吳震宇 趙大興 鐘瑞齡

1.湖北工業(yè)大學(xué)，武漢，430068 2.宜昌長(zhǎng)機(jī)科技有限責(zé)任公司，宜昌，443003

多因素影響的電子螺旋導(dǎo)軌誤差的理論分析

吳震宇1趙大興1鐘瑞齡2

1.湖北工業(yè)大學(xué)，武漢，430068 2.宜昌長(zhǎng)機(jī)科技有限責(zé)任公司，宜昌，443003

為了進(jìn)一步提高電子螺旋導(dǎo)軌對(duì)內(nèi)斜齒的加工精度，從插齒機(jī)傳動(dòng)鏈機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)的角度，研究了內(nèi)斜齒螺旋線(xiàn)偏差的產(chǎn)生機(jī)理。首先，根據(jù)插削時(shí)各軸的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，建立了插齒刀附加轉(zhuǎn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，定義了附加轉(zhuǎn)動(dòng)系數(shù)；然后，分別建立了附加轉(zhuǎn)動(dòng)偏差以及主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)偏差與螺旋線(xiàn)偏差之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，定義了Zebra系數(shù)；最后，分析了螺旋線(xiàn)偏差的產(chǎn)生機(jī)理，總結(jié)了桿件長(zhǎng)度、曲柄初始位置以及運(yùn)動(dòng)副間隙對(duì)螺旋線(xiàn)偏差的影響規(guī)律。

插齒機(jī)；電子螺旋導(dǎo)軌；附加轉(zhuǎn)動(dòng)；曲柄滑塊機(jī)構(gòu)

0 引言

普通國(guó)產(chǎn)插齒機(jī)通常采用機(jī)械式螺旋導(dǎo)軌插削斜齒輪，當(dāng)加工不同螺旋角的斜齒輪時(shí)就必須要更換螺旋導(dǎo)軌[1]。由于螺旋導(dǎo)軌的制造工藝復(fù)雜、加工成本高而且不易更換，導(dǎo)致內(nèi)斜齒輪加工效率和加工精度難以滿(mǎn)足要求，因此，采用電子螺旋導(dǎo)軌取代機(jī)械式螺旋導(dǎo)軌，這一方面節(jié)約了加工螺旋導(dǎo)軌所產(chǎn)生的制造成本[2]，另一方面，縮短了安裝螺旋導(dǎo)軌所需的工時(shí)，提高了生產(chǎn)效率[3]，此外，還規(guī)避了機(jī)械螺旋導(dǎo)軌制造和安裝誤差對(duì)齒輪加工精度的影響[4-5]。目前宜昌長(zhǎng)機(jī)科技有限責(zé)任公司生產(chǎn)的YK5150型帶電子螺旋導(dǎo)軌的數(shù)控插齒機(jī)能夠保證插齒精度達(dá)到6級(jí)。由斜齒圓柱齒輪齒面成形方法可知[6]，展成運(yùn)動(dòng)和附加轉(zhuǎn)動(dòng)同步進(jìn)行才能完成斜齒輪的插削加工，實(shí)現(xiàn)附加轉(zhuǎn)動(dòng)是斜齒輪插削加工的關(guān)鍵。以往，插齒刀附加轉(zhuǎn)動(dòng)的實(shí)現(xiàn)是靠機(jī)械式螺旋導(dǎo)軌實(shí)現(xiàn)的，如果采用電子螺旋導(dǎo)軌代替機(jī)械螺旋導(dǎo)軌，首先要解決的問(wèn)題是附加轉(zhuǎn)動(dòng)的實(shí)現(xiàn)。關(guān)于這個(gè)問(wèn)題，目前已經(jīng)從理論上證明附加運(yùn)動(dòng)是可以通過(guò)插齒刀來(lái)完成的，并且已有學(xué)者建立了附加轉(zhuǎn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型[7-8]，但實(shí)際加工的內(nèi)斜齒輪螺旋線(xiàn)精度仍然與設(shè)計(jì)值存在偏差，這不是由于理論模型不正確所導(dǎo)致的，而是對(duì)螺旋線(xiàn)偏差的產(chǎn)生機(jī)理研究不足，從而導(dǎo)致實(shí)際應(yīng)用中不能有效規(guī)避產(chǎn)生誤差的主要因素。電子螺旋導(dǎo)軌附加轉(zhuǎn)動(dòng)不是靠機(jī)械裝置實(shí)現(xiàn)的，該轉(zhuǎn)動(dòng)與插齒刀軸向直線(xiàn)位移存在運(yùn)動(dòng)關(guān)系，螺旋線(xiàn)偏差是受到多因素影響而產(chǎn)生的。本文依據(jù)數(shù)控插齒機(jī)傳動(dòng)鏈機(jī)構(gòu)學(xué)原理，以數(shù)控螺旋導(dǎo)軌附加轉(zhuǎn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型為分析基礎(chǔ)，從定性和定量的角度研究螺旋線(xiàn)偏差的產(chǎn)生機(jī)理。

