官運和

（廣東韶關(guān)學院數(shù)學與統(tǒng)計學院 512005）

幾何概型是中學數(shù)學的一項重要的教學內(nèi)容，由于是新增內(nèi)容等原因，也是較難把握的教學內(nèi)容.它的前置知識是概率的統(tǒng)計定義和等可能概念以及古典概型，是第二類等可能概率模型，它把等可能事件的概念從有限延伸到無限.等可能、無限是二個極其抽象的概念，為教學增加了難度.教學概率的目的是學習用數(shù)學方法去研究不確定現(xiàn)象的規(guī)律，培養(yǎng)學生用科學態(tài)度、辯證思維、隨機觀念去觀察、分析、研究客觀世界.

學生主體，教師主導，即教學的雙主性是被大家認可的，認可歸認可，但落實并不盡人意.怎么落實，說教可能會空洞，不妨結(jié)合中學幾何概型的教學就雙主性的基礎(chǔ)問題——理解學生來展開討論，談點思考.

1 理解學生，理解學生思維的跨度

對于大眾教育而不是精英教育，我們鼓勵低起點，小跨度，注重思維的連貫性，走進思維的最近發(fā)展區(qū)，一步一步往前走，走得踏實有力.從古典概型到幾何概型的過渡來考查學生的思維跨度.

從一些教學比賽的數(shù)學課以及公開課來看，較多老師對教學幾何概型設(shè)計的教學流程是：知識回顧（或復習舊知：古典概型）——創(chuàng)設(shè)情景、引入新課——講解新課（幾何概型）——概念深化（列表對比古典概型與幾何概型）——典型例題（分長度、角度、面積和體積四種情形）——課堂檢測——課堂小結(jié)——課后作業(yè)，其中的創(chuàng)設(shè)情景、引入新課的問題是下面二題或類似題：

題1已知A=[1，8]，從A中任意取出一個整數(shù)a，求a≤4的概率.

題2已知A=[1，8]，從A中任意取出一個實數(shù)a，求a≤4的概率.

即先應用古典概型的方法解題1，接著給出幾何概型的方法解題2，由題2解答抽象概括歸納幾何概型概念的定義，然后就古典概型與幾何概型的特點加以列表比較，然后用例題分長度、角度、面積和體積等情形加強幾何概型的應用，等等，這樣的教學設(shè)計看上去也沒什么問題，也符合教學法的要求，有概念的形成、概念的比較、概念的深化、概念的應用等過程，但總感覺還是少了什么，或?qū)Σ糠謱W生來說還是有點不易接受，題1與題2的外在形式有很多的相似，但解法有本質(zhì)的區(qū)別，沒有思維上的連接，而是另辟蹊徑，形成了思維跨度.

我們來看另一個設(shè)計的引例：

例1不透明的袋子中裝有大小完全相同的16個小球，其中含12個白球，4個黑球，隨機在袋中摸出一球，求摸出黑球的概率.

例2如圖一，有一個由16塊大小相同的正方形地板鋪成地面的房間，其中有12塊白地板，4塊黑地板，小蟲在地面上隨意自由爬動，求小蟲爬在黑地板上的概率.

圖一

圖二

圖三

如果“面積比”意境還沒出來，進一步給出下面的題目：

例3如圖二，把四塊黑地板移在中間位置，其它條件不變，求小蟲爬在黑地板上的概率.

例4如圖三所示，鋪一塊蘭色圓地板，其余為白地板，其它條件不變，求小蟲爬在蘭色地板上的概率.

總結(jié)一下上面引例，例1是古典概型的問題，其它的都是幾何概型的問題，從例1出發(fā)，到后面的例題，這樣實現(xiàn)了思維的無縫對接，同時也實現(xiàn)了由古典概型到幾何概型的過渡，實現(xiàn)了從有限到無限的過渡，為深入學習幾何概型打下了基礎(chǔ)，做到了低起點，小跨度，甚至是無跨度，注重思維的連貫性，走進思維的最近發(fā)展區(qū)，給學生新知識“不難”的感覺.

這里也告訴我們，古典概型和幾何概型雖然是有區(qū)別的，也是緊密聯(lián)系的，強調(diào)區(qū)別的同時也要注重聯(lián)系，兩種概型的概率其實質(zhì)是統(tǒng)一的“比式”，事件A的測度/基本事件的總測度，因為中學生沒有測度論的知識儲備，因此我們避開“測度”的概念，采用“幾何量”這樣直觀的說法，明確長度、角度、面積、體積就是幾何量，那么這個比式就是個數(shù)/總個數(shù)、長度/總長度、面積/總面積、體積/總體積.

2 理解學生，理解學生思維的難度

上面已說了幾何概型的概率其實質(zhì)是“比式”，基本事件的幾何量的比例，其中的基本事件的一個重要條件是等可能性，在概率空間中，基本事件是最原始、最小的、不可再分的事件[1]，在解決具體問題的時候，具有等可能性的原始基本事件好找，因為題目必須明確給出，但往往要將原始基本事件作等價描述，那么問題就來了，與具有等可能性的原始基本事件成一一映射的新描述的基本事件還具有等可能性嗎？數(shù)學教科書經(jīng)常用“一一映射”定義“等價”，文[2]給出了一種應用一一對應關(guān)系的方法：“通過實數(shù)坐標建立與基本事件的一一對應關(guān)系在坐標系中用圖形表示樣本空間和隨機事件從而用構(gòu)造出的幾何量度和幾何概型公式求解[2]”，然而一一對應并非普適，不妨看下面的例題：

例5如圖四，已知Rt△ABC中，∠A=60°，C為直角頂點，在△ABC內(nèi)部過點C任意方向等可能地作一條射線CD，與線段AB交于點D，求AD≤DB的概率.

