朱 濤，趙前進(jìn)，侯中麗

(安徽理工大學(xué)，安徽淮南 232001)

一種半數(shù)致死濃度的新算法

朱 濤，趙前進(jìn)*，侯中麗

(安徽理工大學(xué)，安徽淮南 232001)

利用Thiele型連分式插值法，研究并建立簡單的有理函數(shù)量效關(guān)系模型，以氟化鈉水溶液飼養(yǎng)中華蟾蜍蝌蚪的毒性試驗(yàn)數(shù)據(jù)為例，求出濃度-死亡數(shù)的量效關(guān)系表達(dá)式，計(jì)算半數(shù)致死濃度值(median lethal concentration，LC50)并繪制量效曲線。對比其他計(jì)算方法，Thiele型連分式插值法計(jì)算LC50結(jié)果可信度高，且運(yùn)算簡單，逼近效果好。

半數(shù)致死濃度；有理逼近；連分式插值

在藥物研究中，半數(shù)致死濃度(median lethal concentration，LC50)是衡量藥物對實(shí)驗(yàn)動(dòng)物毒力的重要指標(biāo)。LC50是指全部實(shí)驗(yàn)動(dòng)物中半數(shù)死亡時(shí)所需要的藥物劑量，目前對LC50的計(jì)算方法很多，有寇氏法、改良寇氏法、坐標(biāo)值圖解法、概率單位法、線性回歸法等[1-3]。在實(shí)際研究中，常用的藥物濃度與動(dòng)物死亡數(shù)量的量效關(guān)系模型大多是非線性回歸模型。但是,有些非線性回歸模型不能化為線性回歸模型,難以估計(jì)參數(shù)。另外,有些非線性回歸模型過于復(fù)雜,利用它求解LC50困難。為簡便計(jì)算LC50，本研究基于Thiele型連分式插值[4-6]建立簡單的有理函數(shù)量效關(guān)系模型，來簡化半數(shù)致死濃度的計(jì)算。現(xiàn)將研究結(jié)果報(bào)道如下。

1 材料與方法

1.1 材料

依據(jù)文獻(xiàn)[7]，以氟化鈉(NaF)水溶液飼養(yǎng)中華蟾蜍36期蝌蚪的毒性試驗(yàn)數(shù)據(jù)為例，見表1。

1.2 方法

1.2.1 Thiele型連分式插值法 設(shè)點(diǎn)集X={x0,x1,…,xn}?[a,b]，函數(shù)f(x)在[a,b]上有定義。X上的Thiele型連分式插值為：

其中φ[x0,x1,…,xk]為f(x)在x0,x1,…,xk處的k階逆差商，遞推定義如下:

φ[xp]=f(xp),p=0,1,…,n

φ[x0,x1,…,xk]=

表1NaF水溶液飼養(yǎng)中華蟾蜍36期蝌蚪的毒性試驗(yàn)數(shù)據(jù)

Table1ThetoxicitytestdataofBufo gargarizanstadpolesat36thstageexposedindifferentconcentrationsofNaF

NaF濃度/(mg/L)ConcentrationofNaF蝌蚪數(shù)NumberofTadpoles死亡數(shù)Numberofdeath24h48h96h46060000500604445306055557060666600601112126306018212166060720447006029435073060284351760605260608006058606083060606060

用連分式插值作逼近時(shí)，可能會(huì)出現(xiàn)Rn(x)在插值區(qū)間內(nèi)有極點(diǎn)。另外，隨n變大，使得函數(shù)Rn(x)振蕩加劇，同時(shí)使舍入誤差的擴(kuò)散加劇[8]。因此，當(dāng)n較大時(shí)，對試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分組，用算術(shù)平均法壓縮，壓縮后的數(shù)據(jù)中含有原數(shù)據(jù)點(diǎn)的信息。將表1數(shù)據(jù)分成5組，按順次，相鄰的2～3個(gè)數(shù)為一組，得到4或5個(gè)新的插值點(diǎn)(x軸為藥物濃度，y軸為蝌蚪死亡數(shù))，以這樣求得的有理函數(shù)作為量效關(guān)系模型。

