圓形包裝紙最小能多?、?/h1>
2017-01-09 01:11:14張培強(qiáng)
數(shù)學(xué)通報(bào) 2017年9期
張培強(qiáng)
（江蘇省徐州市第一中學(xué) 221140）
《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》指出，高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)設(shè)立“數(shù)學(xué)探究”、“數(shù)學(xué)建模”等學(xué)習(xí)活動.教材中設(shè)立了相應(yīng)的欄目，提供了一些研究性學(xué)習(xí)的素材，可以開拓學(xué)生視野，進(jìn)行數(shù)學(xué)探究，提升學(xué)生分析問題、解決問題的能力.然而實(shí)施的情況并不理想，真研究少之又少.2016年9月份頒布的《中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)》將“數(shù)學(xué)建模”列為數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一.核心素養(yǎng)的提出，跳出學(xué)科知識的局限，更加從人的需要出發(fā)，為著素養(yǎng)的提高，為著幸福的生活.將學(xué)生能“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的頭腦分析世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”作為數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo).這對我們的教學(xué)活動的設(shè)計(jì)提出了更高的要求.
著眼于學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的養(yǎng)成，選取有探究價(jià)值的素材，促進(jìn)學(xué)生主動學(xué)習(xí)、主動思考、主動實(shí)踐，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力.將國家課程校本化，形成以學(xué)生發(fā)展為價(jià)值取向，貼近學(xué)生生活，切實(shí)可行的問題探究課程.素材的選取至關(guān)重要，問題要入口寬，背景深，涵蓋廣.有時(shí)，看似一個(gè)平凡的問題，一個(gè)不經(jīng)意的念頭閃現(xiàn)，也可能會帶來一場探究風(fēng)暴.這不，在一次活動課間，一個(gè)學(xué)生就拿來了一個(gè)好素材（一道高三模擬題），由此引發(fā)了一場師生間的研究性學(xué)習(xí).學(xué)生解決了疑問，教師也收獲頗豐.特整理出來，與大家分享，以期拋磚引玉.
1 問題呈現(xiàn)
問題：有一個(gè)正四面體的棱長為3，現(xiàn)用一張圓形的包裝紙將其完全包?。ú荒懿眉艏?，但可以折疊），那么包裝紙的最小半徑為………….
此題是填空題的第8題，屬于簡單題，對這位學(xué)生來說應(yīng)該是信手拈來的.然而他說出了自己的疑惑：這道題的答案是.把這個(gè)四面體沿三條側(cè)棱剪開，正好展開成一個(gè)正三角形，邊長為6，它的外接圓的半徑正好是，所以這題應(yīng)該是考展開圖的.
但是包裝的方式可以換.可以讓頂點(diǎn)落在圓心上，先包起三個(gè)側(cè)面，再用余下的弓形覆蓋底面三角形.如果圓剛好外接這三個(gè)三角形構(gòu)成的“風(fēng)扇”，那么所剩的弓形不能覆蓋底面三角形.這就要把圓變大，使得弓形足夠大，三個(gè)一樣的弓形正好可以覆蓋底面三角形.
只需要每一個(gè)弓形覆蓋正三角形的中心，所以圓的最小半徑為正三角形高的倍，即.那么問題來了.是不是不管怎么包裝，圓的最小半徑都是呢？
師：你也知道這題是考展開圖的，很常規(guī)的問題.那怎么又想起來換包裝方式呢？
生：要是求正四面體的全面積呢，答案肯定是唯一的.但是這題要求“不能裁剪紙，但可以折疊”，所以有部分被浪費(fèi)了，我就想換個(gè)包裝方式，會不會少浪費(fèi)點(diǎn)呢.
（學(xué)生的突發(fā)奇想，源自興趣、探究的欲望.動手操作實(shí)在困難，苦思冥想而不得結(jié)果，“憤、悱”狀態(tài)溢于臉龐.）
2 問題解決
師：節(jié)約是美德，找最優(yōu)是數(shù)學(xué)的追求.從現(xiàn)在的兩種包裝方式的結(jié)果能否推斷出圓的最小半徑是，還要看這兩種包裝方式是否能代表一般性.第一種包裝方式是將圓心放在了底面的中心上，第二種包裝方式是將圓心放在了頂點(diǎn)，相當(dāng)于反方向包裝.
生：這么說，兩種包裝紙的大小應(yīng)該是一樣的.
