金雪峰，姜一達(dá)，田凱，厲成元，高盛

（天津電氣科學(xué)研究院有限公司，天津 300301）

有源前端整流器小信號模型穩(wěn)定性研究

金雪峰，姜一達(dá)，田凱，厲成元，高盛

（天津電氣科學(xué)研究院有限公司，天津 300301）

用小信號建模方法研究了有源前端整流器系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。推導(dǎo)了有源前端整流器系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，模型包括功率電路、電壓電流閉環(huán)控制和鎖相環(huán)等3部分。對得出的數(shù)學(xué)模型在平衡點處做線性化處理，建立系統(tǒng)小信號等效模型，通過數(shù)值計算方法研究了不同濾波電抗器參數(shù)對穩(wěn)定輸出功率限值的影響。最后通過三電平有源前端整流器的實際物理系統(tǒng)仿真，對數(shù)值計算結(jié)果做出驗證，結(jié)果表明所述方法對于指定系統(tǒng)的參數(shù)設(shè)計和優(yōu)化具有指導(dǎo)意義。

有源前端整流器；穩(wěn)定性分析；狀態(tài)空間模型

電力電子變換器（power electronics converter，PEC）能夠?qū)崿F(xiàn)交流、直流電能之間的靈活轉(zhuǎn)換，在工業(yè)和民用領(lǐng)域都有極為廣泛的應(yīng)用。但是其應(yīng)用中經(jīng)常出現(xiàn)各種振蕩現(xiàn)象，例如：早期交-直-交變頻驅(qū)動系統(tǒng)的電壓電流振蕩［1］，變頻器供電時同步電機的次同步振蕩現(xiàn)象［2］，變流器負(fù)載引起的交流電網(wǎng)振蕩［3］，矩陣變換器輸入側(cè)的振蕩現(xiàn)象［4-5］等，這些現(xiàn)象被歸結(jié)為不穩(wěn)定問題，引起了人們對PEC穩(wěn)定性研究的關(guān)注［6-8］。

PEC系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是研究其穩(wěn)定性的基礎(chǔ)。由于變流器總是處于開關(guān)工作狀態(tài)，其電路結(jié)構(gòu)不斷變化，直接應(yīng)用傳統(tǒng)的電路建模方法難以進(jìn)行分析設(shè)計。為解決這一問題，在研究PEC低頻特性時，通常采用狀態(tài)平均模型，即忽略PEC系統(tǒng)中的開關(guān)頻率及其邊頻帶、開關(guān)頻率諧波及其邊頻帶，建立起關(guān)于每個開關(guān)周期內(nèi)狀態(tài)變量平均值的數(shù)學(xué)模型［9］。通過在穩(wěn)態(tài)工作點附近對平均值狀態(tài)空間模型做線性化處理可得到PEC系統(tǒng)的小信號等效模型，于是可采用經(jīng)典控制理論中的方法進(jìn)行分析設(shè)計。這一方法已被廣泛應(yīng)用于各種DC/DC變換器的建模分析，以改善其工作性能和系統(tǒng)穩(wěn)定性［10-11］。

對于交流PEC系統(tǒng)，通過適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換可以轉(zhuǎn)換為直流系統(tǒng)，因此狀態(tài)空間方法也可用于交流PEC，文獻(xiàn)［12-15］報道了這一方法在交流PEC穩(wěn)定性分析方面的研究。文獻(xiàn)［12］在同步旋轉(zhuǎn)d-q坐標(biāo)系下研究三相有源前端整流器，最早將文獻(xiàn)［11］提出的等效輸入輸出阻抗方法應(yīng)用于這一交流PEC系統(tǒng)；文獻(xiàn)［13］改進(jìn)了上述方法，采用多變量奈奎斯特圖，而不是通過計算返回比矩陣來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性，這一方法后來被文獻(xiàn)［14］進(jìn)一步完善為采用廣義奈奎斯特判據(jù)進(jìn)行判定；文獻(xiàn)［15］采用狀態(tài)空間方法研究矩陣變換器這一交交PEC的穩(wěn)定性問題，建立了系統(tǒng)狀態(tài)方程數(shù)學(xué)模型，分析了穩(wěn)定功率限值和電源參數(shù)、濾波器參數(shù)的關(guān)系。

有源前端整流器大量用于風(fēng)電、光伏等新能源領(lǐng)域作為并網(wǎng)變流器，以及在4象限運行變頻器中作為前端直流電源，是一種重要的PEC裝置。本文嘗試用狀態(tài)方程方法研究有源前端整流器的穩(wěn)定性問題，和已有的一些研究成果［12-13，16-17］相比，本文在推導(dǎo)狀態(tài)方程模型時考慮了鎖相環(huán)和電壓、電流控制器等環(huán)節(jié)，以期使分析結(jié)果更加準(zhǔn)確。

