韓寶華

現(xiàn)實(shí)生活中，很多時(shí)候無(wú)法用普查來(lái)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù).這時(shí)，我們常常請(qǐng)概率這個(gè)好朋友來(lái)幫我們做估計(jì)，幫助我們進(jìn)行決策.

例1 在一個(gè)不透明的布袋中，紅球、黑球、白球共有若干個(gè)，除顏色外，形狀、大小、質(zhì)地等完全相同.小新從布袋中隨機(jī)摸出一球，記下顏色后放回布袋中，搖勻后再隨機(jī)摸出一球，記下顏色……如此大量摸球?qū)嶒?yàn)后，小新發(fā)現(xiàn)其中摸出紅球的頻率穩(wěn)定于20%，摸出黑球的頻率穩(wěn)定于50%.對(duì)此實(shí)驗(yàn)，他總結(jié)出下列結(jié)論：①若進(jìn)行大量摸球?qū)嶒?yàn)，摸出白球的頻率應(yīng)穩(wěn)定于30%；②若從布袋中任意摸出一個(gè)球，該球是黑球的概率最大；③若再摸球100次，必有20次摸出的球是紅球.其中說(shuō)法正確的是（ ）.

A.①②③ B.①② C.①③ D.②③

【解析】當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定于一個(gè)值，這時(shí)我們用頻率作為概率的估計(jì)值.

摸出紅球的頻率穩(wěn)定于20%，則摸出紅球的概率是20%，同樣摸出黑球的概率是50%.因?yàn)槊看我鲆粋€(gè)球，這個(gè)球的顏色一定是紅球、黑球或白球中的一個(gè)，所以分別摸出紅球、白球、黑球的概率和為100%，則摸出白球的概率為100%-20%-50%=30%.所以①②正確.只有當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)足夠大時(shí)，方可用頻率來(lái)估計(jì)概率，在有限次的實(shí)驗(yàn)中，不能用頻率進(jìn)行準(zhǔn)確的計(jì)算，只能說(shuō)可能有20次摸出的是紅球，而不是一定有20次，故③錯(cuò)誤.

例2 為估計(jì)魚(yú)塘中魚(yú)的數(shù)量，先從魚(yú)塘中捕撈30條魚(yú)做上標(biāo)記，然后放回魚(yú)塘.經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，待有標(biāo)記的魚(yú)完全混合于魚(yú)群后，再?gòu)闹卸啻尾稉?，并?jì)算得平均每200條魚(yú)中帶有標(biāo)記的魚(yú)有5條.試估計(jì)該魚(yú)塘中魚(yú)的數(shù)量.

【解析】設(shè)該魚(yú)塘中有魚(yú)x條，由多次捕撈，并計(jì)算得平均每200條魚(yú)中帶有標(biāo)記的魚(yú)有5條.可算得帶有標(biāo)記的魚(yú)的頻率為[5200]=[140]，并把它作為捕到帶有標(biāo)記魚(yú)的概率的估計(jì)值，則由P（捕到帶有標(biāo)記的魚(yú)）=[30x]=[140]，得x=1200（條）.

例3 如果事件A發(fā)生的概率是[5100]，那么下列推斷，哪幾個(gè)是正確的？

（1）做100次這種試驗(yàn)，事件A必發(fā)生5次；

（2）大量重復(fù)做這種試驗(yàn)，事件A平均每100次發(fā)生5次；

（3）做100次這種試驗(yàn)，事件A不可能發(fā)生6次.

【解析】因?yàn)槭录嗀發(fā)生是隨機(jī)的，所以做100次這種試驗(yàn)，事件A發(fā)生的次數(shù)不一定是5次，0次到100次都有可能.只有在大量重復(fù)地做這種試驗(yàn)的基礎(chǔ)上，事件A平均每100次發(fā)生5次.所以（1）（3）錯(cuò)誤，只有（2）正確.

例4 某航空公司的保險(xiǎn)合同上有這樣一個(gè)條款：飛機(jī)一旦失事，將向每名乘客賠償人民幣50萬(wàn)元，但保險(xiǎn)公司需向每名乘客收取保險(xiǎn)費(fèi)20元.如果該航空公司航班平均每次約有120名乘客，那么在n次飛行中，平均來(lái)說(shuō)，當(dāng)飛機(jī)失事的概率不超過(guò)多少時(shí)，才能保證保險(xiǎn)公司的收入不小于支出？

【解析】設(shè)飛機(jī)失事的概率為x，在n次飛行中，平均失事nx次，平均賠償120×50×nx萬(wàn)元，n次飛行中共收取保險(xiǎn)費(fèi)120×20n元，因?yàn)橐沟檬杖氩恍∮谥С觯钥闪胁坏仁?20×500000×nx≤120×20n.