師：感覺上是.那么還可以怎么包裝呢？
（重新整理學(xué)生已經(jīng)進(jìn)行的探索，指出了不同包裝方式的出發(fā)點(diǎn)，便于學(xué)生進(jìn)一步建模探索.）
2.1 探尋更小
生：那就把圓心放在別的位置.因?yàn)檫@是個(gè)正四面體，所以只要考慮圓心在一個(gè)面內(nèi)移動就可以了.剛才已經(jīng)把圓心放在了正三角形的中心和頂點(diǎn)處，現(xiàn)在把圓心放在其它點(diǎn)處，但是這樣就要偏了，要想把展開圖都蓋上，好像圓要變大了.
生：哦，先空出一個(gè)角，讓半徑變小，再用“余料”來補(bǔ).那AB下方的弓形是沒用的，只能用AC，BC外的弓形，我來試試.
折起來后，A，B，C重合在一起.要包上角C，相當(dāng)于把邊AC外的弓形繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180度，把BC外的弓形繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)18 0度，兩弧交于點(diǎn)P.要把△CDE完全包住，就需要點(diǎn)P落在圓O內(nèi).下面建系求點(diǎn)P坐標(biāo).
以F為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則B（3，0）.設(shè)圓心O（0，m），則圓半徑，所以圓弧MPC所在圓的圓心為點(diǎn)O關(guān)于D的對稱點(diǎn)，所以圓O1的方程為.同理可得圓弧NPC所在圓O2的方程為.圓O1與圓O2的交點(diǎn)C、P都在y軸上，所以.點(diǎn)P要落在圓O內(nèi)，則，整理得，解得.所以圓O半徑，這個(gè)值大約是3.0817，果然比要小.所以原題答案錯(cuò)誤！
2.2 產(chǎn)生新疑
生：這樣做，圓心的位置還是特殊的.圓心除了在頂點(diǎn)、三角形的高上，在三角形內(nèi)的其他位置上，是否還能使半徑更小呢？
師：很好！要讓圓心走完底面的每一點(diǎn)，才能最終求得最小的半徑.那么繼續(xù)下去，又該如何處理呢？
生：在剛才的基礎(chǔ)上，讓圓心從點(diǎn)O向著B移動，仍然讓圓過點(diǎn)B，這樣圓半徑就比剛才的3.0817還小.但是，角A也露出來了.這樣就空出兩個(gè)角，可能就包不上了吧.
師：半徑是小了，再看“余料”是否夠用.方法應(yīng)該一樣.
生：是的，但不太好看了.相當(dāng)于把原來關(guān)于CF對稱的圓往旁邊拉了一下，不對稱了，所以三邊之外的弓形并不一樣，折起來就麻煩了.
師：（通過《幾何畫板》動態(tài)作圖驗(yàn)證，圓心O′移動時(shí)，找不到覆蓋的情形）你能借助這個(gè)直觀的結(jié)果給出解釋嗎？
生：因?yàn)榻茿和C都露出來了，所以AC外的弓形覆蓋不了頂點(diǎn)A、C附近的部分，需要用另兩邊外的弓形來覆蓋，也就是利用頂點(diǎn)B附近的“余料”.但是，O′從O到B移動的過程中，角A剛開始能被覆蓋，角C左邊部分始終沒能被覆蓋.
師：主要矛盾抓得好！首先這兩個(gè)角尖得被覆蓋上.從這個(gè)動態(tài)過程中，可以看出兩個(gè)角尖最多有一個(gè)被覆蓋.如何來準(zhǔn)確解釋這個(gè)現(xiàn)象呢？
生：因?yàn)锽C外的弓形很小.具體來說，是點(diǎn)B附近的這一塊覆蓋不住角C.
師：《幾何畫板》畫得太精確，所以看起來太明顯了.準(zhǔn)確還是需要用數(shù)據(jù)來說話.
生：因?yàn)椤螩=60°，噢，角A、B也都是60°，所以點(diǎn)B所在的這部分圓要包住三個(gè)角，也就是180°，這是不可能的.
師：很好！不要讓思維順著你的目光走，那樣容易“一葉障目”.綜合起來看，一旦有兩個(gè)角露出來，就要讓圓把三個(gè)角都包上，這肯定不可能.這樣不看動態(tài)過程也能立即下判斷，還是思維力強(qiáng)??！
生：自己動手畫太模糊，《幾何畫板》又太明顯，還是得靠想.
（學(xué)生致謝，轉(zhuǎn)身準(zhǔn)備走）
2.3 探究最小
師：這樣就結(jié)束了嗎？
生：還有更小的？露一個(gè)角，已經(jīng)找到最小的了，露兩個(gè)角不可能，露三個(gè)角就更不可能了.
