董祥南

(江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,江西 南昌 330022)

關(guān)于完全平方數(shù)的一個性質(zhì)

董祥南

(江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,江西 南昌 330022)

運用不定方程的理論討論了完全平方數(shù)的一個基本性質(zhì),得到了關(guān)于完全平方數(shù)的幾個重要定理.

不定方程;完全平方數(shù)問題;同余;Legendre符號

1 引言與問題的提出

在自然數(shù)中,1,4,9,···,n2···是一類很重要的整數(shù),稱為完全平方數(shù),古代人從幾何圖形的角度稱其為正方形數(shù)-形數(shù)的一種[1-4],對這類整數(shù)從古代至今已有許多的研究,所得的結(jié)論常被用于數(shù)列,不定方程和密碼信息學(xué)的算法分析等問題,例如十八世紀(jì)法國的Lagrange就建立了關(guān)于完全平方數(shù)的一條重要的著名定理[1]：每一個正整數(shù)都能表示成至多四個整數(shù)的平方和.它用不定方程的術(shù)語可以敘述為,對于任意的n∈N,不定方程

都存在整數(shù)解組.本文對完全平方數(shù)作了一些簡單而基本的討論,得到了一些這類數(shù)的基本性質(zhì).具體來講,研究了如下的問題1：

問題1[5]設(shè)n≥2是正整數(shù),n個連續(xù)的整數(shù)的平方和是完全平方數(shù)嗎?

2 初步的討論

注 2.1首先考慮n≥3是奇素數(shù)p的情況,此時的問題1是討論如下不定方程,

是否存在整數(shù)解組(x,y).利用公式

上面的不定方程可以化為

從而歸結(jié)為不定方程,令y=pz,

定理2.1設(shè)p＞2是素數(shù),p=12n+1,則從而有,

定理2.2設(shè)p＞2是素數(shù),p=12n+5,n是偶數(shù),則

推論2.1設(shè)p≡5(mod 24)是素數(shù),則p個連續(xù)整數(shù)的平方和不可能是完全平方數(shù).

注 2.2由推論2.1,當(dāng)p=5,29,53,101,149,173,197,293,317,389,461,509,557,653,···時,p個連續(xù)整數(shù)的平方和不可能是完全平方數(shù).

定理2.3設(shè)p＞2是素數(shù),p=12n+7,n是奇數(shù),則

推論2.2設(shè)p≡19(mod 24)是素數(shù),則p個連續(xù)整數(shù)的平方和不可能是完全平方數(shù).

證明與推論2.1的證明完全類似,此處略.

注2.3由推論2.2可知,當(dāng)p=19,43,67,139,163,211,283,307,331,379,499,523,547,571,619,···時,p個連續(xù)整數(shù)的平方和不可能是完全平方數(shù).

和上面一樣討論,我們也可以得到下列結(jié)論：

定理2.4設(shè)p＞2是素數(shù),

推論2.3設(shè)p＞2是素數(shù),p≡41(mod 48)或p≡17(mod 192),則p個連續(xù)整數(shù)的平方和不可能是完全平方數(shù).

注 2.4由推論2.3,當(dāng)p=41,89,137,233,281,521,569,617,···或p=17,401,593,···時,p個連續(xù)整數(shù)的平方和不可能是完全平方數(shù).

定理2.5設(shè)p＞2是素數(shù),p≡7(mod 48),則

推論2.4設(shè)p＞2是素數(shù),p≡7(mod 48),則p個連續(xù)整數(shù)的平方和不可能是完全平方數(shù).

注 2.5由推論2.4,當(dāng)p=7,103,151,199,439,487,631,···時,p個連續(xù)整數(shù)的平方和不可能是完全平方數(shù).

注 2.6由上面的討論我們可以看出,對許多的奇素數(shù)p＞2,p個連續(xù)整數(shù)的平方和不可能是完全平方數(shù),似乎有理由提出如下的猜測：設(shè)p是任意奇素數(shù),則p個連續(xù)整數(shù)的平方和不可能是完全平方數(shù).遺憾的是,這個猜測是不正確的,我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了如下的一些反例,

另一方面,用模3分類的方法可以證明3個連續(xù)整數(shù)的平方和不可能是完全平方數(shù)(比前面的方法更簡單),也同樣可以證明p=13,31,79,107,113,127,223,257,271,311,353,367,463時,p個連續(xù)整數(shù)的平方和不可能是完全平方數(shù),但是因p=3,13,31,79,107,113,127,223,257,271,311,353,367,463這幾個素數(shù)卻不在上面幾個定理中討論的素數(shù)p的范圍內(nèi),因此,除了推論2.1,推論2.2,推論2.3以及推論2.4中的那些素數(shù)外,在剩余的素數(shù)中,還有哪些素數(shù)p,使得p個連續(xù)整數(shù)的平方和不可能是完全平方數(shù)?更具體地來講,在300以內(nèi)的素數(shù)中,在p= 23,37,47,59,61,71,73,83,97,109,131,157,167,179,181,191,193,227,229,239,241,251,263,277這24個素數(shù)中,哪幾個素數(shù)p使得p個連續(xù)整數(shù)的平方和不可能是完全平方數(shù)?這是一個有意義的值得進(jìn)一步研究討論的問題.