1 插削斜齒輪所需的運(yùn)動(dòng)關(guān)系

1.1 插削斜齒輪時(shí)各軸的運(yùn)動(dòng)關(guān)系

圖1為數(shù)控斜齒輪插齒機(jī)傳動(dòng)原理圖，圖中點(diǎn)劃線(xiàn)部分表示由數(shù)控系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的相關(guān)軸的運(yùn)動(dòng)關(guān)系[9]。

圖1 數(shù)控斜齒輪插齒機(jī)傳動(dòng)原理圖

圖1中，E軸為主軸，帶動(dòng)刀具上下往復(fù)運(yùn)動(dòng)，正常工作時(shí)應(yīng)勻速旋轉(zhuǎn)；C軸帶動(dòng)工作臺(tái)旋轉(zhuǎn)，正常工作時(shí)勻速旋轉(zhuǎn)或者間歇性旋轉(zhuǎn)，完成圓周進(jìn)給；X軸間歇性旋轉(zhuǎn)，完成徑向進(jìn)給；B軸帶動(dòng)刀具旋轉(zhuǎn)，其運(yùn)動(dòng)關(guān)系最復(fù)雜，由展成運(yùn)動(dòng)及附加轉(zhuǎn)動(dòng)組成，對(duì)工件的螺旋線(xiàn)精度有直接影響。如圖1所示，B軸因附加展成運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)過(guò)的角度與C軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度成齒數(shù)比，還與E軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度之間呈一較復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系。因此實(shí)現(xiàn)斜齒輪插削加工數(shù)控化的關(guān)鍵在于對(duì)B軸的控制。

1.2 插削斜齒輪所需的附加轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)系

插削斜齒輪時(shí)，插齒刀除了做展成運(yùn)動(dòng)，還要相對(duì)工件做附加轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)附加轉(zhuǎn)動(dòng)由插齒刀來(lái)完成時(shí)，其要求為：插齒刀分度圓上一點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)的距離除以插齒刀豎直方向上的移動(dòng)距離L等于分度圓螺旋角β的正切值，即

(1)

式中，mn為插齒刀模數(shù)；zD為插齒刀齒數(shù)。

由此可以推出附加轉(zhuǎn)動(dòng)角度公式：

(2)

當(dāng)附加轉(zhuǎn)動(dòng)由工件來(lái)完成時(shí)，只需將式(2)中的zD用工件的齒數(shù)代替即可。

由式(2)可知，當(dāng)插齒刀的模數(shù)、齒數(shù)、螺旋角已知時(shí)，插齒刀附加轉(zhuǎn)動(dòng)角度θ與插齒刀在豎直方向上運(yùn)動(dòng)的距離L成固定比例，稱(chēng)該比例為附加轉(zhuǎn)動(dòng)系數(shù)，用K表示，即

(3)

2 螺旋線(xiàn)偏差計(jì)算模型

2.1 附加轉(zhuǎn)動(dòng)偏差與螺旋線(xiàn)偏差

圖2 螺旋線(xiàn)偏差計(jì)算示意圖

即工件齒輪螺旋線(xiàn)偏差等于基圓半徑與工件齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)偏差角的乘積。由于工件齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)偏差是由插齒刀附加轉(zhuǎn)動(dòng)偏差引起的，所以工件齒輪螺旋線(xiàn)偏差與插齒刀附加轉(zhuǎn)動(dòng)偏差角之間的關(guān)系可用下式表示：

(4)

式中，θD為插齒刀附加轉(zhuǎn)動(dòng)偏差角。

2.2 主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)偏差與螺旋線(xiàn)偏差

插齒刀在豎直方向上的主運(yùn)動(dòng)通常由曲柄滑塊機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)。以曲柄轉(zhuǎn)角為自變量，以插齒刀在豎直方向上的移動(dòng)距離為因變量，得到的曲線(xiàn)稱(chēng)為主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)。

