江蘇省儀征市陳集中學(xué) 陳慶有 張順軍

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課上一次有益嘗試
——準(zhǔn)確把握幾何概型的測度

江蘇省儀征市陳集中學(xué) 陳慶有 張順軍

高中數(shù)學(xué)概率論的幾何概型這一節(jié)內(nèi)容，是新教材中新出現(xiàn)的內(nèi)容，在高考中要求學(xué)生對幾何概型的含義有最基本的認(rèn)識，并能解決相關(guān)的簡單問題。近三年高考中少有出現(xiàn)這部分內(nèi)容，以至學(xué)生及部分教師對這部分內(nèi)容有所忽視，但我卻認(rèn)為解決幾何概型問題的過程是培養(yǎng)學(xué)生綜合素質(zhì)的大好機(jī)會，閱讀能力，轉(zhuǎn)化能力，思辨能力都是必不可少的。

數(shù)學(xué)課堂是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，啟迪數(shù)學(xué)智慧的主陣地、主渠道，學(xué)生數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)、技能的訓(xùn)練、能力的培養(yǎng)乃至數(shù)學(xué)素質(zhì)的全面提高，都要依賴于教師精心設(shè)計，組織與實(shí)施數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，以下是我高三數(shù)學(xué)的一堂復(fù)習(xí)課的講解要點(diǎn)和心得，權(quán)當(dāng)拋磚引玉之效。

一、放飛思維，明確試驗條件，準(zhǔn)確選擇測度

幾何概型是一種特殊的隨機(jī)事件概率模型，是概率問題的幾何形式，是指隨機(jī)事件A的發(fā)生可以恰好視為取得區(qū)域D內(nèi)的某個指定區(qū)域d上的點(diǎn)，這時事件A發(fā)生的概率與d的測度（長度、面積、體積等）成正比，與d的形狀和位置無關(guān)。那么，測度的選擇是解決此類問題的關(guān)鍵。

【課前熱身】

1.兩根相距為8m的木桿上系一根繩子，并在繩子上掛一盞燈，求燈與兩端的距離都大于3m的概率。

2.在10000km2的海域中有40km2的大陸架儲藏著石油，假如在上述海域中任意一點(diǎn)鉆探，求鉆到油層面的概率。

3.用橡皮泥做成一個直徑為6cm的小球，假設(shè)橡皮泥中混入了一個很小的砂粒，求這個砂粒距離球心不小于1cm的概率。

4.在圓心角為90°的扇形AOB中，以圓心O為起點(diǎn)作射線OC，求使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率。

提問：1.以上各個問題以什么為測度？2.幾何概型的特征是什么？3.幾何概型的計算公式是什么？

【評注：這四個簡單的課前熱身，分別選取了長度、面積、體積、角度作為測度，學(xué)生對顯性的幾何概型較容易理解，輕易解決了上述問題，并歸納總結(jié)了幾何概型的特征、與古典概型的區(qū)別以及幾何概型的計算公式。這時，教師要相信自己的學(xué)生，把反思?xì)w納工作留給學(xué)生，讓高三的學(xué)生養(yǎng)成良好的反思習(xí)慣，提高他們自我消化知識的能力?！?/p>

二、放手學(xué)生，緊抓特征，大膽編題、解題

【提升訓(xùn)練方案】已知正方形ABCD與正方形內(nèi)一點(diǎn)P。

步驟一：各小組分組討論，設(shè)計一道幾何概型題目（5分鐘）。步驟二：各小組推薦一名代表上黑板展示成果。步驟三：其他小組解答問題。步驟四：教師進(jìn)行變式訓(xùn)練。

第二小組：在正方形對角線AC上取一點(diǎn)P，求AP＜AB的概率。

變式（1）：過B在正方形內(nèi)部任作一條射線BP，與線段AC交于點(diǎn)P，求AP＜AB的概率。

變式（2）：在正方形內(nèi)部任意取一點(diǎn)P，求使AP＜AB的概率。

第三小組：在正方形內(nèi)取一點(diǎn)P，求使∠APB為銳角的概率。

變式：在正方形內(nèi)取一點(diǎn)P，求使∠APB為鈍角的概率。

第四小組：在正方形內(nèi)取一點(diǎn)P，求使P到正方形各頂點(diǎn)的距離都大于AB的概率。

變式：在正方形內(nèi)一點(diǎn)P，求使P到各邊距離都大于AB的概率。

【評注：學(xué)生在編題的過程中思維活躍，大膽嘗試，緊抓幾何概型的特征，設(shè)計了很好的題目。在解題過程中，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化能力，準(zhǔn)確選擇測度，強(qiáng)化了計算公式。教師在講解過程中適時變題，強(qiáng)化學(xué)生思辨能力?！?/p>

三、收放自然，教師引導(dǎo)，學(xué)生嘗試

【深化拓展】

已知正方形ABCD邊長為2，正方形內(nèi)任意一點(diǎn)的選取是可能的，任選一點(diǎn)P，作PM⊥AB于點(diǎn)M，PN⊥AD于點(diǎn)N，矩形PMAN的面積為S。

（1）請建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)P（x，y），作出滿足S＜1的P點(diǎn)的區(qū)域，并寫出x，y滿足的條件。

（2）S＜1的概率大于0.5嗎？試通過計算說明。

【評注：本題延伸了上題的題干，不僅復(fù)習(xí)幾何概型，還復(fù)習(xí)了建坐標(biāo)系、線性規(guī)劃、定積分等有關(guān)內(nèi)容，但學(xué)生獨(dú)立思考較困難，需要教師適時點(diǎn)撥，作好鋪墊，讓學(xué)生充分開動腦筋，強(qiáng)化了學(xué)生各部分知識聯(lián)系與應(yīng)用?！?/p>

本節(jié)課的設(shè)計，以一個有思維力度的問題，設(shè)計了一個突破難點(diǎn)的方案，強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)本質(zhì)，注意適度形式化，注重提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，以加深學(xué)生對數(shù)學(xué)基本知識、基本方法的理解與把握，也激發(fā)了學(xué)生對數(shù)學(xué)的熱愛之情。放飛思維，放手學(xué)生，讓學(xué)生積極的情感掀起思維的波濤。