師：露兩個(gè)角不可能，是因?yàn)檫^圓上的點(diǎn)B作不出一個(gè)平角在圓內(nèi).那如果讓點(diǎn)B落在圓內(nèi)，不就解決問題了？
生：就是把原來的圓O拉大一點(diǎn)，那么點(diǎn)A也在圓內(nèi)了，再把圓心向著點(diǎn)B拉，看著有更小點(diǎn)的可能性.我試試.
繼續(xù)采用《幾何畫板》動態(tài)觀察.可見，角A均容易被覆蓋，主要是角C的覆蓋，只有在O′、B′分別各自遠(yuǎn)離（或靠近）O、B時(shí)，角C好像能被覆蓋上.但此時(shí)，肉眼已經(jīng)無法分辨出點(diǎn)P是落在圓O′內(nèi)，還是圓O′上，還是圓O′外.通過測量，也只能精確到小數(shù)點(diǎn)后5位，比較不出來.
師：它也無能為力了.看來還是要硬算.我們可以先對這個(gè)不等式消元，因?yàn)镺′取在射線OB上，所以（a，b）滿足方程，即b=，可代入消元.
生：試試吧（有些猶豫）.消去b，得.將看成一個(gè)整體，展開得，.，所以右邊是關(guān)于a的函數(shù)，太復(fù)雜了.還要求下去么？
師：是什么類型的函數(shù)，可求嗎？
生：分式函數(shù).應(yīng)該能“部分分式”成運(yùn)用基本不等式的類型，可求最小值.
師：很好.類型把握得很準(zhǔn)，不過過程有點(diǎn)繁瑣.先用《幾何畫板》作圖來看看吧.
看來基本不等式用不到了.這個(gè)函數(shù)在a=0時(shí)取到最小值.
師：實(shí)際上，a=0時(shí)，O′就在點(diǎn)O處，這時(shí)的圓半徑最小.也就說明將圓心移開點(diǎn)O時(shí)，圓半徑都要隨之變大，才能包住四面體.
3 探究感想
一個(gè)題目，幾番周折，不斷的生疑、釋疑，追根問底，終于找到了最優(yōu)解.這一段探索的歷程，于學(xué)生、教師，都是不可磨滅的回憶、寶貴的財(cái)富.面對學(xué)生自主的探究活動，教師當(dāng)做學(xué)生的指路人，指點(diǎn)迷津，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程.
3.1 敬畏學(xué)生做探究的熱情，讓數(shù)學(xué)有趣
著名數(shù)學(xué)家陳省身先生用孩童般稚趣的語言為少年兒童題詞：“數(shù)學(xué)好玩”.對當(dāng)下的中學(xué)生來說，數(shù)學(xué)真的好玩嗎？高考的激烈競爭使數(shù)學(xué)成了“烈火上的舞者”，“數(shù)學(xué)無用”的論調(diào)在敗壞著數(shù)學(xué)的美.讓數(shù)學(xué)有趣，學(xué)生喜聞樂見，是當(dāng)今數(shù)學(xué)教育工作者的迫切追求.我們要用好“數(shù)學(xué)探究”、“數(shù)學(xué)建?！钡刃滦偷膶W(xué)習(xí)活動，創(chuàng)設(shè)耐人尋味的問題情境，一個(gè)好的問題足可以吸引學(xué)生深入探究，不斷提出新的問題并解決，還樂此不疲.
要想開展高質(zhì)量的“數(shù)學(xué)探究”活動，發(fā)人深思、有探究價(jià)值的素材至關(guān)重要.無論是教師精心選取，還是學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)的，首先要能吸引學(xué)生目光.這道題目于教師來說，是“閑著沒事兒干了”才會研究，但就被學(xué)生看上了.是它開放的題境喚起了學(xué)生的探究欲望，是學(xué)生探究的熱情點(diǎn)燃了它.我們應(yīng)該以一顆敬畏的心對待這份熱情，努力讓數(shù)學(xué)活動更有趣，不斷激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，讓探究之火燒得更旺.
愛因斯坦說過：“提出一個(gè)問題往往比解決一個(gè)問題更重要，因?yàn)榻鉀Q問題也許僅僅是一個(gè)教學(xué)上或?qū)嶒?yàn)上的技能而已，而提出新的問題往往需要有創(chuàng)造性的想象力.”提出問題需要學(xué)生用數(shù)學(xué)家的眼光看待生活現(xiàn)象，從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出可探究的新問題.學(xué)生在解決問題后的對問題不斷地追問，便是一種“數(shù)學(xué)家的思考”.基于興趣的目光，著實(shí)難能可貴，我們應(yīng)該予以贊賞；意想不到的問題，是寶貴的探究資源，我們當(dāng)傾心指導(dǎo)，著眼于創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)，讓他們擁有數(shù)學(xué)的眼光.