計(jì)算插齒刀附加轉(zhuǎn)動(dòng)值時(shí)，需要假設(shè)插齒刀在豎直方向上的移動(dòng)距離與曲柄轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系，稱(chēng)它們之間的關(guān)系曲線(xiàn)為插齒刀的理論主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)。與之相對(duì)應(yīng)的是插齒刀實(shí)際移動(dòng)距離與曲柄轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系，稱(chēng)它們之間的關(guān)系曲線(xiàn)為插齒刀的實(shí)際主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)。將插齒刀實(shí)際附加轉(zhuǎn)動(dòng)角度除以附加轉(zhuǎn)動(dòng)系數(shù)，以得到的商為縱坐標(biāo)，以曲柄轉(zhuǎn)角為橫坐標(biāo)，得到的曲線(xiàn)稱(chēng)為設(shè)計(jì)主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)。定義任一曲柄轉(zhuǎn)角對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)偏差為：以該曲柄轉(zhuǎn)角為主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)上點(diǎn)的橫坐標(biāo)值，對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)上點(diǎn)的縱坐標(biāo)值與實(shí)際主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)上點(diǎn)的縱坐標(biāo)值的差值。定義任一曲柄轉(zhuǎn)角對(duì)應(yīng)的理論主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)偏差為：以該曲柄轉(zhuǎn)角為主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)上點(diǎn)的橫坐標(biāo)值，對(duì)應(yīng)的理論主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)上點(diǎn)的縱坐標(biāo)值與實(shí)際主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)上點(diǎn)的縱坐標(biāo)值的差值。除非另有聲明，下文中的主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)偏差均指設(shè)計(jì)主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)偏差。

通過(guò)式(2)可以由主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)偏差得到插齒刀的附加轉(zhuǎn)動(dòng)偏差，通過(guò)式(4)可以由插齒刀的附加轉(zhuǎn)動(dòng)偏差得到工件齒輪的螺旋線(xiàn)偏差。所以主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)偏差ΔL與螺旋線(xiàn)偏差e之間的關(guān)系可由下式表示：

(5)

又

tanαt=tanαn/cosβ

得到

代入式(5)得

(6)

由式(6)可知，螺旋線(xiàn)偏差是由主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)偏差所引起的。

法面壓力角αn恒等于20°，由式(6)可知，確定螺旋角β的值之后，主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)的偏差將以固定的比例反映到工件齒輪的螺旋線(xiàn)偏差上，稱(chēng)該比例系數(shù)為Zebra系數(shù)，用Z表示，即

(7)

插削斜齒輪時(shí)，在螺旋線(xiàn)計(jì)值范圍內(nèi)任意位置處，主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)偏差乘以斜齒輪螺旋角所對(duì)應(yīng)的Zebra系數(shù)，即可得到該位置的螺旋線(xiàn)偏差。

3 螺旋線(xiàn)偏差的等效分析

由前面的分析可知，螺旋線(xiàn)偏差與主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)偏差之間相差了一個(gè)Zebra系數(shù)，因此，對(duì)螺旋線(xiàn)偏差的分析可以轉(zhuǎn)化成對(duì)主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)偏差的分析。如果主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)偏差為零，那么螺旋線(xiàn)偏差也就為零。因此本節(jié)將圍繞“如何實(shí)現(xiàn)主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)偏差為零，主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)偏差與哪些影響因素有關(guān)”等問(wèn)題展開(kāi)研究。

由2.2節(jié)主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)偏差的定義可知，要想實(shí)現(xiàn)主運(yùn)動(dòng)偏差為零，理想情況是設(shè)計(jì)主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)、理論主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)以及實(shí)際主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)三條曲線(xiàn)重合。

3.1 設(shè)計(jì)主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)與理論主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)的重合性分析

首先對(duì)主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)與理論主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)能否重合進(jìn)行分析。當(dāng)采用曲柄滑塊機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)主運(yùn)動(dòng)時(shí)，假設(shè)曲柄從最高點(diǎn)開(kāi)始旋轉(zhuǎn)，按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，則可采用下式表示的曲線(xiàn)作為理論主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)[10]：

(8)

