浙江省奉化市第二中學(xué) 周 彬

中學(xué)生數(shù)學(xué)直覺思維的開發(fā)策略

浙江省奉化市第二中學(xué) 周 彬

伊恩·斯圖加特說：“直覺是真正的數(shù)學(xué)家賴以生存的東西。”許多重大的發(fā)現(xiàn)都是基于直覺，比如歐幾里得的幾何學(xué)，阿基米德的辨別王冠的方法，還有苯分子的環(huán)狀結(jié)構(gòu)的發(fā)現(xiàn)，都是從直覺開始。

究竟什么是數(shù)學(xué)直覺思維呢？而中學(xué)生的直覺思維又該如何開發(fā)并且培養(yǎng)呢？直覺思維就是具有意識(shí)的人類大腦對(duì)于數(shù)學(xué)對(duì)象、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)以及數(shù)學(xué)規(guī)律具有敏銳的想象并且作出迅速的判斷。這里最主要的兩個(gè)方面是判斷和想象，并且兩者要有機(jī)結(jié)合，而中學(xué)生的思維特點(diǎn)直接影響了判斷和想象的結(jié)果。本文就對(duì)平時(shí)日常教學(xué)中，如何開發(fā)學(xué)生的直覺思維淺析自己的一些思考。

一、重視概念、定義、定理的教學(xué)

在平時(shí)的教學(xué)中，常常出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象：題目剛剛出來時(shí)，老師還沒有詳細(xì)解釋，學(xué)生就懂了、會(huì)了。因?yàn)榻Y(jié)論、結(jié)果或者答案已被直覺判斷出來。這些同學(xué)能夠判斷出來，這和扎實(shí)的基礎(chǔ)是密不可分的，扎實(shí)的基礎(chǔ)是產(chǎn)生直覺的必經(jīng)之路。所以要求我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中必須注重概念和定義的教學(xué)，只有深刻地理解了定義、概念后，學(xué)生的基礎(chǔ)才扎實(shí)，很多題目實(shí)質(zhì)上就可以靠直覺順利判斷。比如：

例1 已知點(diǎn)P是拋物線y2=2x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在y軸上的射影是M，點(diǎn)A的坐標(biāo)是則|PA|+|PM|的最小值是_______。

分析：本題憑直覺判斷肯定和拋物線的焦點(diǎn)有關(guān)系，具體分析拋物線的定義，拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離和到焦點(diǎn)的距離相等。拋物線焦點(diǎn)，準(zhǔn)線,延長(zhǎng)PM交準(zhǔn)線于N，由拋物線定義|PF|=|PN|，

因 為 |PA|+|PM|+|MN|=|PA|+|PN|=|PA|+|PF|≥ |AF|=5，而|MN|=1/2，所 以|PA|+|PM|≥，當(dāng)且僅當(dāng)A，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)取“=”，此時(shí)P位于拋物線上P′,所以|PA|+|PM|的最小值為9/2。本題如果要順利利用直覺，同學(xué)們對(duì)拋物線的定義非常熟練的掌握是前提條件。

二、注重學(xué)生對(duì)某類問題的第一感覺

直覺思維有個(gè)非常典型的特征就是隨機(jī)性，也叫偶然性。就是說在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，數(shù)學(xué)念頭來去十分“短暫”，且數(shù)學(xué)直覺思維受什么啟迪而一觸迸發(fā)令人難以尋覓，所以我們看到題目的第一感覺非常重要。

例2 如圖所示，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)之間的連線表示它們有網(wǎng)線相聯(lián)。連線標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時(shí)間內(nèi)可以通過的最大信息量?，F(xiàn)從結(jié)點(diǎn)A向結(jié)點(diǎn)B傳遞信息，信息可以分開沿不同的路線同時(shí)傳遞。則單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量為（ ）。

（A）26 （B）24 （C）20 （D）19

分析：拿到這個(gè)題目的第一感覺就是這個(gè)題目肯定是利用加法在計(jì)算，進(jìn)一步分析，其實(shí)就是考查分類計(jì)數(shù)的加法原理，對(duì)于此類問題，首先應(yīng)分清是用分步計(jì)數(shù)還是分類計(jì)數(shù)，其次引導(dǎo)學(xué)生直覺地意識(shí)到每條線路中收到的信息量不超過每相鄰結(jié)點(diǎn)間可以通過信息量的最小值，又因?yàn)閱挝粫r(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量是每條線路單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量之和，因而最大信息量為3＋4＋6＋6＝19。