3.2 引導(dǎo)學(xué)生掌握探究的方法，讓數(shù)學(xué)有跡可循
教學(xué)改革從未停歇.教學(xué)主張經(jīng)歷著“授之以魚、授之以漁、授之以欲”的變革過程，為著人的更好的發(fā)展.而好的數(shù)學(xué)探究往往要經(jīng)歷“欲、魚、漁”的過程.一個(gè)好的素材引發(fā)學(xué)生的探究之欲，為解決問題需要積累基礎(chǔ)知識，還要掌握應(yīng)用知識解決問題的方法.熱情驅(qū)使下的探究，不需要教師過多的講授.教師當(dāng)做學(xué)生的指路人，于學(xué)生疑惑處指點(diǎn)迷津，幫助學(xué)生理出一條可行的探索之路.怎樣確定最小的圓形包裝紙，猶如無底洞不可捉摸，教師引導(dǎo)學(xué)生采取比較策略，在已有工作的基礎(chǔ)上尋找更小，比直接探尋最小更加清晰易操作.在從特殊到一般的探究過程中，問題也變得越來越明晰簡單.一旦學(xué)生擁有了“欲、魚、漁”，學(xué)習(xí)便可以隨時(shí)隨地發(fā)生，協(xié)作交流也可以隨時(shí)隨地進(jìn)行，成長就會自然而然.
研究性學(xué)習(xí)難以有效開展的原因多是難度大，見效慢.不像一個(gè)單純的數(shù)學(xué)問題，題境封閉，方向明確，答案固定.一個(gè)可研究的問題往往是開放的，學(xué)生做探究難以深入下去的重要原因是摸不著頭腦，搞不清方向.怎樣用一張圓形包裝紙包住正四面體？不易操作，也難想象，于是空間問題“平面化”，而展開圖也是多樣式的，從哪包起？再回到空間，考慮到正四面體和圓都是“對稱”的，只需要探討一種展開圖，圓心在一個(gè)底面內(nèi)移動即可.這是抽象，是建模，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的絕佳體驗(yàn).
數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)知識與方法構(gòu)建模型解決問題的過程.數(shù)學(xué)建模要求學(xué)生能“用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”.而“世界”是紛繁蕪雜的，這就需要學(xué)生的綜合分析能力、創(chuàng)新創(chuàng)造能力.從提供的答案看，命題者對該問題的建模過于理想化了.追求最優(yōu)化一直是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要方向.正是對最優(yōu)的執(zhí)著追尋，才有了前面的探究.在“現(xiàn)實(shí)問題”面前，學(xué)生心中是一團(tuán)亂麻，教師要幫助學(xué)生條分縷析，從亂中理出序來，讓數(shù)學(xué)有跡可循.
3.3 促成學(xué)生思考力的提升，讓數(shù)學(xué)有深度
《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》指出，高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)提倡實(shí)現(xiàn)信息技術(shù)與課程內(nèi)容的有機(jī)整合.鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用計(jì)算機(jī)、計(jì)算器等進(jìn)行探索和發(fā)現(xiàn).信息技術(shù)的廣泛應(yīng)用正在對數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，數(shù)學(xué)教與學(xué)的方式等產(chǎn)生深刻的影響.借助數(shù)學(xué)軟件工具，學(xué)生可以體會到數(shù)學(xué)的深度、領(lǐng)略到數(shù)學(xué)的無限魅力.
數(shù)學(xué)是思維的體操.有時(shí)候，體操的難度系數(shù)偏大些，學(xué)生的思維有到達(dá)不了的彼岸，便可以通過技術(shù)來搭橋，幫助學(xué)生把抽象變得直觀，給思考一個(gè)方向，使之得以繼續(xù)，把體操做得更優(yōu)美些.本題中的圓包正四面體靠手工操作太難，誤差很大，僅憑大腦解決又需要相當(dāng)高的空間想象能力，而借助《幾何畫板》就可以清晰地展示，何樂而不為？當(dāng)?shù)玫桨霃絩′與a的關(guān)系，求這么復(fù)雜的分式函數(shù)的最值完全沒必要，借助《幾何畫板》的繪圖功能使結(jié)果一目了然，可以解放大腦來分析結(jié)果.技術(shù)的助力，不僅能彌補(bǔ)思維之不足，還能為思維插上翅膀，使之越過障礙，往更廣闊的領(lǐng)域翱翔.