1 有源前端整流器數(shù)學(xué)模型

1.1 有源前端整流器系統(tǒng)主回路模型

有源前端整流器主電路原理圖如圖1所示。

圖1 有源前端整流器主電路原理圖Fig.1 Schematic diagram of active front end rectifier main circuit

圖1中，eaN,ebN,ecN為三相電網(wǎng)電壓，iga,igb,igc為網(wǎng)側(cè)電流；Lg為電網(wǎng)內(nèi)阻的等效電抗；ifa,ifb,ifc為濾波電容電流，ica,icb,icc為整流器輸出電流，Lfg,Lfc,Cf分別表示網(wǎng)側(cè)濾波電抗、整流器側(cè)濾波電抗和濾波電容；udc為直流輸出電壓，Pi為整流器輸出功率，Cd為直流電容。

用空間矢量表示三相電壓、電流，則圖1對應(yīng)的單線矢量電路如圖2所示。

圖2 有源前端整流器系統(tǒng)矢量電路圖Fig.2 Vector diagram of active front end rectifier circuit

由圖2可列出電壓電流矢量方程如下：

對式（1）～式（3）做旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換，從三相靜止坐標(biāo)系（abc）變換至同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系d-q，其中d軸定向在測量電網(wǎng)電壓矢量ug上，q軸超前于d軸90°，得到d-q坐標(biāo)系下的空間矢量方程為

式中：ωs為矢量ug的旋轉(zhuǎn)角頻率。

需要說明，雖然式（5）～式（7）和式（1）～式（4）中的矢量采用相同符號來標(biāo)識，但它們代表的分別是靜止坐標(biāo)系和旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的矢量。

1.2 有源前端整流器控制策略建模

圖1所示系統(tǒng)通常采用同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的電壓、電流雙閉環(huán)控制，其原理框圖如圖3所示。

圖3 有源前端整流器控制原理圖Fig.3 Control schematic diagram of active front end rectifier

圖3中，鎖相環(huán)根據(jù)濾波器輸入電壓計算出電網(wǎng)電壓相角θs，以θs為變換角度對采樣電流做旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換，可實現(xiàn)電流解耦控制及無功功率靈活調(diào)節(jié)；整流器輸出電壓通過電壓外環(huán)進(jìn)行控制，電壓控制器的輸出為d軸電流給定i*d。電壓、電流控制器均采用PI控制器。

圖3中的各個環(huán)節(jié)可以分別建模如下。

1）電壓環(huán)

式中：kpu,kiu分別為電壓PI調(diào)節(jié)器比例、積分參數(shù)；xud為電壓PI調(diào)節(jié)器的積分部分；上標(biāo)“*”表示給定值。

2）電流環(huán)

為簡化推導(dǎo)，式（10）～式（13）的推導(dǎo)省略了濾波電容Cf支路，相當(dāng)于整流器經(jīng)過濾波電感Lf接入電網(wǎng)?？紤]到Cf的作用是濾除高頻諧波電流，其基波阻抗很大，而PI控制器的作用主要是改善系統(tǒng)基頻性能，因此這一簡化對系統(tǒng)基頻性能影響不大。

3）鎖相環(huán)

式中：ωg為標(biāo)稱電網(wǎng)角頻率。

為提高效率，圖1所示濾波器中不含阻尼電阻，但系統(tǒng)容易振蕩。為此，采用濾波電容電流回饋有源阻尼方法抑制振蕩，即將濾波電容三相電流采樣乘以1個阻尼系數(shù)kd疊加至三相給定電壓［18］。另外，給定電壓和逆變器輸出PWM電壓之間的關(guān)系可用慣性環(huán)節(jié)近似，于是給定電壓整理可得以下方程：

其中，τs為將PWM環(huán)節(jié)等效為一階慣性環(huán)節(jié)后的時間常數(shù)，若控制系統(tǒng)采樣周期為Ts,則τs=Ts。

式（5）～式（17）給出了包括有源前端整流器主電路及控制策略在內(nèi)的數(shù)學(xué)模型，將其整理為非線性狀態(tài)方程組的形式

式中，狀態(tài)變量選為x=[igdigqicdicqucfducfqucducqudcxudxidxiqxp]，f(x)通過整理式（5）～式（17）得到，表達(dá)式如下：

2 小信號穩(wěn)定性分析

2.1 有源前端整流器系統(tǒng)小信號模型

給定eg,udc和Pi,可以求出式（18）對應(yīng)的穩(wěn)態(tài)工作點x(0),系統(tǒng)的小信號模型可以通過對式（18）在x(0)處求偏導(dǎo)獲得

