柳林濤，蘇曉慶，王國成

(1.中國科學院 測量與地球物理研究所，湖北 武漢 430077；2.山東理工大學 建筑工程學院，山東 淄博 255000)

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標準時頻變換探討

柳林濤1，蘇曉慶2，王國成1

(1.中國科學院 測量與地球物理研究所，湖北 武漢 430077；2.山東理工大學 建筑工程學院，山東 淄博 255000)

為了整合Gabor變換、小波變換和S變換，本文給出標準時頻變換(NTFT)的簡單定義和典型表達形式，并介紹了標準窗的概念；指出標準Gabor變換和標準小波變換是NTFT的2類特殊表現(xiàn)形式。NTFT的主要功能是時頻分析、時頻濾波和信號預測，指明這3種功能的數學基礎，其中著重介紹了從信號的NTFT中直接提取(或估計)簡諧或準簡諧項的無為方法；并論述了廣義S變換與NTFT的異同。

時頻變換；無為方法；標準Gabor變換；標準小波變換；時頻分析；時頻濾波

0 引言

在信號分析和處理的發(fā)展歷程中，傅里葉變換具有里程碑的意義：它建立了信號的時域和頻域之間的橋梁，可以分別從時域和頻域分析信號。然而傅里葉變換僅僅滿足平穩(wěn)信號的分析和處理；大多數信號為非平穩(wěn)信號，其參數隨時間不斷變化，單一的時域或頻域分析法不能對其進行有效分析和處理。1932年，物理學家Wigner在量子力學中提出了Wigner分布，開啟了時頻分析理論的建立和應用[1]。目前廣泛應用的時頻分析工具有加窗傅里葉變換、連續(xù)小波變換、Wigner-Ville分布、Hilbert-Huang變換以及原子分解等[1]。這些時頻分析工具以能量守恒為特征，側重于通過能量密度揭示信號的頻率隨時間變化情況，而沒有顧及信號的振幅和相位隨時間的變化情況。文獻[2-3]發(fā)現(xiàn)了2個時頻變換的逆變換定理。其中逆變換Ⅰ將傳統(tǒng)的線性時頻變換(包括Gabor變換、小波變換和S變換等)及其逆變換統(tǒng)一到時頻變換框架中，對于線性時頻變換的系統(tǒng)研究具有重要的理論意義；以逆變換定理Ⅱ為基礎，文獻[2-3]創(chuàng)立了標準時頻變換(normal time-frequency transform，NTFT)理論體系，信號的標準時頻分析結果與信號的量綱一致，能夠兼顧信號的即時振幅、即時頻率和即時相位。 因此可以說NTFT理論為信號的時頻分析提供了標準分析工具。

本文給出NTFT更易于理解的定義，以及NTFT核函數的典型表達形式，列舉了這些表達式在不同領域中的應用；然后指明NTFT具備的時頻分析、時頻濾波和信號預測3種功能的數學基礎；最后分析相對于廣義S變換，NTFT特有的優(yōu)勢。

1 定義

一般地，對于一個復數時間信號f(t)∈C，其線性時頻變換可以表達為

(1)

式中：τ和?分別表示當地時間和當地圓頻率；上劃線“—”表示共軛；Ψ(t,?)稱為核函數；R表示實數域。

線性時頻變換式(1)是一個標準時頻變換，如果其核函數Ψ(t,?)的傅里葉變換

(2)

滿足下面2個條件：

(3)

(4)

其中：||表示取模；i表示虛數；“^”表示傅里葉變換算子。

這里的NTFT定義與此前給出的NTFT定義[1-2]是等價的，但這里的表述更易于理解。

2 典型表達

NTFT核函數的典型表達形式為

Ψ(t,?)=|μ(?)|w(μ(?)t)exp(i?t), μ(?)∈R，

(5)

其滿足：

(6)

(7)

μ(?)是一個實函數，可稱為時頻分辨率調節(jié)器(time-frequency resolution adaptor，TFRA)，其不同的表達可以得到不同類型的NTFT。例如，當令μ(?)=sign(?)時，NTFT就是標準Gabor變換；當令μ(?)=?時，NTFT就是標準小波變換，其中基本小波

φ(t)=w(t)exp(it)。

(8)

式中w(t)為標準窗。值得注意的是：如式(8)所展示的基本小波已經不滿足傳統(tǒng)的容許性條件了，但這并不影響標準小波變換存在逆變換。原始基本小波[4]是需要滿足容許條件的。

當μ(?)取其他表達式時，NTFT就是其他類型的時頻變換了。目前人們對于這些其他類型的時頻變換幾乎一無所知。

總之，NTFT有著無數種類型的時頻變換，標準Gabor變換和標準小波變換只是其中的2類經典形式。目前標準Gabor變換在地球自由振蕩的檢測中發(fā)揮了作用[1]，標準小波變換在地球極移的分析[5]和長期預測[1，6]、地球自由振蕩Q值確定[7]、海平面變化分析[8-9]和日長變化分析[10]中發(fā)揮了作用。