數(shù)學(xué)思維是隱形的技術(shù).信息技術(shù)于數(shù)學(xué)只是一種輔助工具.信息技術(shù)的使用應(yīng)恰到好處，防止代替大腦思考.對兩個(gè)角露出來的情況，當(dāng)O′與O非常靠近時(shí)，角C究竟能不能被完全覆蓋，就連《幾何畫板》作圖也會因?yàn)榫€條的粗度給人能覆蓋上的感覺.這就需要大腦來判斷，只要點(diǎn)A在圓外，AC外的弓形就蓋不上點(diǎn)C.當(dāng)O′，B′都動起來時(shí)，《幾何畫板》也“無能為力”了，需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拇鷶?shù)求證.技術(shù)，使用而不依賴，借以錘煉思維的深度，使思維更流暢.提升思考力，才是正道.
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著眼于學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的養(yǎng)成，選取有探究價(jià)值的素材，促進(jìn)學(xué)生主動學(xué)習(xí)、主動思考、主動實(shí)踐，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力.將國家課程校本化，形成以學(xué)生發(fā)展為價(jià)值取向，貼近學(xué)生生活，切實(shí)可行的問題探究課程.素材的選取至關(guān)重要，問題要入口寬，背景深，涵蓋廣.有時(shí)，看似一個(gè)平凡的問題，一個(gè)不經(jīng)意的念頭閃現(xiàn)，也可能會帶來一場探究風(fēng)暴.這不，在一次活動課間，一個(gè)學(xué)生就拿來了一個(gè)好素材（一道高三模擬題），由此引發(fā)了一場師生間的研究性學(xué)習(xí).學(xué)生解決了疑問，教師也收獲頗豐.特整理出來，與大家分享，以期拋磚引玉.
1 問題呈現(xiàn)
問題：有一個(gè)正四面體的棱長為3，現(xiàn)用一張圓形的包裝紙將其完全包?。ú荒懿眉艏?，但可以折疊），那么包裝紙的最小半徑為………….
此題是填空題的第8題，屬于簡單題，對這位學(xué)生來說應(yīng)該是信手拈來的.然而他說出了自己的疑惑：這道題的答案是.把這個(gè)四面體沿三條側(cè)棱剪開，正好展開成一個(gè)正三角形，邊長為6，它的外接圓的半徑正好是，所以這題應(yīng)該是考展開圖的.
但是包裝的方式可以換.可以讓頂點(diǎn)落在圓心上，先包起三個(gè)側(cè)面，再用余下的弓形覆蓋底面三角形.如果圓剛好外接這三個(gè)三角形構(gòu)成的“風(fēng)扇”，那么所剩的弓形不能覆蓋底面三角形.這就要把圓變大，使得弓形足夠大，三個(gè)一樣的弓形正好可以覆蓋底面三角形.
只需要每一個(gè)弓形覆蓋正三角形的中心，所以圓的最小半徑為正三角形高的倍，即.那么問題來了.是不是不管怎么包裝，圓的最小半徑都是呢？
師：你也知道這題是考展開圖的，很常規(guī)的問題.那怎么又想起來換包裝方式呢？
生：要是求正四面體的全面積呢，答案肯定是唯一的.但是這題要求“不能裁剪紙，但可以折疊”，所以有部分被浪費(fèi)了，我就想換個(gè)包裝方式，會不會少浪費(fèi)點(diǎn)呢.
（學(xué)生的突發(fā)奇想，源自興趣、探究的欲望.動手操作實(shí)在困難，苦思冥想而不得結(jié)果，“憤、悱”狀態(tài)溢于臉龐.）
2 問題解決
師：節(jié)約是美德，找最優(yōu)是數(shù)學(xué)的追求.從現(xiàn)在的兩種包裝方式的結(jié)果能否推斷出圓的最小半徑是，還要看這兩種包裝方式是否能代表一般性.第一種包裝方式是將圓心放在了底面的中心上，第二種包裝方式是將圓心放在了頂點(diǎn)，相當(dāng)于反方向包裝.
生：這么說，兩種包裝紙的大小應(yīng)該是一樣的.
師：感覺上是.那么還可以怎么包裝呢？
（重新整理學(xué)生已經(jīng)進(jìn)行的探索，指出了不同包裝方式的出發(fā)點(diǎn)，便于學(xué)生進(jìn)一步建模探索.）
2.1 探尋更小
生：那就把圓心放在別的位置.因?yàn)檫@是個(gè)正四面體，所以只要考慮圓心在一個(gè)面內(nèi)移動就可以了.剛才已經(jīng)把圓心放在了正三角形的中心和頂點(diǎn)處，現(xiàn)在把圓心放在其它點(diǎn)處，但是這樣就要偏了，要想把展開圖都蓋上，好像圓要變大了.
生：哦，先空出一個(gè)角，讓半徑變小，再用“余料”來補(bǔ).那AB下方的弓形是沒用的，只能用AC，BC外的弓形，我來試試.
