們能夠從中受到有益的啟示.

一、由于重力加速度變化而引起的周期變化

【例1】單擺在半徑為R1、質(zhì)量為m1的地球表面的周期為T1，若通過宇宙飛船帶到半徑為R2的另一顆星球表面時(shí)，其周期為T2，試求兩種情況下的周期之比.

解析：根據(jù)萬有引力定律有= m′g，再根據(jù)單擺周期公式T =2π可得，=.

一般來說引起重力加速度變化的原因有：緯度的變化、高度的變化、場環(huán)境的變化，為此可將單擺運(yùn)動(dòng)知識(shí)與萬有引力知識(shí)、天體運(yùn)動(dòng)知識(shí)結(jié)合起來求解.

二、由于擺球受到浮力而引起的周期變化

【例2】用一根長為l的細(xì)線懸掛一個(gè)密度為ρ的小球，并將其放在密度為ρ0（ρ0 < ρ）的液體中，不計(jì)液體對(duì)小球的運(yùn)動(dòng)阻力，試求小球在平衡位置附近做小幅振動(dòng)的周期.

解析：將重力mg = ρgV和浮力F = ρ0gV（V為小球的體積）合成一個(gè)等效重力mg′，則有mg′= ρgV- ρ0gV，即g′= （1-）g.

由此可得小球的振動(dòng)周期為T =2π=2π.

三、由于單擺處于非慣性系中而引起的周期變化

【例3】如圖2所示，沿平直軌道以加速度a做勻速直線運(yùn)動(dòng)的車廂中，用一根長為l的細(xì)線懸掛一質(zhì)量為m的小球，求小球在平衡位置附近做小幅振動(dòng)的周期.

解析：小球在相對(duì)車廂靜止時(shí)，根據(jù)物體受力平衡得到等效重力mg′為mg′=，即mg′=m，則g′=.

故此可得小球的振動(dòng)周期為T=2π=2π.

【例4】如圖3所示，將一單擺掛于小車上，將小車放于一輛傾角為θ的斜面上，當(dāng)小車在斜面上加速下滑時(shí)，擺線與豎直方向的夾角也為θ.已知擺球直鏈狀為m，擺長為l，重力加速度為g，求此單擺的周期及小車與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù).

解析：由圖示可知小車運(yùn)動(dòng)過程中，擺線的拉力F = mgcosθ，則g′ = gcosθ，故T =2π.

再由受力分析可知，動(dòng)摩擦因數(shù)μ = 0.

一般這些階段的非慣性系系統(tǒng)指處于勻變速直線運(yùn)動(dòng)的力學(xué)裝置，在此前提下就可用類比法快速求解此類問題.

四、由于單擺處于勻強(qiáng)電場中而引起周期的變化

【例5】將一帶電擺球置于一水平向右的勻強(qiáng)電場中，如圖4所示.擺球靜止時(shí)與豎直方向之間的夾角為α，已知擺球質(zhì)量為m，擺長為l，帶電荷量為Q.現(xiàn)若將擺球拉離靜止位置一個(gè)很小的角度釋放，求其振動(dòng)周期；若要使擺球擺到豎直方向時(shí)速度為零，應(yīng)將擺球拉離豎直方向一個(gè)多大的角度？

解析：擺球靜止在平衡位置時(shí)的拉力F=，則g′=，故此擺球的振動(dòng)周期為T=2π=2π.

一般當(dāng)單擺處于勻強(qiáng)電場中時(shí)，由于所受的電場力為恒力，與重力的合力仍為恒力，運(yùn)用類比法求解簡捷、快速.

五、單擺周期公式的拓展運(yùn)用

【例6】有一擺鐘在地面上走時(shí)準(zhǔn)確，其標(biāo)準(zhǔn)周期T0 = 2s，現(xiàn)將其移到高山上，發(fā)現(xiàn)它一晝夜慢了1min，求此山的高度.已知地面重力加速度g0=9.8m/s2，地球半徑R0=6400km.

解析：設(shè)擺鐘在標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間內(nèi)的振動(dòng)次數(shù)為N，則其在標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間內(nèi)指示的時(shí)間t=N·T，在標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間內(nèi)慢的時(shí)間就應(yīng)為△t=N·△T，其中N=，△T=T-T0.

再由=（），代入已知數(shù)據(jù)可解得h=4450m.

由上述解題過程可歸納出一個(gè)有用的結(jié)論：鐘在標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間里指示的時(shí)間與擺振動(dòng)的次數(shù)成正比，跟鐘擺的振動(dòng)頻率成正比.寫成比例關(guān)系式為：=====.據(jù)此可根據(jù)題目的特點(diǎn)，達(dá)到快速、簡捷求解的目的.

【例7】豎直放置的光滑圓弧形球面半徑R較大，在弧面中心O正上方高h(yuǎn)處放置一個(gè)小球A，當(dāng)A自由下落的同時(shí)，另一個(gè)小球B從球面某處C（OC弧遠(yuǎn)小于半徑R）由靜止開始滾下，為時(shí)兩球相碰，h應(yīng)滿足什么條件？

解析：根據(jù)題意，小球B在光滑圓弧面上滾動(dòng)等效于單擺，擺長即為圓弧半徑，周期T=2π，考慮到單擺運(yùn)動(dòng)的周期性，由相碰的條件有（2n-1）=，解得h=R（n= 1，2，3，…）.

一般類單擺模型的計(jì)算，主要是求解其等效擺長或等效重力加速度.

練習(xí)

1. 已知北京的重力加速度g1=9.812 m/s2，南京的重力加速度g2=9.795 m/s2，在北京準(zhǔn)確的鐘擺，如果放在南京，鐘將走慢還是走快？一晝夜差多少？要使其走時(shí)準(zhǔn)確，如何調(diào)整擺長？

2. 如圖5所示，一個(gè)質(zhì)量為2m的球體A套在光滑水平桿上，用一長為l的小球B與A連接，約束A球，將B球拉離豎直方向一個(gè)很小的角度，釋放B球的同時(shí)撤去A球的約束，之后A、B兩球都將做簡諧運(yùn)動(dòng)，試求A球和B球的周期.

3. 如圖6所示，半徑為R=10m的光滑凹球面容器固定在地面上，有一小木塊在距容器最低點(diǎn)P=10cm的C點(diǎn)，由靜止無摩擦滑下，則小木塊自靜止滑下到第二次通過P點(diǎn)時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間為多少？若此裝置放在以加速度a向上運(yùn)動(dòng)的實(shí)驗(yàn)艙里，上述所求的時(shí)間又是多少？

責(zé)任編輯 李平安