圖四

圖五

圖六

略解：取AB的中點為M，由題意知，在△ABC內(nèi)部過點C任意方向等可能地作射線CD，作出∠ACD是等可能的，則AD≤DB的概率=∠ACM/∠ACB=2/3（因為∠ACM=60°）.

思考：在△ACB內(nèi)部過點C任作一條射線CD，與線段AB交于點D是唯一的，反過來，在線段AB上任取一點D與C連接得射線CD也是唯一的，因此“在△ACB內(nèi)部過點C任作一條射線CD，與線段AB交于點D”與“線段AB上取點D，得射線CD”能建立一一映射，簡單的說，作射線CD與AB上取點D能建立一一映射，是不是有：AD≤DB的概率=AM/AB=1/2呢？顯然不是，原因是雖然作射線CD與AB上取點D能建立一一映射，但作射線是等可能的，而AB上取點不具有等可能性，也就是說一一映射并不一定傳遞等可能性.

等可能性在區(qū)域里面被描述為均勻分布，因此均勻分布的量經(jīng)一一映射后不一定均勻分布.什么時候一一映射能傳遞等可能性呢，答案是：原像的相等的改變量，像的改變量也相等.本題中的角度比不等于線段比，這樣的一一映射沒有傳遞等可能性.

例6把例5的圖形變等腰直角三角形，其它不變，情況咋樣呢.即：如圖五，在Rt△ABC中，AC=BC，在△ACB內(nèi)部過點C任意方向等可能地作一條射線CD，與線段AB交于點D，求AD≤DB的概率.

分析：取AB的中點為M，由題意知：AD≤DB的概率=∠ACM/∠ACB=1/2.當然這時，AM/AB=1/2，是巧合，如果說AD≤DB的概率=AM/AB=1/2，答案是正確的，則過程是錯誤的，因為缺等可能性條件，僅是巧合而已.因為C與AB上中點連線等分∠C，但C與AB上n（n≥3）等分點連線并不等分∠C，對n=3用角平分線定理就很容易證明.

例7把例6的圖形變扇形，其它不變，情況又咋樣呢，即：在扇形CAB中，在扇形CAB內(nèi)部過頂點C任意方向等可能地作一條射線CD，與弧AB交于點D，求弧AD≤弧DB的概率.

分析：因為弧AB上的D與C的連線任意等分角C?點D等分弧AB，所以當作射線CD是等可能的時候，得到在弧AB上取點D也是等可能的.因此，弧AD≤弧DB的概率=∠ACM/∠ACB=弧AM/弧AB=1/2.

學生經(jīng)常信心百倍地視一些錯誤解法為正確解法.

3 理解學生，理解學生思維的深度

在前面的題1與題2中把A=[1，8]都改為A=（1，8），情況又咋樣呢，我們知道題1的答案變了，[1，8]中含8個整數(shù)，（1，8）中只含6個整數(shù)了，而題2的答案沒變，[1，8]與（1，8）的區(qū)間長度一樣，就跟8與6是不同的、而∞與∞-1、∞-2沒有區(qū)別是一樣的道理.嚴格來說，一個點的長度是0，一條線的面積是0，在計算線段長度時，無論是否計算其端點，其長度不變；在計算幾何區(qū)域面積或幾何體的體積時，無論是否考慮其邊界，區(qū)域的面積或幾何體的體積不變.進一步，考慮下面的例題.

例8若A=[1，8]，則從A中任意取出一個實數(shù)a，求a=3的概率.

分析：由幾何概型很容易得，a=3的概率為0.事件“從A中任意取出一個實數(shù)a，a=3”是不可能事件嗎？不是不可能事件，因此，在古典概型中，基本事件有限，不可能事件?概率為0的事件，必然事件?概率為1的事件；而在幾何概型中，基本事件無限多，不可能事件的概率是0，概率為0的事件不一定是不可能事件，概率為1的事件不一定是必然事件，對于無限還有很多類似的結(jié)論，這就是無限的魅力.

4 理解學生，理解學生思維的自由度

我們常說數(shù)學給的是理想化狀態(tài)，是在給定條件下的結(jié)果，這沒有錯，但數(shù)學教學要走近學生，不能以個人意愿作為大眾理解.比如：如圖七，隨機地向圓盤投擲飛鏢，求飛鏢落點位于小圓內(nèi)的概率.顯然命題者設(shè)定飛鏢一定會擊中圓盤的，但經(jīng)過專業(yè)訓練的世界名將都有可能脫靶，從而引起無謂的爭論.

圖七

在前面的例2中假如把小蟲改為大象，雖然把大象看做一個點是合理的，但變成“求大象踩在黑地板上的概率”就不合常理了，設(shè)想為點的物不宜大.還有就是對于常規(guī)題要明確給出基本事件的等可能，開放題則另當別論.

5 結(jié)語

“學生主體，教師主導”這個教學的雙主性是內(nèi)涵豐富的話題，雙主性的基礎(chǔ)是理解學生，教學任何內(nèi)容都要從理解學生做起.教學中教師經(jīng)常是“教”，而不是“導”，沒有教師的“導”，就不能展現(xiàn)學生的主體性，沒有理解學生，就不會有教師的導.理解學生，就必須理解學生思維的跨度、難度、深度、自由度.對于一個隨機試驗，對基本事件作一一映射的描述，并不一定確保等可能性等價.