折起來后，A，B，C重合在一起.要包上角C，相當(dāng)于把邊AC外的弓形繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180度，把BC外的弓形繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)18 0度，兩弧交于點(diǎn)P.要把△CDE完全包住，就需要點(diǎn)P落在圓O內(nèi).下面建系求點(diǎn)P坐標(biāo).
以F為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則B（3，0）.設(shè)圓心O（0，m），則圓半徑，所以圓弧MPC所在圓的圓心為點(diǎn)O關(guān)于D的對稱點(diǎn)，所以圓O1的方程為.同理可得圓弧NPC所在圓O2的方程為.圓O1與圓O2的交點(diǎn)C、P都在y軸上，所以.點(diǎn)P要落在圓O內(nèi)，則，整理得，解得.所以圓O半徑，這個(gè)值大約是3.0817，果然比要小.所以原題答案錯(cuò)誤！
2.2 產(chǎn)生新疑
生：這樣做，圓心的位置還是特殊的.圓心除了在頂點(diǎn)、三角形的高上，在三角形內(nèi)的其他位置上，是否還能使半徑更小呢？
師：很好！要讓圓心走完底面的每一點(diǎn)，才能最終求得最小的半徑.那么繼續(xù)下去，又該如何處理呢？
生：在剛才的基礎(chǔ)上，讓圓心從點(diǎn)O向著B移動，仍然讓圓過點(diǎn)B，這樣圓半徑就比剛才的3.0817還小.但是，角A也露出來了.這樣就空出兩個(gè)角，可能就包不上了吧.
師：半徑是小了，再看“余料”是否夠用.方法應(yīng)該一樣.
生：是的，但不太好看了.相當(dāng)于把原來關(guān)于CF對稱的圓往旁邊拉了一下，不對稱了，所以三邊之外的弓形并不一樣，折起來就麻煩了.
師：（通過《幾何畫板》動態(tài)作圖驗(yàn)證，圓心O′移動時(shí)，找不到覆蓋的情形）你能借助這個(gè)直觀的結(jié)果給出解釋嗎？
生：因?yàn)榻茿和C都露出來了，所以AC外的弓形覆蓋不了頂點(diǎn)A、C附近的部分，需要用另兩邊外的弓形來覆蓋，也就是利用頂點(diǎn)B附近的“余料”.但是，O′從O到B移動的過程中，角A剛開始能被覆蓋，角C左邊部分始終沒能被覆蓋.
師：主要矛盾抓得好！首先這兩個(gè)角尖得被覆蓋上.從這個(gè)動態(tài)過程中，可以看出兩個(gè)角尖最多有一個(gè)被覆蓋.如何來準(zhǔn)確解釋這個(gè)現(xiàn)象呢？
生：因?yàn)锽C外的弓形很小.具體來說，是點(diǎn)B附近的這一塊覆蓋不住角C.
師：《幾何畫板》畫得太精確，所以看起來太明顯了.準(zhǔn)確還是需要用數(shù)據(jù)來說話.
生：因?yàn)椤螩=60°，噢，角A、B也都是60°，所以點(diǎn)B所在的這部分圓要包住三個(gè)角，也就是180°，這是不可能的.
師：很好！不要讓思維順著你的目光走，那樣容易“一葉障目”.綜合起來看，一旦有兩個(gè)角露出來，就要讓圓把三個(gè)角都包上，這肯定不可能.這樣不看動態(tài)過程也能立即下判斷，還是思維力強(qiáng)??！
生：自己動手畫太模糊，《幾何畫板》又太明顯，還是得靠想.
（學(xué)生致謝，轉(zhuǎn)身準(zhǔn)備走）
2.3 探究最小
師：這樣就結(jié)束了嗎？
生：還有更小的？露一個(gè)角，已經(jīng)找到最小的了，露兩個(gè)角不可能，露三個(gè)角就更不可能了.
師：露兩個(gè)角不可能，是因?yàn)檫^圓上的點(diǎn)B作不出一個(gè)平角在圓內(nèi).那如果讓點(diǎn)B落在圓內(nèi)，不就解決問題了？
生：就是把原來的圓O拉大一點(diǎn)，那么點(diǎn)A也在圓內(nèi)了，再把圓心向著點(diǎn)B拉，看著有更小點(diǎn)的可能性.我試試.
繼續(xù)采用《幾何畫板》動態(tài)觀察.可見，角A均容易被覆蓋，主要是角C的覆蓋，只有在O′、B′分別各自遠(yuǎn)離（或靠近）O、B時(shí)，角C好像能被覆蓋上.但此時(shí)，肉眼已經(jīng)無法分辨出點(diǎn)P是落在圓O′內(nèi)，還是圓O′上，還是圓O′外.通過測量，也只能精確到小數(shù)點(diǎn)后5位，比較不出來.