式中，L1為連桿長(zhǎng)度；L2為曲柄長(zhǎng)度；θ為曲柄旋轉(zhuǎn)角度；Lθ為插齒刀在豎直方向上的移動(dòng)距離。

當(dāng)連桿長(zhǎng)度為170 mm，曲柄長(zhǎng)度為120 mm時(shí)，按式(8)計(jì)算得到的理論主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)如圖3所示，當(dāng)采用曲柄連桿機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)插齒刀的主運(yùn)動(dòng)時(shí)，理論主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)呈非線(xiàn)性。因此，實(shí)際應(yīng)用中很難保證設(shè)計(jì)主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)與理論主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)重合。設(shè)計(jì)主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)事實(shí)上是由一系列的直線(xiàn)段構(gòu)成的。這一系列的直線(xiàn)段按照一定的規(guī)律逼近理論主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)，不可避免地存在逼近偏差。但是，為了解決逼近偏差引起的問(wèn)題，可以按照一定的規(guī)則，限制設(shè)計(jì)主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)的逼近偏差，進(jìn)而使任意位置的螺旋線(xiàn)偏差小于許用螺旋線(xiàn)偏差。

圖3 理論主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)圖

由上述分析可知，盡管設(shè)計(jì)主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)與理論主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)不能完全重合，但還是可以通過(guò)逼近原則實(shí)現(xiàn)兩條曲線(xiàn)的無(wú)限接近。

3.2 實(shí)際主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)與理論主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)的重合性分析

由3.1節(jié)分析可知，設(shè)計(jì)主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)是可以無(wú)限逼近理論主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)的，如果實(shí)際主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)能夠與理論主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)重合或者無(wú)限逼近，那么螺旋線(xiàn)誤差就能夠接近于零。但是受桿件長(zhǎng)度及曲柄初始位置測(cè)量精度、運(yùn)動(dòng)副間隙、桿件受力變形以及磨損等因素的影響，實(shí)際主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)與理論主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)往往并不重合。因此，由逼近理論主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)得到的設(shè)計(jì)主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)，不可避免地與實(shí)際主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)存在偏差，即設(shè)計(jì)主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)偏差不等于0。以下著重分析桿件長(zhǎng)度及曲柄初始位置測(cè)量精度、連桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)副間隙引起的主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)偏差，以及因此引起的螺旋線(xiàn)偏差、螺旋線(xiàn)總偏差。為了分析簡(jiǎn)便起見(jiàn)，在本節(jié)的分析中忽略設(shè)計(jì)主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)的逼近偏差，即假設(shè)設(shè)計(jì)主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)與理論主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)重合。

3.2.1 桿件長(zhǎng)度及曲柄初始位置測(cè)量精度對(duì)主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)偏差的影響

不考慮其他因素的影響，假設(shè)理論連桿長(zhǎng)度為L(zhǎng)1，理論曲柄長(zhǎng)度為L(zhǎng)2，理論初始角度為0，實(shí)際連桿長(zhǎng)度為L(zhǎng)1+ΔL1，實(shí)際曲柄長(zhǎng)度為L(zhǎng)2+ΔL2，實(shí)際初始角度為Δθ。結(jié)合式(8)可得實(shí)際主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)與理論主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)的差值，即主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)偏差為

Δ(L1,L2,θ,ΔL1,ΔL2,Δθ)=

Lθ(L1+ΔL1,L2+ΔL2,θ+Δθ)-Lθ(L1,L2,θ)

(9)

當(dāng)螺旋角β取15°時(shí)，按照式(7)計(jì)算Zebra系數(shù)等于0.251，即可得到螺旋線(xiàn)偏差。

圖4為L(zhǎng)1為170 mm，L2為120 mm，ΔL2為0，Δθ為0，ΔL1分別為-0.5 mm、0.5 mm、1 mm時(shí)對(duì)應(yīng)的主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)偏差，當(dāng)實(shí)際連桿長(zhǎng)度比理論連桿長(zhǎng)度大0.5 mm時(shí)，最大主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)偏差出現(xiàn)在曲柄轉(zhuǎn)角為90°處，其大小為0.205 mm。取螺旋角β為15°，則最大螺旋線(xiàn)偏差為0.0515 mm。按國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，它能夠滿(mǎn)足的最高精度的齒輪是精度等級(jí)為7級(jí)、分度圓直徑范圍為(1600，2500]mm、齒寬范圍為(650，1000]mm的齒輪。

圖4 實(shí)際連桿長(zhǎng)度對(duì)主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)偏差的影響