1.2.2 數(shù)據(jù)處理方法 使用Maple17.0軟件，運(yùn)行Thiele型連分式插值命令語句，得出量效關(guān)系表達(dá)式，并通過解方程計(jì)算LC50；使用Matlab8.0軟件，根據(jù)量效關(guān)系表達(dá)式，繪制量效關(guān)系曲線圖。

2 結(jié)果

2.1 作用24 h的量效關(guān)系

由表1可見，660mg/L的NaF水溶液致死蝌蚪數(shù)目為7只，但該數(shù)據(jù)與相鄰濃度作用結(jié)果相比，誤差過大，在實(shí)際計(jì)算中應(yīng)舍去。余下數(shù)據(jù)分5組計(jì)算時(shí)，插值區(qū)間出現(xiàn)極點(diǎn)。因此，對作用24h獲得的數(shù)據(jù)，采用平均法壓縮處理后，為避免極點(diǎn)出現(xiàn)，選擇四個(gè)插值點(diǎn)，新的插值點(diǎn)分別為(496.67，3)、(600，11.67)、(715，28.5)、(796.67，56.67)，得到量效關(guān)系表達(dá)式：

當(dāng)y=30時(shí)(試驗(yàn)動(dòng)物總數(shù)為60)，得LC50=721.77 mg/L。

2.2 作用48 h的量效關(guān)系

數(shù)據(jù)采用平均法壓縮處理后，得到新的5個(gè)插值點(diǎn)，分別為(480，2)、(550，5.5)、(630，17.67)、(730，48.67)、(815，60)，得到量效關(guān)系表達(dá)式：

當(dāng)y=30時(shí)，得LC50=673.33mg/L。

2.3 作用96 h的量效關(guān)系

數(shù)據(jù)采用平均法壓縮處理后，得到新的5個(gè)插值點(diǎn)，分別為(480，2)、(550，5.5)、(630，25.67)、(730，53.67)、(815，60)，得到量效關(guān)系表達(dá)式：

當(dāng)y=30時(shí)，得LC50=642.61 mg/L。

2.4 量效曲線圖與LD50

將上述量效關(guān)系表達(dá)式解方程后得出的LD50與其他方法計(jì)算結(jié)果比較(表2)。 繪制量效曲線圖與試驗(yàn)數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖，并標(biāo)注LD50(圖1)。

表2 四種方法計(jì)算半數(shù)致死濃度結(jié)果(mg/L)

Table 2 The results of LC50from the four methods

時(shí)間/hTimeThiele型連分式插值Thiele-typecontinuedfractioninterpolation線性回歸法Linearregression寇氏法Kochi概率單位法ProbitanalysisLC50可信濃度區(qū)間LC50trustedconcentrationrange24h721.77681.39686.22691.39700～76048h673.33653.57656.52663.10660～70096h642.61633.17635.57639.99630～660

3 討論

在醫(yī)學(xué)生物等科研工作中，藥物的量效關(guān)系多為非線性關(guān)系，研究者常通過計(jì)算軟件，依據(jù)數(shù)學(xué)模型的逼近效果，得到擬合量效曲線方程。但此類方程含有復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系，使得求解難度大。而本文提出Thiele型連分式插值法的新算法，在簡化求解LC50方面有以下特點(diǎn)。

3.1 獲得量效曲線表達(dá)式，逼近程度高，計(jì)算LC50可信結(jié)果高

本研究中得出量效關(guān)系表達(dá)式，通過解方程即可求得LC50，計(jì)算結(jié)果均在試驗(yàn)結(jié)果的濃度區(qū)間，可信程度高(表1)；對比李翠萍等研究結(jié)果，其采用的3種計(jì)算方法中，每種方法的計(jì)算結(jié)果并非都在可信濃度范圍內(nèi)(表2)。故本方法計(jì)算LC50，逼近程度高。另外，依據(jù)表達(dá)式繪制的量效曲線圖，反映了量效變化趨勢(圖1)。量效曲線逼近試驗(yàn)數(shù)據(jù)實(shí)際分布的各散點(diǎn)，呈先陡后平形態(tài)，效果較好(圖1B和圖1C)；量效曲線效果稍差，其原因在于該組試驗(yàn)數(shù)據(jù)中個(gè)別有較大的誤差所導(dǎo)致(圖1A)。

