趙志鴻●

江蘇省南京市湖濱高級(jí)中學(xué)(210000)

淺談中學(xué)數(shù)學(xué)恒成立問題的解決策略與方法

趙志鴻●

江蘇省南京市湖濱高級(jí)中學(xué)(210000)

在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中經(jīng)常遇到“恒成立”的問題，由于解析該種問題具有很強(qiáng)的抽象性與邏輯思維性，因此“恒成立”問題就是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn).很多學(xué)生對該知識(shí)點(diǎn)的掌握不是很完善，為了幫助學(xué)生掌握“恒成立”問題的解決要點(diǎn)，首相要將“恒”字作為突破口，主要是考察學(xué)生轉(zhuǎn)換以及知識(shí)的靈活運(yùn)用程度，對于學(xué)生的綜合能力的培養(yǎng)是非常有意義的.

一、函數(shù)最值法

在“恒成立”問題中，函數(shù)最值法是最常用也是基本的解題方法.

例如：已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-x+1,若xf′(x)≤x2+ax+1恒成立，求a的取值范圍.

由以上題目可以看出，函數(shù)最值法是解決恒成立問題的簡單而有效的方法，但關(guān)鍵是對題目的恰當(dāng)變形處理.

二、分離參數(shù)法

“恒成立”問題類型多樣，在面對不同類型的問題時(shí)，解題方法也不同.例如，面對函數(shù)不等式類型的“恒成立”問題時(shí)應(yīng)該采用分離參數(shù)法.和函數(shù)最值法類似在采用分離參數(shù)法時(shí)首先要將函數(shù)進(jìn)行變形處理，經(jīng)過變形處理的函數(shù)其參數(shù)被分離出來，當(dāng)函數(shù)變成只含有一段的解析式，這樣函數(shù)變得更加簡單、明了.有助于快速解決“恒成立問題”

例如：已知2a-3b=1，證明ax+by=5這條直線恒過定點(diǎn).在這道題中已知2a-3b=1，便可以得出a=1/2(3b+1)，把其代入直線方程式后，分離參數(shù)b可以出(x-10)+b(3x+2y)=0.又由x-10=0與3x+2y=0得到x=10，y=-15.所以(x-10)+b(3x+2y)=0表示經(jīng)過x-10=0與3x+2y=0這兩條直線的交點(diǎn)(10，-15)的直線系方程.因此當(dāng)2a-3b=1的時(shí)候，坐標(biāo)(10，-15)是直線ax+by=5的恒過定點(diǎn).該例題采用分離參數(shù)法來解決“恒成立”問題時(shí)，主要將含參數(shù)的項(xiàng)集中到一起，不含參數(shù)的項(xiàng)另集中到一起，再用恒等式的方法加以解決.

三、把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象問題

對于不等式恒成立問題，這類題目可能一開始束手無策，很難用初等數(shù)學(xué)的知識(shí)去解這個(gè)不等式，但如果想到數(shù)形結(jié)合的方法就可以很快解決.

四、采用逆向思維，使用反證法

如果恒定問題，不能從正面解決，那么就從反面進(jìn)行考慮，所以可以考慮反證法，會(huì)帶來一些幫助解決的思緒.

解決恒成立問題的方法主要是將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡單易解決的問題.而要讓學(xué)生做到正確的、靈活的轉(zhuǎn)化，就要求我們在中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生對典型問題的典型解法加以研究并自覺地疏理知識(shí)，形成知識(shí)板塊結(jié)構(gòu)和方法體系，不斷提高在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的解題問題的能力，提高信心.

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