圖5為L(zhǎng)1為170 mm，L2為120 mm，ΔL1為0，Δθ為0，ΔL2分別為-0.5 mm、0.5 mm、1 mm時(shí)對(duì)應(yīng)的主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)偏差曲線(xiàn)，假設(shè)上超越行程及下超越行程均為20 mm，加工行程為200 mm，當(dāng)實(shí)際曲柄長(zhǎng)度比理論曲柄長(zhǎng)度大0.5 mm時(shí)，最大主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)偏差出現(xiàn)在154°，其大小為0.878 mm。取螺旋角β為15°，則最大正螺旋線(xiàn)偏差為0.2204 mm。按國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，它能夠滿(mǎn)足的最高精度的齒輪規(guī)格為11級(jí)精度的分度圓直徑范圍為(2500，4000]mm、齒寬范圍為(650，1000]mm的齒輪。

圖5 實(shí)際曲柄長(zhǎng)度對(duì)主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)偏差的影響

圖6為L(zhǎng)1為170 mm，L2為120 mm，ΔL1為0，ΔL2為0，Δθ分別為-0.5°、0.5°、1°時(shí)對(duì)應(yīng)的主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)偏差。當(dāng)實(shí)際初始位置為0.5°時(shí)，最大主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)偏差出現(xiàn)在116°，偏差大小為1.318 mm。取螺旋角β為15°，則最大螺旋線(xiàn)偏差為0.3308 mm。按國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，只能加工分度圓直徑范圍為(6000，10000]mm、齒寬范圍為(650，1000]mm、精度等級(jí)為12級(jí)的齒輪。

圖6 實(shí)際初始位置對(duì)主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)偏差的影響

可見(jiàn)，實(shí)際連桿長(zhǎng)度、實(shí)際曲柄長(zhǎng)度、實(shí)際初始位置分別單獨(dú)作用時(shí)，對(duì)主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)偏差和最大螺旋線(xiàn)偏差的影響的大小及規(guī)律各不相同?，F(xiàn)實(shí)中三者往往共同作用，實(shí)際主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)與理論主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)的偏離更嚴(yán)重，并且沒(méi)有簡(jiǎn)單可靠的規(guī)律可以遵循。

3.2.2 運(yùn)動(dòng)副間隙對(duì)主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)偏差的影響

為了分析簡(jiǎn)便起見(jiàn)，忽略其他因素的影響，不考慮曲柄與底座相接的轉(zhuǎn)動(dòng)副的間隙以及滑塊與底座相接的移動(dòng)副的間隙。只考慮曲柄與連桿相接的轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙以及連桿與滑塊相接的轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙對(duì)實(shí)際主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)的影響。根據(jù)插削齒輪過(guò)程中滑塊受力及連桿傳遞力的情況，將運(yùn)動(dòng)副間隙對(duì)主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)的影響分為三種情況：上下超越行程中運(yùn)動(dòng)副間隙的影響；切削行程中運(yùn)動(dòng)副間隙的影響；超越行程與切削行程過(guò)渡階段運(yùn)動(dòng)副間隙的影響。假設(shè)實(shí)際連桿長(zhǎng)度為l1，實(shí)際曲柄長(zhǎng)度為l2，曲柄從最高點(diǎn)開(kāi)始旋轉(zhuǎn)，按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)。假設(shè)所有轉(zhuǎn)動(dòng)副的銷(xiāo)和孔的作用面都是理想的圓柱面，曲柄與連桿相接的轉(zhuǎn)動(dòng)副的銷(xiāo)與孔半徑的差為Δ1，連桿與滑塊相接的轉(zhuǎn)動(dòng)副的銷(xiāo)與孔半徑的差為Δ2。轉(zhuǎn)動(dòng)副通過(guò)銷(xiāo)與孔的接觸傳遞運(yùn)動(dòng)和力。同時(shí)其作用面假定為理想的圓柱面。因此，只要傳遞的運(yùn)動(dòng)和力不為0，轉(zhuǎn)動(dòng)副中銷(xiāo)的中心線(xiàn)必然在以相對(duì)應(yīng)的孔的中心線(xiàn)為中心、以?xún)烧咦饔妹姘霃街顬榘霃降膱A柱面上。并且，傳遞不同的運(yùn)動(dòng)和力時(shí)，銷(xiāo)的中心線(xiàn)在圓柱面上的位置不同。