師：它也無能為力了.看來還是要硬算.我們可以先對這個(gè)不等式消元，因?yàn)镺′取在射線OB上，所以（a，b）滿足方程，即b=，可代入消元.
生：試試吧（有些猶豫）.消去b，得.將看成一個(gè)整體，展開得，.，所以右邊是關(guān)于a的函數(shù)，太復(fù)雜了.還要求下去么？
師：是什么類型的函數(shù)，可求嗎？
生：分式函數(shù).應(yīng)該能“部分分式”成運(yùn)用基本不等式的類型，可求最小值.
師：很好.類型把握得很準(zhǔn)，不過過程有點(diǎn)繁瑣.先用《幾何畫板》作圖來看看吧.
看來基本不等式用不到了.這個(gè)函數(shù)在a=0時(shí)取到最小值.
師：實(shí)際上，a=0時(shí)，O′就在點(diǎn)O處，這時(shí)的圓半徑最小.也就說明將圓心移開點(diǎn)O時(shí)，圓半徑都要隨之變大，才能包住四面體.
3 探究感想
一個(gè)題目，幾番周折，不斷的生疑、釋疑，追根問底，終于找到了最優(yōu)解.這一段探索的歷程，于學(xué)生、教師，都是不可磨滅的回憶、寶貴的財(cái)富.面對學(xué)生自主的探究活動，教師當(dāng)做學(xué)生的指路人，指點(diǎn)迷津，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程.
3.1 敬畏學(xué)生做探究的熱情，讓數(shù)學(xué)有趣
著名數(shù)學(xué)家陳省身先生用孩童般稚趣的語言為少年兒童題詞：“數(shù)學(xué)好玩”.對當(dāng)下的中學(xué)生來說，數(shù)學(xué)真的好玩嗎？高考的激烈競爭使數(shù)學(xué)成了“烈火上的舞者”，“數(shù)學(xué)無用”的論調(diào)在敗壞著數(shù)學(xué)的美.讓數(shù)學(xué)有趣，學(xué)生喜聞樂見，是當(dāng)今數(shù)學(xué)教育工作者的迫切追求.我們要用好“數(shù)學(xué)探究”、“數(shù)學(xué)建?！钡刃滦偷膶W(xué)習(xí)活動，創(chuàng)設(shè)耐人尋味的問題情境，一個(gè)好的問題足可以吸引學(xué)生深入探究，不斷提出新的問題并解決，還樂此不疲.
要想開展高質(zhì)量的“數(shù)學(xué)探究”活動，發(fā)人深思、有探究價(jià)值的素材至關(guān)重要.無論是教師精心選取，還是學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)的，首先要能吸引學(xué)生目光.這道題目于教師來說，是“閑著沒事兒干了”才會研究，但就被學(xué)生看上了.是它開放的題境喚起了學(xué)生的探究欲望，是學(xué)生探究的熱情點(diǎn)燃了它.我們應(yīng)該以一顆敬畏的心對待這份熱情，努力讓數(shù)學(xué)活動更有趣，不斷激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，讓探究之火燒得更旺.
愛因斯坦說過：“提出一個(gè)問題往往比解決一個(gè)問題更重要，因?yàn)榻鉀Q問題也許僅僅是一個(gè)教學(xué)上或?qū)嶒?yàn)上的技能而已，而提出新的問題往往需要有創(chuàng)造性的想象力.”提出問題需要學(xué)生用數(shù)學(xué)家的眼光看待生活現(xiàn)象，從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出可探究的新問題.學(xué)生在解決問題后的對問題不斷地追問，便是一種“數(shù)學(xué)家的思考”.基于興趣的目光，著實(shí)難能可貴，我們應(yīng)該予以贊賞；意想不到的問題，是寶貴的探究資源，我們當(dāng)傾心指導(dǎo)，著眼于創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)，讓他們擁有數(shù)學(xué)的眼光.
