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        高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課上一次有益嘗試
        ——準(zhǔn)確把握幾何概型的測度

        2017-01-05 03:32:19江蘇省儀征市陳集中學(xué)陳慶有張順軍
        數(shù)學(xué)大世界 2016年21期
        關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)教師學(xué)生

        江蘇省儀征市陳集中學(xué) 陳慶有 張順軍

        高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課上一次有益嘗試
        ——準(zhǔn)確把握幾何概型的測度

        江蘇省儀征市陳集中學(xué) 陳慶有 張順軍

        高中數(shù)學(xué)概率論的幾何概型這一節(jié)內(nèi)容,是新教材中新出現(xiàn)的內(nèi)容,在高考中要求學(xué)生對幾何概型的含義有最基本的認(rèn)識,并能解決相關(guān)的簡單問題。近三年高考中少有出現(xiàn)這部分內(nèi)容,以至學(xué)生及部分教師對這部分內(nèi)容有所忽視,但我卻認(rèn)為解決幾何概型問題的過程是培養(yǎng)學(xué)生綜合素質(zhì)的大好機(jī)會,閱讀能力,轉(zhuǎn)化能力,思辨能力都是必不可少的。

        數(shù)學(xué)課堂是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識,啟迪數(shù)學(xué)智慧的主陣地、主渠道,學(xué)生數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)、技能的訓(xùn)練、能力的培養(yǎng)乃至數(shù)學(xué)素質(zhì)的全面提高,都要依賴于教師精心設(shè)計,組織與實(shí)施數(shù)學(xué)課堂教學(xué),以下是我高三數(shù)學(xué)的一堂復(fù)習(xí)課的講解要點(diǎn)和心得,權(quán)當(dāng)拋磚引玉之效。

        一、放飛思維,明確試驗條件,準(zhǔn)確選擇測度

        幾何概型是一種特殊的隨機(jī)事件概率模型,是概率問題的幾何形式,是指隨機(jī)事件A的發(fā)生可以恰好視為取得區(qū)域D內(nèi)的某個指定區(qū)域d上的點(diǎn),這時事件A發(fā)生的概率與d的測度(長度、面積、體積等)成正比,與d的形狀和位置無關(guān)。那么,測度的選擇是解決此類問題的關(guān)鍵。

        【課前熱身】

        1.兩根相距為8m的木桿上系一根繩子,并在繩子上掛一盞燈,求燈與兩端的距離都大于3m的概率。

        2.在10000km2的海域中有40km2的大陸架儲藏著石油,假如在上述海域中任意一點(diǎn)鉆探,求鉆到油層面的概率。

        3.用橡皮泥做成一個直徑為6cm的小球,假設(shè)橡皮泥中混入了一個很小的砂粒,求這個砂粒距離球心不小于1cm的概率。

        4.在圓心角為90°的扇形AOB中,以圓心O為起點(diǎn)作射線OC,求使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率。

        提問:1.以上各個問題以什么為測度?2.幾何概型的特征是什么?3.幾何概型的計算公式是什么?

        【評注:這四個簡單的課前熱身,分別選取了長度、面積、體積、角度作為測度,學(xué)生對顯性的幾何概型較容易理解,輕易解決了上述問題,并歸納總結(jié)了幾何概型的特征、與古典概型的區(qū)別以及幾何概型的計算公式。這時,教師要相信自己的學(xué)生,把反思?xì)w納工作留給學(xué)生,讓高三的學(xué)生養(yǎng)成良好的反思習(xí)慣,提高他們自我消化知識的能力?!?/p>

        二、放手學(xué)生,緊抓特征,大膽編題、解題

        【提升訓(xùn)練方案】已知正方形ABCD與正方形內(nèi)一點(diǎn)P。

        步驟一:各小組分組討論,設(shè)計一道幾何概型題目(5分鐘)。步驟二:各小組推薦一名代表上黑板展示成果。步驟三:其他小組解答問題。步驟四:教師進(jìn)行變式訓(xùn)練。

        第二小組:在正方形對角線AC上取一點(diǎn)P,求AP<AB的概率。

        變式(1):過B在正方形內(nèi)部任作一條射線BP,與線段AC交于點(diǎn)P,求AP<AB的概率。

        變式(2):在正方形內(nèi)部任意取一點(diǎn)P,求使AP<AB的概率。

        第三小組:在正方形內(nèi)取一點(diǎn)P,求使∠APB為銳角的概率。

        變式:在正方形內(nèi)取一點(diǎn)P,求使∠APB為鈍角的概率。

        第四小組:在正方形內(nèi)取一點(diǎn)P,求使P到正方形各頂點(diǎn)的距離都大于AB的概率。

        變式:在正方形內(nèi)一點(diǎn)P,求使P到各邊距離都大于AB的概率。

        【評注:學(xué)生在編題的過程中思維活躍,大膽嘗試,緊抓幾何概型的特征,設(shè)計了很好的題目。在解題過程中,培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化能力,準(zhǔn)確選擇測度,強(qiáng)化了計算公式。教師在講解過程中適時變題,強(qiáng)化學(xué)生思辨能力?!?/p>

        三、收放自然,教師引導(dǎo),學(xué)生嘗試

        【深化拓展】

        已知正方形ABCD邊長為2,正方形內(nèi)任意一點(diǎn)的選取是可能的,任選一點(diǎn)P,作PM⊥AB于點(diǎn)M,PN⊥AD于點(diǎn)N,矩形PMAN的面積為S。

        (1)請建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,設(shè)P(x,y),作出滿足S<1的P點(diǎn)的區(qū)域,并寫出x,y滿足的條件。

        (2)S<1的概率大于0.5嗎?試通過計算說明。

        【評注:本題延伸了上題的題干,不僅復(fù)習(xí)幾何概型,還復(fù)習(xí)了建坐標(biāo)系、線性規(guī)劃、定積分等有關(guān)內(nèi)容,但學(xué)生獨(dú)立思考較困難,需要教師適時點(diǎn)撥,作好鋪墊,讓學(xué)生充分開動腦筋,強(qiáng)化了學(xué)生各部分知識聯(lián)系與應(yīng)用?!?/p>

        本節(jié)課的設(shè)計,以一個有思維力度的問題,設(shè)計了一個突破難點(diǎn)的方案,強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)本質(zhì),注意適度形式化,注重提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力,以加深學(xué)生對數(shù)學(xué)基本知識、基本方法的理解與把握,也激發(fā)了學(xué)生對數(shù)學(xué)的熱愛之情。放飛思維,放手學(xué)生,讓學(xué)生積極的情感掀起思維的波濤。

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