最為經典的NTFT核函數表達式為

(9)

式中所采用的標準窗是一個標準Gauss窗，即

(10)

式中σ>0表示窗寬參數。

3 應用基礎

NTFT有3種應用：時頻分析、時頻濾波和信號預測。時頻分析就是分析一個信號的時變和諧信息(振幅、頻率和相位)。時頻濾波就是根據一個信號的時頻分析結果將人們感興趣的那部分信息提取出來。信號預測就是根據一個信號的時頻分析結果預測該信號的和諧及準和諧部分的未來發(fā)展。

3.1 時頻分析的基礎

簡諧函數

(11)

(12)

式(12)是線性時頻變換用于時頻分析的理論基石，說明了當一個線性時頻變換作用于一個簡諧函數時將發(fā)生什么。那么發(fā)生了什么呢？一個簡諧函數的線性時頻變換就是對這個簡諧函數進行了加權處理，同時這個簡諧函數的時間參數由t變成τ，也就是說這個簡諧函數被即時化了(即當地化了)。

如果式(12)中的線性時頻變換Ψ是一個NTFT，則有：

2)Ψh(τ,β)=h(τ), ?τ∈R。

(14)

式中：“?”表示“當且僅當”；‘max’表示“最大值”；“?”表示“對于任意”。

一個有趣的事情是：關系式(13)和(14)都與時頻分辨率調節(jié)器μ(?)無關;換言之，無論μ(?)如何被表達，關系式(13)和(14)都成立。這說明NTFT是很自由的，這種自由性為自適應NTFT的構建提供了寬廣的空間。

關系式(13)表明NTFT具有確定簡諧信號頻率和保持簡諧信號即時(即當地)振幅的能力，也說明NTFT是一個量綱守恒(而非能量守恒)變換；關系式(14)表明NTFT具有保持簡諧信號即時(即當地)相位的能力。關系式(14)其實表明：一個簡諧函數的NTFT在簡諧頻率處正是這個簡諧信號本身，只不過這個簡諧信號被當地化了?？傊?，關系式(13)和(14)解釋了NTFT最為深刻的本質，也是我們提出NTFT這一概念的理論基礎和實際原因。

值得注意的是：NTFT的振幅譜和相位譜是有單位的，即f(t)的NTFT的單位與f(t)的單位是一致的。這是NTFT一個非常重要的特征。

如果h(t)是一個簡諧或準簡諧信號，它包含在時間信號f(t)中，那么，根據關系式(13)和(14)，可以從f(t)的NTFTΨf(τ,?)中直接將h(t)提取出來。這樣，在不用逆變換的情況下，可以對信號中的簡諧或準簡諧信號進行直接提取(或估計)。這種利用信號的NTFT直接提取(或估計)信號中的簡諧或準簡諧信號的方法稱為無為方法;因為該方法省略了逆變換，也省略了其他濾波手段。無為方法這是NTFT的一個非常有效的應用。無為方法應用時應注意在保證頻率分辯率的情況下，選擇較小的窗口寬度參數，這樣是為了充分反映準簡諧信號的時變振幅。對于實數信號時，無為方法可以提取該信號的調和(余弦)或準調和項。無為方法在多項地學研究中獲得應用[5，8-10]。文獻[4,7]在對地球自由振蕩的檢測中所用到的方法也受到無為方法的啟發(fā)。

3.2 時頻濾波的基礎

NTFT的逆變換是時頻濾波的基礎。對于f(t)的NTFT Ψf(τ,?)，其逆變換為

(15)

式(15)這個逆變換公式只是文獻[2]給出的反卷積定理的一個推論。另一個有趣的事情是：逆變換式(15)與時頻分辨率調節(jié)器μ(?)無關;換言之，無論μ(?)如何被表達，逆變換式(15)都成立。這也說明NTFT是很自由的。

該逆變換公式是τ-?平面上的2重積分，也就是時頻平面上的2重積分。如果我們對時頻平面上的的某一區(qū)域S內的信息感興趣，那么，式(15)可以改寫為

(16)

其中fS(t)就是時頻濾波結果。此公式就是時頻濾波的基本公式，其中時頻區(qū)域S可以根據需要裁剪。

NTFT用于時頻分析及濾波的模擬算例可以參見文獻[11]。

3.3 信號預測的基礎

NTFT可以用于對時間信號中調和及準調和信息的預測。假設信號f(t)是由N個簡諧或準簡諧信號構成，且在t=τ時刻之前是已知的；那么只要通過時頻分析能夠得到各個簡諧或準簡諧信號在τ時刻的值h1(τ),h2(τ),…,hN(τ)和在τ時刻的即時頻率?1，?2，…，?n，就能夠對f(t)在t=τ時刻之后的值進行預測，即