3.2.2.1 超越行程中運(yùn)動(dòng)副間隙的影響

在上下超越行程中，除去超越行程與切削行程過(guò)渡階段，連桿主要受滑塊重力的作用。在重力的作用下，運(yùn)動(dòng)副的銷(xiāo)與孔的間隙使滑塊的實(shí)際行程大于理論行程，并且在某一特定位置能夠使兩者之差達(dá)到最大值。

圖7所示為超越行程中運(yùn)動(dòng)副間隙對(duì)主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)的影響。在超越行程中的任一位置，由于重力的作用，轉(zhuǎn)動(dòng)副1的銷(xiāo)與孔的中心連線(xiàn)在連桿的延長(zhǎng)線(xiàn)上，同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)副2的銷(xiāo)與孔的中心連線(xiàn)也在連桿的延長(zhǎng)線(xiàn)上。可以證明，此時(shí)滑塊的實(shí)際行程已經(jīng)超出了理論行程，并且兩者之差達(dá)到最大值。

圖8為超越行程曲柄與連桿相接的轉(zhuǎn)動(dòng)副中銷(xiāo)位置的計(jì)算示意圖。銷(xiāo)的中心在以孔的中心為中心，以Δ1為半徑的圓上。同時(shí)，銷(xiāo)的中心必須在以連桿另一端為中心，以連桿長(zhǎng)度l1為半徑的圓上。連桿的另一端在對(duì)心線(xiàn)上移動(dòng)。所以，銷(xiāo)的中心在兩個(gè)圓的交點(diǎn)上。顯然，當(dāng)兩圓相外切時(shí)，連桿的另一端離曲柄的旋轉(zhuǎn)中心最遠(yuǎn)。此時(shí)，銷(xiāo)與孔的中心連線(xiàn)在連桿的延長(zhǎng)線(xiàn)上。同理，對(duì)于連桿與滑塊相接的轉(zhuǎn)動(dòng)副，當(dāng)銷(xiāo)與孔的中心連線(xiàn)在連桿的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，滑塊上的轉(zhuǎn)動(dòng)副中心離曲柄的旋轉(zhuǎn)中心最遠(yuǎn)。

圖7 超越行程中運(yùn)動(dòng)副間隙對(duì)主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)的影響

圖8 超越行程轉(zhuǎn)動(dòng)副中銷(xiāo)位置計(jì)算示意

由以上分析可知，在超越行程中，連桿的作用長(zhǎng)度等于連桿的實(shí)際長(zhǎng)度與兩轉(zhuǎn)動(dòng)副孔與銷(xiāo)的半徑之差的和，即l1+Δl1=l1+Δ1+Δ2。由此引起的主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)偏差為

Δ(l1,l2,θ,Δl1,Δl2,Δθ)=lθ(l1+Δ1+Δ2,l2,θ)-lθ(l1,l2,θ)

(10)

由式(10)可知，在假定條件下，超越行程中兩轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙對(duì)主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)的影響等價(jià)于實(shí)際連桿長(zhǎng)度大于理論連桿長(zhǎng)度所造成的影響。

3.2.2.2 切削行程中運(yùn)動(dòng)副間隙的影響

在切削行程中，連桿需要將力傳遞到滑塊上以克服切削阻力。此時(shí)，運(yùn)動(dòng)副中銷(xiāo)與孔的間隙會(huì)導(dǎo)致滑塊的實(shí)際行程小于理論行程，同時(shí)存在某一特定位置能夠使兩者之差達(dá)到最大值。

圖9所示為切削行程中運(yùn)動(dòng)副間隙對(duì)測(cè)量精度的影響。在切削力的作用下，轉(zhuǎn)動(dòng)副1的銷(xiāo)與孔的中心連線(xiàn)在連桿上，轉(zhuǎn)動(dòng)副2的銷(xiāo)與孔的中心連線(xiàn)也在連桿上。可以證明，此時(shí)滑塊的實(shí)際行程小于理論行程，并且兩者之差達(dá)到最大值。