3 進(jìn)一步的討論

下面考慮問題1中n不是素數(shù)p的情形.

定理3.1設(shè)p≡5(mod 24)是素數(shù),則p3個連續(xù)整數(shù)的平方和不可能是完全平方數(shù).

定理3.2設(shè)p≡19(mod 24)是素數(shù),則p3個連續(xù)整數(shù)的平方和不可能是完全平方數(shù).

注3.1由定理3.1可知,當(dāng)p=5,29,53,101,149,173,197,269,293,317,389,461,509,557,653,···時,p3個連續(xù)整數(shù)的平方和不可能是完全平方數(shù).

注3.2由定理3.2可知,當(dāng)p=19,43,67,139,163,211,283,307,331,379,499,523,547,571,619,···時,p3個連續(xù)整數(shù)的平方和不可能是完全平方數(shù).

完全類似地,可以證明：

定理3.3設(shè)p≡7(mod 48)是素數(shù),則p3個連續(xù)整數(shù)的平方和不可能是完全平方數(shù).

定理3.4設(shè)p≡41(mod 48)是素數(shù),則p3個連續(xù)整數(shù)的平方和不可能是完全平方數(shù).

注 3.3由定理3.3可知,當(dāng)p=7,103,151,199,487,631,···時,p3個連續(xù)整數(shù)的平方和不可能是完全平方數(shù).

注 3.4由定理3.4可知,當(dāng)p=41,89,137,233,281,521,569,617,···時,p3個連續(xù)整數(shù)的平方和不可能是完全平方數(shù).

定理3.5設(shè)p≡17(mod 192)是素數(shù),則p3個連續(xù)整數(shù)的平方和不可能是完全平方數(shù).

注 3.5由定理3.5可知,當(dāng)p=17,401,593,···時,p3個連續(xù)整數(shù)的平方和不可能是完全平方數(shù).

再次,設(shè)p和q是兩個不相等的奇素數(shù),令

則

是2t+1個連續(xù)的整數(shù),如果其平方和是完全平方數(shù),則和前面一樣處理可以導(dǎo)出不定方程,

直接計算可得,

定理3.6設(shè)p是奇素數(shù),p滿足下列條件之一,

q是不等于p的奇素數(shù),則pq個連續(xù)整數(shù)的平方和不可能是完全平方數(shù).

定理3.7設(shè)定理3.6中p,q位置互換,則定理結(jié)論任然成立.

注 3.6設(shè)p≡5(mod 24)是奇素數(shù),即p=24n+5,則令

則有

這連續(xù)的2t+1=p2個整數(shù)的平方和是整數(shù)y的平方,即有

這說明當(dāng)p≡5(mod 24)時,p2個連續(xù)整數(shù)的平方和可以是某個整數(shù)的平方.

參考文獻(xiàn)

[1]閔嗣鶴,嚴(yán)士鍵.初等數(shù)論[M].2版.北京：高等教育出版社,1982.

[2]Silverman J H.數(shù)論概貌[M].3版.北京：機(jī)械工業(yè)出版社,2008.

[3]柯召,孫琦.數(shù)論講義：上冊[M].北京：高等教育出版社,2001.

[4]Rosen K H.初等數(shù)論及其應(yīng)用[M].5版.夏鴻剛,譯.北京：機(jī)械工業(yè)出版社,2009.

[5]董祥南.關(guān)于模橢圓曲線上的格點計算[J].江西科學(xué),2014,32(2)：202-266.

[6]南開大學(xué)數(shù)學(xué)系.世界數(shù)學(xué)奧林匹克解題大辭典[M].石家莊：河北少年兒童出版社,2012.

[7]Chen J H,Paul V.Complete solution of the Diophantine equation X2+1=dY4and a related family of quartic Tude equations[J].J.Number Theory,1997,62(1)：71-99.

[8]Walsh G.A note on a theorems of Ljunggren and the Diophantine equations x2-kxy2+y4=1[J].Arch.Math.,1999,73(2)：119-125.

On some properties of perfect square numbers

Dong Xiangnan
(Mathematics and Information Science College of Jiangxi Normal University,Nanchang 330022,China)

In this paper some basic properties of perfect square numbers was discussed by the theory of indeterminate equations,and we obtained several important theorem about the perfect square numbers.

perfect square numbers,indeterminate equation problems,congruence Legendre symbol

O156.4

A

1008-5513(2016)06-0574-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.06.003

2016-07-29.

江西省自然科學(xué)基金(JXNF20140405A01).

董祥南(1968-),碩士,副教授,研究方向：初等數(shù)論及其應(yīng)用.

2010 MSC:11B68