(17)

式中M>0表示時刻后的時間長度。

利用NTFT預測長期極移的實例可以參見參考文獻[4]。

4 NTFT與廣義S變換

廣義S變換是一類時頻變換，它是非卷積的線性時頻變換[12-13]。廣義S變換的本質特征在于其逆變換很簡單，這說明廣義S變換在時頻濾波中有優(yōu)勢。NTFT具有保當地相位和當地振幅的能力，這說明NTFT在時頻分析上有優(yōu)勢。

實質上，對廣義S變換作些調整(即引入標準窗的概念)可以得到標準S變換。對于一個標準S變換，總有一個NTFT與之相對應，即

Ψf(τ,?)=exp(iτ?)Sf(τ,?)。

(18)

式中S表示標準S變換。此關系式說明NTFT和標準S變換存在相位上的差異，這也是NTFT和廣義S變換最為本質的差異之一；但是此關系式也說明NTFT和標準S變換在振幅譜上等價。

5 仿真信號分析與提取

準調和信號和Chirplet信號是自然界最為常見的2類信號，為了準確分析其特征通常需要利用帶通濾波器提取其中想要的部分。本文構造由準調和項、Chirplet項以及高斯白噪聲組成的仿真信號(見圖1)，然后用NTFT對其進行分析和提取。

(19)

式中：圖1為仿真信號ε是均值為0；方差為0.1的白噪聲。

圖1 仿真信號

圖2為時頻相位譜，其能夠清晰反映實數信號中子信號的相位起伏隨時間變化的情況。

圖2 仿真信號的時頻相位譜

圖3清晰展現(xiàn)了信號中子信號周期和振幅隨時間變化情況。按照式(16)，從圖3中所畫2個白圈中分別進行提取重構可以分別得到重構的2個子信號(見圖4)。

圖3 仿真信號的時頻振幅譜

圖4 仿真信號與重構信號的比較

圖中：圖4(a)為NTFT逆變換重構得到的準調和項和仿真準調和項，圖4(b)中為NTFT逆變換重構的Chirplet項和仿真的Chirplet項。

從圖2至圖4中可以看出，NTFT能夠很好地分析、提取信號中的子信號。應當注意的是S變換并不能提供如圖2所示的時頻相位譜。

6 結束語

本文給出易于理解的NTFT定義，并給出NTFT的典型表達形式，其中標準窗的概念起著核心作用；說明標準Gabor變換和標準小波變換是NTFT的2類特殊表現(xiàn)形式；總結出NTFT具有的3種功能即時頻分析、時頻濾波和信號預測，并指明這3種功能的數學基礎；最后論述表明廣義S變換經標準化后與NTFT只存在相位上的差異。

總之，NTFT是熔Gabor變換、小波變換、S變換于一爐的產物，是線性時頻變換的精髓。

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Discussion on normal time-frequency transform

LIU Lintao1，SU Xiaoqing2，WANG Guocheng1

(1.State Key Laboratory of Geodesy and Earth's Dynamics，Institute of Geodesy and Geophysics，Chinese Academy of Sciences，CAS，Wuhan，Hubei 430077，China；2.School of Civil and Architectural Engineering，Shandong University of Technology，Zibo，Shandong 255000，China)

In order to integrate Gabor transform，wavelet transform and S transform，this paper gave a simple definition of normal time-frequency transform (NTFT) and showed a classical expression of the NTFT，in which the concept of normal window was introduced.It was indicated that normal Gabor transform and normal wavelet transform are two special forms of the NTFT.Three kinds of NTFT applications：time-frequency analysis，time-frequency filtering and signal prediction were showed with their mathematical bases.Particularly，a method，named as “Inaction”，to estimate or extract the harmonic or quasi-harmonic terms directly from the NTFT of a signal was introduced.Moreover，the difference between generalized S-transform and NTFT was discussed.

time-frequency transform；Inaction method；normal Gabor transform；normal wavelet transform；time-frequency analysis；time-frequency filtering

2016-01-22

國家自然科學基金項目(41074050)。

柳林濤(1967—)，男，湖北武漢人，博士，研究員，研究方向為數據處理。

柳林濤，蘇曉慶，王國成.標準時頻變換探討[J].導航定位學報，2016，4(4)：1-4,23.(LIU Lintao，SU Xiaoqing，WANG Guocheng.Discussion on normal time-frequency transform[J].Journal of Navigation and Positioning，2016，4(4)：1-4,23.)

10.16547/j.cnki.10-1096.20160401.

P228

A

2095-4999(2016)04-0001-05