式（32）是對非線性系統(tǒng)式（18）在平衡點處的近似線性處理，根據(jù)線性系統(tǒng)穩(wěn)定性判別方法［19］可知，當(dāng)A陣的特征值實部均為負(fù)時，非線性系統(tǒng)在平衡點處漸近穩(wěn)定，本文后續(xù)分析將基于這一原理。

2.2 小信號穩(wěn)定性分析

影響有源前端整流器系統(tǒng)穩(wěn)定性的因素很多，本文分析主要針對2個方面：一是在參數(shù)一定時，輸出功率Pi對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響；二是濾波器參數(shù)對裝置能夠穩(wěn)定輸出的功率極限的影響。具體方法是：采用數(shù)值計算算出A陣特征值隨Pi的變化曲線，當(dāng)有特征值的實部由負(fù)變0時，對應(yīng)的Pi即為臨界功率值。

數(shù)值計算采用的系統(tǒng)參數(shù)為：Lfc=120 μH,Lfg=20μH,Cf=70μF,Cd=5 000 μF,Lg=2 μH,kpu=6.31,kiu=50.45,kpi=0.30,kii=0.003 9,kpp= 0.34,kip=0.011,Ts=143 μs。

令Pi從100 kW增至200 kW，則igd,igq對應(yīng)的特征值變化軌跡如圖4所示。圖中橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別表示特征值的實部、虛部，箭頭給出了軌跡的變化方向。

圖4Lfc變化時的特征根曲線Fig.4 Characteristic root trajectories with differentLfcvalues

由圖4可以看出，在輸出功率達(dá)到某一限值Pi_lim時，圖中的特征值軌跡穿越虛軸，說明此時非線性系統(tǒng)的平衡點由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定，數(shù)值計算結(jié)果表明此時Pi_lim為166 kW。

需要說明，式（18）所示系統(tǒng)為13階微分方程，A陣有13個特征根，在輸出功率為Pi_lim時igd,igq,icd,icq對應(yīng)特征根的實部均為0，其軌跡形狀類似，為簡單計算圖4僅給出igd和igq2組結(jié)果。

圖5給出了Lfc,Lfg取不同數(shù)值，通過數(shù)值計算得出的Pi_lim值。

從圖5中可以看出，對應(yīng)不同的濾波電感值，數(shù)值計算得到的Pi_lim也不同。值得注意的是，Lfc和Lfg對Pi_lim的影響效果不同，在圖示取值范圍內(nèi)，增大Lfc有利于有源前端整流器系統(tǒng)穩(wěn)定；Lfg和Pi_lim的關(guān)系并不單調(diào)，當(dāng)其取值過大時Pi_lim反而會減小?？紤]到電抗器的體積、重量、價格在有源前端整流器系統(tǒng)中占有較大比重，通常希望電感值盡可能小，圖5結(jié)論對驗證和優(yōu)化有源前端整流器濾波參數(shù)具有實際意義。

圖5 不同濾波電感對應(yīng)的輸出功率限值Fig.5 The curves of ourpult power limit with different induction values

3 仿真驗證

本文的穩(wěn)定性分析是以離散系統(tǒng)平均值模型做小信號近似后的線性系統(tǒng)模型為基礎(chǔ)，該模型經(jīng)過平均和小信號等效2個環(huán)節(jié)的近似處理，可能導(dǎo)致結(jié)果和實際系統(tǒng)的特性存在偏差，本節(jié)將通過實際物理系統(tǒng)仿真進(jìn)行驗證。

仿真模型結(jié)構(gòu)與圖1相同，其中逆變器采用三電平拓?fù)洹ｋ娋W(wǎng)內(nèi)阻、濾波器、控制器等參數(shù)與系統(tǒng)參數(shù)一致，其他參數(shù)為：直流電壓（正、負(fù)組之和）500 V，PWM頻率7 kHz，電網(wǎng)電壓有效值180 V，頻率50 Hz。圖6給出了對圖4結(jié)果的驗證。

圖6 輸出功率變化對電網(wǎng)電壓電流波形Fig.6 The waveforms of the grid voltage and current with different output power

圖6中，仿真在0.2 s時刻之前輸出功率Pi為182 kW，系統(tǒng)保持穩(wěn)定工作；在0.2 s時刻突變?yōu)?85 kW，可以看到雖然Pi僅增加了很小的值，但系統(tǒng)已經(jīng)變得不穩(wěn)定，電流逐漸發(fā)散振蕩。因此可以認(rèn)為，182 kW就是當(dāng)前系統(tǒng)的穩(wěn)定輸出功率限值。和之前圖4的166 kW相比，實際物理系統(tǒng)仿真得到的結(jié)果偏大，其原因除了平均值模型和實際物理系統(tǒng)存在偏差外，再一個可能是系統(tǒng)中的逆變器管壓降及導(dǎo)線電阻等參數(shù)增加了系統(tǒng)的阻尼。將Lfc改為144 μH，用類似的方法再次仿真，結(jié)果與圖6結(jié)果相似，此處不再贅述，僅給出其對應(yīng)的Pi_lim約為200 kW。