圖10為切削行程曲柄與連桿相接的轉(zhuǎn)動(dòng)副中銷(xiāo)位置的計(jì)算示意圖。銷(xiāo)的中心在以孔的中心為中心，以Δ1為半徑的圓上。同時(shí)，銷(xiāo)的中心必須在以連桿另一端為中心，以連桿長(zhǎng)度l1為半徑的圓上。連桿的另一端在對(duì)心線(xiàn)上移動(dòng)。所以，銷(xiāo)的中心在兩個(gè)圓的交點(diǎn)上。顯然，當(dāng)兩圓相內(nèi)切時(shí)，連桿的另一端離曲柄的旋轉(zhuǎn)中心最近。此時(shí)，銷(xiāo)與孔的中心連線(xiàn)在連桿上。同理，對(duì)于連桿與滑塊相接的轉(zhuǎn)動(dòng)副，只有當(dāng)銷(xiāo)與孔的中心連線(xiàn)在連桿上時(shí)，滑塊上的轉(zhuǎn)動(dòng)副中心離曲柄的旋轉(zhuǎn)中心最近。

圖9 切削行程中運(yùn)動(dòng)副間隙對(duì)主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)的影響

圖10 切削行程轉(zhuǎn)動(dòng)副中銷(xiāo)位置計(jì)算示意

由以上分析可知，在切削行程中，連桿的作用長(zhǎng)度等于連桿的實(shí)際長(zhǎng)度減去兩轉(zhuǎn)動(dòng)副孔與銷(xiāo)的半徑之差，即l1+Δl1=l1-Δ1-Δ2。由此引起的主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)偏差為

Δ(l1,l2,θ,Δl1,Δl2,Δθ)=lθ(l1-Δ1-Δ2,l2,θ)-lθ(l1,l2,θ)

(11)

由式(11)可知，在假定的條件下，切削行程中兩轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙對(duì)主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)的影響等價(jià)于實(shí)際連桿長(zhǎng)度小于理論連桿長(zhǎng)度造成的影響。

3.2.2.3 過(guò)渡階段運(yùn)動(dòng)副間隙的影響

如前所述：在上超越行程與切削行程的過(guò)渡階段之前，運(yùn)動(dòng)副間隙對(duì)主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)的影響等價(jià)于實(shí)際連桿長(zhǎng)度增大帶來(lái)的影響；在切削行程中，運(yùn)動(dòng)副間隙對(duì)主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)的影響等價(jià)于實(shí)際連桿長(zhǎng)度減小帶來(lái)的影響；在切削行程與上超越行程的過(guò)渡階段之后，運(yùn)動(dòng)副間隙對(duì)主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)的影響等價(jià)于實(shí)際連桿長(zhǎng)度增大帶來(lái)的影響。

當(dāng)插齒刀最下端與被加工齒輪上表面接觸時(shí)，上超越行程與切削行程的過(guò)渡階段開(kāi)始。在該過(guò)渡階段，滑塊的實(shí)際位置沒(méi)有改變，滑塊的理論位置逐漸增大。當(dāng)滑塊的理論行程大于實(shí)際行程并且兩者之間的距離達(dá)到最大值時(shí)，該過(guò)渡階段結(jié)束，進(jìn)入切削行程。

在切削行程末端，當(dāng)切削阻力等于重力作用時(shí)，切削行程與下超越行程的過(guò)渡階段開(kāi)始?；瑝K的理論行程隨著曲柄轉(zhuǎn)角的增大而增大，但是由于重力作用大于切削阻力的作用，因此，滑塊實(shí)際行程的增長(zhǎng)速度要大于理論行程的增長(zhǎng)速度。當(dāng)滑塊的實(shí)際行程大于理論行程并且兩者之差達(dá)到最大值時(shí)，該過(guò)渡階段結(jié)束，進(jìn)入切削下超越行程的剩余部分。

在兩個(gè)過(guò)渡階段，運(yùn)動(dòng)副間隙的影響等價(jià)于實(shí)際初始角度不等于理論初始角度以及實(shí)際連桿長(zhǎng)度不等于理論連桿長(zhǎng)度這兩種因素共同作用造成的影響。在第二個(gè)過(guò)渡階段，還受到實(shí)際切削阻力大小的影響。這兩個(gè)過(guò)渡階段很難找到簡(jiǎn)單可靠的規(guī)律來(lái)描述其影響，這里只給出定性的描述。