3.2 引導(dǎo)學(xué)生掌握探究的方法，讓數(shù)學(xué)有跡可循
教學(xué)改革從未停歇.教學(xué)主張經(jīng)歷著“授之以魚、授之以漁、授之以欲”的變革過程，為著人的更好的發(fā)展.而好的數(shù)學(xué)探究往往要經(jīng)歷“欲、魚、漁”的過程.一個(gè)好的素材引發(fā)學(xué)生的探究之欲，為解決問題需要積累基礎(chǔ)知識，還要掌握應(yīng)用知識解決問題的方法.熱情驅(qū)使下的探究，不需要教師過多的講授.教師當(dāng)做學(xué)生的指路人，于學(xué)生疑惑處指點(diǎn)迷津，幫助學(xué)生理出一條可行的探索之路.怎樣確定最小的圓形包裝紙，猶如無底洞不可捉摸，教師引導(dǎo)學(xué)生采取比較策略，在已有工作的基礎(chǔ)上尋找更小，比直接探尋最小更加清晰易操作.在從特殊到一般的探究過程中，問題也變得越來越明晰簡單.一旦學(xué)生擁有了“欲、魚、漁”，學(xué)習(xí)便可以隨時(shí)隨地發(fā)生，協(xié)作交流也可以隨時(shí)隨地進(jìn)行，成長就會自然而然.
研究性學(xué)習(xí)難以有效開展的原因多是難度大，見效慢.不像一個(gè)單純的數(shù)學(xué)問題，題境封閉，方向明確，答案固定.一個(gè)可研究的問題往往是開放的，學(xué)生做探究難以深入下去的重要原因是摸不著頭腦，搞不清方向.怎樣用一張圓形包裝紙包住正四面體？不易操作，也難想象，于是空間問題“平面化”，而展開圖也是多樣式的，從哪包起？再回到空間，考慮到正四面體和圓都是“對稱”的，只需要探討一種展開圖，圓心在一個(gè)底面內(nèi)移動即可.這是抽象，是建模，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的絕佳體驗(yàn).
數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)知識與方法構(gòu)建模型解決問題的過程.數(shù)學(xué)建模要求學(xué)生能“用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”.而“世界”是紛繁蕪雜的，這就需要學(xué)生的綜合分析能力、創(chuàng)新創(chuàng)造能力.從提供的答案看，命題者對該問題的建模過于理想化了.追求最優(yōu)化一直是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要方向.正是對最優(yōu)的執(zhí)著追尋，才有了前面的探究.在“現(xiàn)實(shí)問題”面前，學(xué)生心中是一團(tuán)亂麻，教師要幫助學(xué)生條分縷析，從亂中理出序來，讓數(shù)學(xué)有跡可循.
3.3 促成學(xué)生思考力的提升，讓數(shù)學(xué)有深度
《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》指出，高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)提倡實(shí)現(xiàn)信息技術(shù)與課程內(nèi)容的有機(jī)整合.鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用計(jì)算機(jī)、計(jì)算器等進(jìn)行探索和發(fā)現(xiàn).信息技術(shù)的廣泛應(yīng)用正在對數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，數(shù)學(xué)教與學(xué)的方式等產(chǎn)生深刻的影響.借助數(shù)學(xué)軟件工具，學(xué)生可以體會到數(shù)學(xué)的深度、領(lǐng)略到數(shù)學(xué)的無限魅力.
數(shù)學(xué)是思維的體操.有時(shí)候，體操的難度系數(shù)偏大些，學(xué)生的思維有到達(dá)不了的彼岸，便可以通過技術(shù)來搭橋，幫助學(xué)生把抽象變得直觀，給思考一個(gè)方向，使之得以繼續(xù)，把體操做得更優(yōu)美些.本題中的圓包正四面體靠手工操作太難，誤差很大，僅憑大腦解決又需要相當(dāng)高的空間想象能力，而借助《幾何畫板》就可以清晰地展示，何樂而不為？當(dāng)?shù)玫桨霃絩′與a的關(guān)系，求這么復(fù)雜的分式函數(shù)的最值完全沒必要，借助《幾何畫板》的繪圖功能使結(jié)果一目了然，可以解放大腦來分析結(jié)果.技術(shù)的助力，不僅能彌補(bǔ)思維之不足，還能為思維插上翅膀，使之越過障礙，往更廣闊的領(lǐng)域翱翔.
數(shù)學(xué)思維是隱形的技術(shù).信息技術(shù)于數(shù)學(xué)只是一種輔助工具.信息技術(shù)的使用應(yīng)恰到好處，防止代替大腦思考.對兩個(gè)角露出來的情況，當(dāng)O′與O非常靠近時(shí)，角C究竟能不能被完全覆蓋，就連《幾何畫板》作圖也會因?yàn)榫€條的粗度給人能覆蓋上的感覺.這就需要大腦來判斷，只要點(diǎn)A在圓外，AC外的弓形就蓋不上點(diǎn)C.當(dāng)O′，B′都動起來時(shí)，《幾何畫板》也“無能為力”了，需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拇鷶?shù)求證.技術(shù)，使用而不依賴，借以錘煉思維的深度，使思維更流暢.提升思考力，才是正道.
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