江蘇省大豐高級(jí)中學(xué)高三（16）班 王柏銘

把握解題竅門(mén)，攻破數(shù)學(xué)難題

江蘇省大豐高級(jí)中學(xué)高三（16）班 王柏銘

在數(shù)學(xué)解題中，有人歡喜有人愁，有人左思右想，絞盡腦汁，仍百思不得其解；有人轉(zhuǎn)換角度，另辟蹊徑，豁然開(kāi)朗；有人乘勢(shì)而下，順?biāo)浦郏角?。同一道?shù)學(xué)題，有人思路明確，推理清晰，解法精妙獨(dú)到，簡(jiǎn)單易懂；有人卻思維僵化，不知變通，解法呆板單一，繁瑣復(fù)雜。究其根源在于學(xué)生對(duì)解題“竅門(mén)”的把握。因此，在平時(shí)解題學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)過(guò)程中，同學(xué)們要注意把握解題竅門(mén)，攻破數(shù)學(xué)難題。

一、從數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)分析中探求解題竅門(mén)，破解數(shù)學(xué)難題

數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)是數(shù)學(xué)解題的重要基礎(chǔ)。在許多數(shù)學(xué)問(wèn)題中，無(wú)論從題設(shè)條件、所求結(jié)論還是直觀圖象都或多或少地隱含著某種特征。在解題時(shí)，若能善于觀察，用心捕捉這些特征，聯(lián)想到與之相應(yīng)的概念和性質(zhì)，往往可以快速地找到解題的突破口，從而使問(wèn)題迎刃而解。

下面證明這樣的k是唯一存在的。

假設(shè)a1+a27=a2+a26=a3+a25=…=a13+a15=2a14＞0，由單調(diào)奇函數(shù)性質(zhì)可知，

f（a1）+f（a27） ＞0，f（a2）+f（a26） ＞0，f（a3）+f（a25） ＞0，…，f（a13）+f（a15） ＞0，又因?yàn)閒（a14） ＞0，所以f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a27） ＞0，這與題設(shè)條件相沖突。同時(shí)若a14＜0時(shí)，則有f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a27） ＜0，同樣也與題設(shè)條件相沖突。綜上所述，若則有f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a27）=0時(shí)，則當(dāng)且僅當(dāng)k=14時(shí)，f（ak）=0。

【評(píng)注】本題主要考查學(xué)生對(duì)函數(shù)奇偶性、單調(diào)性以及等差數(shù)列性質(zhì)的綜合運(yùn)用能力。在解本題時(shí)，只有把握了函數(shù)奇偶性、單調(diào)性以及等差數(shù)列性質(zhì)這一解題“竅門(mén)”，才能使問(wèn)題得以有效解答。

二、從特殊與一般的轉(zhuǎn)化中發(fā)現(xiàn)解題竅門(mén)，攻克數(shù)學(xué)難題

唯物辯證法告訴我們，事物之間是既有共性又有個(gè)性的關(guān)系。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們對(duì)概念、公式、定理、法則的認(rèn)識(shí)大多是從特殊開(kāi)始，由特殊情形歸納出一般結(jié)論，然后再運(yùn)用一般性結(jié)論解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。在某種條件下，特殊與一般兩種思想可以相互轉(zhuǎn)化，因此，在平時(shí)數(shù)學(xué)解題中，我們要予以重視，善于觀察，靈活運(yùn)用，從而高效解題。

例2 （2014年高考·江蘇卷·第20題）設(shè)數(shù)列｛an｝的前N項(xiàng)和為Sn，若對(duì)任意正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得Sn=am，則稱(chēng)數(shù)列｛an｝是“H數(shù)列”。設(shè)數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列，其首項(xiàng)a1=1，公差d＜0，若數(shù)列｛an｝是“H數(shù)列”，求d的值。

【分析】本題有兩種解題思路：其一是借助特殊化思想由特殊情形得出結(jié)論后再去驗(yàn)證一般情形成立；其二是從公差d＜0出發(fā)，由Sn=am得出一般結(jié)論成立再去驗(yàn)證特殊情形也成立。

【解法2】由“H數(shù)列”的定義，Sn=ak，得1+（1+d）=1+（m-1）d，即（m-2）d=1。因?yàn)閐＜0，m為正整數(shù)，所以上式只有在m=1時(shí)才能成立，此時(shí)d=-1。

【評(píng)注】本題旨在考查學(xué)生對(duì)數(shù)列知識(shí)的掌握情況以及靈活運(yùn)用特殊與一般轉(zhuǎn)化思想解決問(wèn)題的能力。在解本題過(guò)程中，學(xué)生若能從特殊與一般的轉(zhuǎn)化中發(fā)現(xiàn)解題竅門(mén)，往往可以使問(wèn)題得以快速、有效、準(zhǔn)確地解答出來(lái)。

三、從求解和求證的目標(biāo)推理中明晰解題竅門(mén)，攻破數(shù)學(xué)難題

在數(shù)學(xué)解題中，許多學(xué)生習(xí)慣于從已知條件或原因中推理出所求結(jié)論，而不習(xí)慣于從所求結(jié)論中一步步推理出原始條件或原因。實(shí)際上，對(duì)于某些數(shù)學(xué)問(wèn)題，若能突破思維定式，反其道而思之或行之，從所求解或證明的結(jié)論目標(biāo)入手，進(jìn)行推理、猜想、分析，往往會(huì)收到意想不到的效果。

例3 定義在R上的單調(diào)函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（3）=log23定義，且對(duì)任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）。

（1）求證：f（x）為奇函數(shù)；

（2）若f（k·3x）+f（3x-9x-2）＜0對(duì)任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

【分析】要想證明f（x）為奇函數(shù)，需證明對(duì)任意的x都有f（-x）=-f（x）成立。在式子f（x+y）=f（x）+f（y）中，令y=-x，可得f（0）=f（x）+f（-x）。此時(shí)又出現(xiàn)一個(gè)新的問(wèn)題——求f（0）的值。令x=y=0，可得f（0）=0，從而f（x）為奇函數(shù)得到證明。

（1）f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R）①

令x=y=0，代入式①中，得f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0

令y=-x，代入①中，得f（x-x）=f（x）+f（-x）

又f（0）=0，則有0=f（x）+f（-x），即f（-x）=-f（x）對(duì)于任意x∈R都成立，

故f（x）為奇函數(shù)。

（2）從所求證的目標(biāo)進(jìn)行分析推理，可以得出以下解法：

即u的最小值為2-1，要使對(duì)x∈R， 不等式-1恒成立，

只要使k＜2-1即可。

總之，數(shù)學(xué)解題方法靈活多樣，同學(xué)們要善于觀察，巧抓題目特征，把握解題竅門(mén)，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，從而快速、有效解題。