根據(jù)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)：跡線(xiàn)長(zhǎng)度與齒寬成正比但不包括齒端倒角或修緣在內(nèi)的長(zhǎng)度；螺旋線(xiàn)計(jì)值范圍是指在輪齒兩端處各減去5%的齒寬或一個(gè)模數(shù)的長(zhǎng)度兩者中較小的一個(gè)后的跡線(xiàn)長(zhǎng)度。因此，可以認(rèn)為這兩個(gè)過(guò)渡階段在螺旋線(xiàn)計(jì)值范圍之外。在螺旋線(xiàn)計(jì)值范圍之內(nèi)，運(yùn)動(dòng)副間隙對(duì)主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)的影響等價(jià)于實(shí)際連桿長(zhǎng)度減小帶來(lái)的影響。

結(jié)合之前的分析：若實(shí)際連桿長(zhǎng)度大于理論連桿長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)副間隙將使螺旋線(xiàn)計(jì)值范圍之內(nèi)的主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)偏差減??；若實(shí)際連桿長(zhǎng)度小于理論連桿長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)副間隙將使螺旋線(xiàn)計(jì)值范圍之內(nèi)的主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)偏差的絕對(duì)值增大。確定理論連桿長(zhǎng)度時(shí)，應(yīng)該取多次測(cè)量得到連桿長(zhǎng)度測(cè)量值的最小值，或者取連桿長(zhǎng)度測(cè)量值的最大值與運(yùn)動(dòng)副間隙測(cè)量值的最大值的差。

4 結(jié)論

(1)通過(guò)對(duì)插削斜齒輪時(shí)各軸的運(yùn)動(dòng)關(guān)系分析，明確了加工斜內(nèi)齒輪所需的附加轉(zhuǎn)動(dòng)是可以通過(guò)插齒刀來(lái)完成的，并且建立了電子螺旋導(dǎo)軌附加轉(zhuǎn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型，該模型表明刀具的附加轉(zhuǎn)動(dòng)與刀軸的主運(yùn)動(dòng)之間是存在耦合關(guān)系的。

(2)依據(jù)螺旋線(xiàn)偏差的定義，建立了附加轉(zhuǎn)動(dòng)偏差與螺旋線(xiàn)偏差的數(shù)學(xué)關(guān)系式；根據(jù)刀具附加轉(zhuǎn)動(dòng)與刀軸主運(yùn)動(dòng)位移之間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，建立了主運(yùn)動(dòng)偏差與螺旋線(xiàn)偏差之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式，由該式可知，螺旋線(xiàn)偏差是由主運(yùn)動(dòng)偏差引起的。

(3)根據(jù)主運(yùn)動(dòng)偏差與螺旋線(xiàn)偏差之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式，將螺旋線(xiàn)偏差分析等效成主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)偏差分析。由分析可知，設(shè)計(jì)主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)只能逼近理論主運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)，因此螺旋線(xiàn)偏差不可避免；另外，桿件長(zhǎng)度、曲柄初始位置以及運(yùn)動(dòng)副間隙對(duì)螺旋線(xiàn)偏差都有影響。

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(編輯 王艷麗)

Theoretical Analyses on Errors of Electronic Helical Guides Influenced by Multi-factors

Wu Zhenyu1Zhao Daxing1Zhong Ruiling2

1.Hubei University of Technology,Wuhan,4300682.Yichang Changji Machine Technology Co.,Ltd.,Yichang，Hubei,443003

For improving the internal helical gear machining precision of electronic helical guides, this paper analysed the principles about how to cause the errors of spiral line of internal helical gears according to kinematics of the driving chains in a gear shaping machine. Firstly, a mathematical model of additional rotation of the tool was established according to the kinematic relationship of several axles, and an additional rotation coefficient was defined. Then, the mathematical relationships among the errors of spiral line and the errors of additional rotation and main motion were established respectively, and a coefficient Zebra was defined. At last, the mechanism causing the errors of spiral line was analyzed, and the influences of the length of rods and the position of crank and the gap of motion joints on the error of spiral line were concluded.

gear shaping machine; electronic helical guide; additional rotation; slider crank mechanism

2016-05-26

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51075130)；湖北省重大科技專(zhuān)項(xiàng)(2014AAA013，2016AAA068)；高層次人才科研啟動(dòng)金資助項(xiàng)目(BSQD385)

TH161

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.24.007

吳震宇，男，1982年生。湖北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院副教授。主要研究方向?yàn)橹悄芸刂婆c數(shù)控技術(shù)。趙大興，男，1962年生。湖北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。鐘瑞齡，男，1968年生。宜昌長(zhǎng)機(jī)科技有限責(zé)任公司高級(jí)工程師。