三、讓學(xué)生敢于大膽猜想，養(yǎng)成善于猜想的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣

著名科學(xué)家牛頓說過：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)?！毙抡n改理念提倡創(chuàng)新，要求學(xué)生能收集、選擇、處理數(shù)學(xué)信息，并依據(jù)信息做出合理的推斷和大膽的猜想。合理、科學(xué)的大膽猜想是直覺思維的重要形式，也是科學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要途徑。我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中，要根據(jù)數(shù)學(xué)教材編寫的特點(diǎn)和學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生自主獨(dú)立思考，培養(yǎng)學(xué)生大膽進(jìn)行直覺猜想的習(xí)慣。

分析2：當(dāng)直線PQ的斜率趨向于+∞時(shí)，其中一條（不妨設(shè)PF）的長(zhǎng)度趨向于+∞，而另一條趨向于OF時(shí)，從而可求得答案C。

通過分析直線PQ的斜率趨向于無窮大的時(shí)候，有效地激發(fā)學(xué)生的想象空間，提高學(xué)生的思維能力。而我們應(yīng)用“極限”思想去猜測(cè)，不需要計(jì)算，答案就能“秒殺”了。

例4 證明恒等式：

證法二：將x=a，x=b，x=c代入上式，都能使等式成立，又因?yàn)樵綖殛P(guān)于x的一元二次方程，

所以最多只有兩個(gè)根，

因?yàn)榇朔匠逃腥齻€(gè)根，

所以原式為恒等式。

分析：比較這兩種解題的方法，證法一證明過程比較繁瑣，但是屬于通解法。證法二的思路源于直覺。等式左邊的特點(diǎn)引起了學(xué)生的注意，通過觀察發(fā)現(xiàn)將x=a，x=b，x=c代入后都能使等式成立。通過大膽的猜想，得到這個(gè)方程有三個(gè)根，稍加驗(yàn)證馬上發(fā)現(xiàn)此方程，最多有2個(gè)根，所以此方程為恒等式，此解法不能不說是巧妙，但是它是建立在大膽猜想的基礎(chǔ)上的。

四、滲透數(shù)學(xué)的哲學(xué)思想，找到數(shù)學(xué)的美

直覺的產(chǎn)生是來源于對(duì)研究對(duì)象整體的認(rèn)知，而哲學(xué)思想有利于把握事物的本質(zhì)。這些哲學(xué)思想包含了數(shù)學(xué)中經(jīng)常體現(xiàn)的相互轉(zhuǎn)化思想、運(yùn)動(dòng)變化思想、對(duì)立統(tǒng)一思想等。

例5 計(jì)算：

分析：此題通用解法是依據(jù)等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行求解，但是發(fā)現(xiàn)到算式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：后一個(gè)數(shù)總是前一個(gè)數(shù)的一半，若構(gòu)造圖1來解此題，令人拍案叫絕。

所以對(duì)于很多數(shù)學(xué)知識(shí)和題目，假設(shè)能將它們直觀化、形象化，具體化，不但有利于學(xué)生對(duì)問題的探索和對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解，還能讓學(xué)生感受、認(rèn)知、體驗(yàn)數(shù)學(xué)直覺思維的作用，從而進(jìn)一步訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維能力。

A.60° B.75° C.90° D.120°

五、重視解題教學(xué)

教學(xué)中選擇精選的例題教學(xué)，有利于培養(yǎng)、鍛煉學(xué)生的直覺思維。例如選擇題，由于只需要四選一，不需要解題過程，可以有合理的猜想，更適應(yīng)于直覺思維的發(fā)展。還有開放性問題教學(xué)，由于問題的條件或結(jié)論都不確定，可以從多個(gè)角度提出猜想，并且答案也具有發(fā)散性的特點(diǎn)，更有利于培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維能力。

分析：此題如果用常規(guī)方法試圖直接解決，比較繁瑣。但是如果有數(shù)形直覺，聯(lián)系直角坐標(biāo)系，利用平面兩點(diǎn)之間的距離，解決起來就非常容易。

A.2 B.4 C.5 D.10

分析：通解法：建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，

伊思·斯圖爾特曾經(jīng)說過這樣一句話，“數(shù)學(xué)的全部力量就在于將直覺和嚴(yán)格性巧妙地結(jié)合在一起，受控制的精神和富有靈感的邏輯?！笔芸刂频木窈透挥忻栏械倪壿嬚菙?shù)學(xué)的魅力所在，也是我們數(shù)學(xué)教育者努力的方向。