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        迭代算法的平方收斂

        2017-01-09 01:11:10
        數(shù)學(xué)通報 2017年9期
        關(guān)鍵詞:根號迭代法算術(shù)

        湯 濤

        (南方科技大學(xué)數(shù)學(xué)系 518055)

        給定一個函數(shù)f(x)以及一個初始值x0,然后重復(fù)地計算

        就叫迭代法.

        迭代法在人類有了計算機(jī)以后產(chǎn)生了巨大的作用.它利用計算機(jī)運算速度快、適合做重復(fù)性操作的特點、讓計算機(jī)重復(fù)執(zhí)行一組指令(或一定步驟)、在每次執(zhí)行這組指令(或這些步驟)時、都從變量的原值推出它的一個新值.雖然迭代法的思想產(chǎn)生在很久以前,包括阿基米德、劉徽都用過,但在計算機(jī)出現(xiàn)以前,迭代法僅僅具有算法思想,難以付諸實用,其生命力也就非常有限了.

        1 迭代算法求根

        一個最典型的迭代法的例子就是開根號.假設(shè)我們不知道如何開根號,這樣就沒有辦法求.

        換一個思路.我們問如何求x2-2=0的根或其近似根?考慮x2-2=0的一個等價形式:

        這就可形成一個迭代算法:大概地給定一個初始近似值x0,通過下面的公式逐次形成x1,x2,…:

        即不斷令xk+1等于xk和2/xk的算術(shù)平均數(shù),迭代六、七次后得到的值就己經(jīng)相當(dāng)精確了.

        例如,假設(shè)首先猜測根號2的初始近似值為1,雖然它不是很準(zhǔn)確,但從表1可以看到:使用迭代法(1)后,迭代值很快趨近于.注意到迭代6次有近50位有效數(shù)字,而迭代7次就有近100位的有效數(shù)字!

        為什么會有這么好的精確度呢?

        下面我們做一些簡單分析.由(1),根據(jù)算術(shù)平均數(shù)大于幾何平均數(shù)得出:

        表1 迭代算法(1)前7次迭代后的近似值;底下劃線部分是精確值

        另一方面,仍由(1)可以得到:

        結(jié)合上面這兩個結(jié)果可以得到:

        這種性質(zhì)稱為二次收斂或平方收斂.具有這種性質(zhì)的算法收斂非常快,每迭代一步就可以加倍小數(shù)點后面的有效數(shù)字.比如一開始的誤差是10-1,在迭代6次的過程中產(chǎn)生的誤差分別是10-2,10-4,10-8,10-16,10-32,10-64的量級!

        那么,是不是每個迭代公式部可以收斂得這么快呢?笞案是否定的.比如考慮求的近似值、通過下面這個恒等式:

        可以得到迭代公式

        這個迭代對任何給定的初始值x0都是收斂的.如取初始值為x0=3就可以得到表2的結(jié)果.這時,區(qū)別就看出來了:對于迭代算法(2)、迭代7次以后,僅能得到5位有效數(shù)字,而不是前面例子斷給出的近100位有效數(shù)字.

        表2 迭代算法(2)前7次迭代后的近似值

        笞案是肯定的.我們還是考慮下面的形式:

        其中A,B為待定系數(shù).首先需要(3)和x2=3等價,也就是說:

        另一方面,對于迭代公式xk+1=A xk+B/xk可以推出

        滿足

        2 求圓周率的平方收斂算法

        目前最快的計算圓周率的迭代算法基于高斯(Karl Gauss,1777—1855)和勒讓德(Adrien-Marie Legendre,1752—1833)的純數(shù)學(xué)理論,它于19 75年被布倫特(Richard Brent)和薩拉明(Eugene Salamin)提煉為適合計算機(jī)計算的現(xiàn)代算法.此算法以迅速收斂著稱,只需25次迭代即可產(chǎn)生π的45 00萬位正確數(shù)字.日本筑波大學(xué)于2009年8月17日宣布利用此算法計算出π小數(shù)點后2500多億(2,576,980,370,000)位數(shù)字.

        下面給出高斯-勒讓德算法:選取初值

        此算法之所以被稱為高斯一勒讓德算法,是因為這兩位大數(shù)學(xué)家貢獻(xiàn)了原始思想;在19世紀(jì),高斯己經(jīng)知道算術(shù)一幾何平均迭代可以導(dǎo)致二次收斂,就象上節(jié)通過近似求解的例子那樣具有快速的收斂性質(zhì);而勒讓德推導(dǎo)出的一個關(guān)于橢圓積分的恒等式是算法成功的一個重要保證.

        在上表的算例中,我們先取n=0,算出a1,b1,t1,p1,π1的值,之后再讓n=1,重復(fù)下去,就會得到一系列的數(shù)據(jù)πn來近似π.從數(shù)值結(jié)果可以看出,高斯-勒讓德算法是平方收斂的,即如上節(jié)例子所演示的那樣,誤差隨著迭代次數(shù)成平方階遞減.特別地,迭代3次后就可以得到19位有效數(shù)字,迭代5次就可以得到84位,迭代6次后有效數(shù)字171,而迭代7次時,有效數(shù)字就增加為345.

        由于篇幅限帶,高斯-勒讓德算法的平方收斂推導(dǎo)將不在此給出.有興趣的讀者可以參考作者近期準(zhǔn)備的一個小冊子[1].

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