3.2 方法簡單，表達(dá)式計(jì)算快捷

計(jì)算LC50的方法中，線性回歸法需要將非線性數(shù)據(jù)進(jìn)行初始轉(zhuǎn)換處理后，才能進(jìn)行運(yùn)算，這樣會(huì)造成數(shù)據(jù)特征的部分丟失，人為造成誤差；寇氏法[9]需要滿足反應(yīng)量呈正態(tài)分布、藥物濃度必須按等比級分布等條件，適用范圍有局限性；概率單位法[10]是通過Probit分析后，利用概率或Probit模型，在95%置信區(qū)間中找到概率為0.5的估計(jì)濃度。而采用本方法得的出表達(dá)式，函數(shù)關(guān)系簡單，利于求解，不會(huì)發(fā)生無法求解的現(xiàn)象。

圖1 (NaF水溶液濃度-死亡數(shù))散點(diǎn)圖與量效曲線圖

因此，通過建立簡單的有理函數(shù)逼近非線性回歸的模型，Thiele型連分式插值法計(jì)算LC50取得了較好的效果，該方法特點(diǎn)突出，優(yōu)勢明顯，值得今后在藥物研究中加以應(yīng)用與推廣。

[1] 顧 兵,張 政,李玉萍,等.半數(shù)致死劑量及其計(jì)算方法概述[J].中國職業(yè)醫(yī)學(xué).2009.36(6):506-511.

[2] 劉曉強(qiáng),劉海俠,梁 拓,等.四種抗菌藥物對鯽魚苗的急性毒性試驗(yàn)[J].動(dòng)物醫(yī)學(xué)進(jìn)展,2010,31(1):49-53

[3] 楊沛沛,王天奇,閆文朝，等.四種中藥對結(jié)腸小袋蟲半數(shù)致死濃度的測定[J].動(dòng)物醫(yī)學(xué)進(jìn)展,2011,32(11):61-64

[4] Lu D W ,Song Z X.Some new continued fraction estimates of the Somos’ quadratic recurrence constant[J].J Number Theory,2015,155(10):36-45.

[5] Lorentzen L.A convergence theorem for random continued fractions[J].J Approximation Theory,2015,197(9):1-8.

[6] Fang L L,Wu M.Random continued fractions:Lévy constant and Chernoff-type estimate[J].J Mathematical Analysis Applications,2015,429(9):513-531.

[7] 李翠萍,吳民耀,王宏元.3種半數(shù)致死濃度計(jì)算方法之比較[J].動(dòng)物醫(yī)學(xué)進(jìn)展,2012,33 (9):89-92.

[8] 周志丹.回歸函數(shù)的有理逼近模型分析與研究[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2004,34(7):113-117.

[9] 趙 斌,葛金芳,朱娟娟,等.小議在MTT法測細(xì)胞增殖抑制率中IC50的計(jì)算方法[J].安徽醫(yī)藥,2007,11(9):834-835.

[10] 趙勁松,于書霞.利用概率單位法估算EC50的研究[J].生態(tài)毒理學(xué)報(bào),2010,5(3):421-425.

A New Algorithm of Median Lethal Concentration

ZHU Tao,ZHAO Qian-jin,HOU Zhong-li

(AnhuiUniversityofScienceandTechnology,Huainan,Anhui,232001,China)

With the application of Thiele-type continued fraction interpolation method, this paper studied and established of a model of a simple dose-effect relationship of rational function with the experimental data of the toxicity ofBufogargarizanstadpoles cultivated in the water solution of sodium fluoride as the case.The experiment was designed to acquire the expression of a dose-effect relationship between concentration and death in an effort to calculate median lethal concentration(LC50) and draw the quantity-effect curve. In comparison with other algorithms,the outcome of LC50with the application of the Thiele-type continued fraction interpolation was characterized as simple calculation and satisfactory approximation effect.

LC50; rational approximation; continued fraction interpolation

2015-10-14

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目((60973050)

朱 濤(1979-)，男，安徽淮南人，講師，碩士，主要從事藥物免疫學(xué)研究。*通訊作者

S859

A

1007-5038(2016)05-0074-03