雖然圖6等2次實際物理系統(tǒng)仿真結(jié)果與前述數(shù)值計算結(jié)果仍有差距，但相對誤差都不超過15%，可以認(rèn)為數(shù)值計算結(jié)果判斷出了穩(wěn)定輸出功率限值隨參數(shù)變化的趨勢，可以作為定性分析和參數(shù)優(yōu)化的依據(jù)。

4 結(jié)論

本文基于小信號模型研究了有源前端整流器系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，在推導(dǎo)狀態(tài)方程模型時考慮了鎖相環(huán)和電壓、電流控制器等環(huán)節(jié)，使得分析結(jié)果更加準(zhǔn)確。通過對平均值建模得到的狀態(tài)方程模型做小信號線性化處理，采用數(shù)值計算方法可以算出近似線性系統(tǒng)的特征根，然后判斷特征根的實部是否大于0即可分析系統(tǒng)是否穩(wěn)定。通過分析，在三電平有源前端整流器系統(tǒng)中，LCL濾波器的2個濾波電感對系統(tǒng)穩(wěn)定性有不同程度影響：Lfc越大系統(tǒng)能夠穩(wěn)定輸出的功率限值也越大，而Lfg對穩(wěn)定輸出功率限值的影響并不單調(diào)。

相比于“推導(dǎo)系統(tǒng)輸入阻抗表達(dá)式，然后根據(jù)奈奎斯特圖判斷穩(wěn)定性”的方法相比，本文方法具有推導(dǎo)過程直觀，建立模型簡單的優(yōu)點，且隨著符號計算等數(shù)值計算功能的完善，一些繁瑣的公式推導(dǎo)過程都可借助計算機完成，使得上述優(yōu)點更加突出。但是所述方法的缺點也很明顯：一是方法的可移植性和通用性不好，可能系統(tǒng)稍作改動就得重新推導(dǎo)方程；二是不好應(yīng)用穩(wěn)定裕度等指標(biāo)，通常采用穩(wěn)定輸出功率限值的大小來衡量系統(tǒng)穩(wěn)定程度；最后，實際PEC系統(tǒng)都是強非線性系統(tǒng)，本文方法是基于對非線性系統(tǒng)的小信號近似，因此難以做出準(zhǔn)確的定量分析。綜合來看，本文方法對影響穩(wěn)定性的因素考慮較為全面，可用于特定系統(tǒng)的參數(shù)設(shè)計和優(yōu)化，具有一定的實用價值。

［1］Lipo T A，Krause P C.Stability Analysis of a Rectifier-inverter Induction Motor Drive［J］.IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems，1969，PAS-88（1）：55-66．

［2］Harnefors L.Analysis of Subsynchronous Torsional Interaction with Power Electronic Converters［J］.IEEE Transactions on Power Systems，2007，22（1）：305-313.

［3］劉增，劉進(jìn)軍.帶變流器負(fù)載的三相交流電源系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)的研究［J］.中國電機工程學(xué)報，2012，32（25）：143-148．

［4］Casadei D，Serra G，Tani A，et al.Theoretical and Experimental Investigation on the Stability of Matrix Converters［J］.IEEE Transactions on Industrial Electronics，2005，52（5）：1409-1419．

［5］Changliang X，Peng S，Tingna Shi，et al.Chaotic Dynamic Characteristics of Matrix Converter［J］.IEEE Transactions on Industrial Electronics，2013，60（1）：78-87.

［6］馮學(xué)玲.基于三相PWM整流器的交流系統(tǒng)級聯(lián)穩(wěn)定性研究［D］.武漢：華中科技大學(xué)，2012．

［7］Lennart H.Stability Analysis of Converter-grid Interaction Using the Converter Input Admittance［C］//2007 European Conference on Power Electronics and Applications，2007：1-10.

［8］Chi K T，Mario D B.Complex Behavior in Switching Power Converters［J］.Proceedings of the IEEE，2002，90（5）：768-781.

［9］徐德鴻.電力電子系統(tǒng)建模及控制［M］.北京：機械工業(yè)出版社，2005．

［10］盧偉國，趙乃寬，郎爽，等.DC/DC降壓變換器非線性控制及紋波補償策略［J］.中國電機工程學(xué)報，2013，33（33）：35-41．

［11］Middlebrook R D.Input Filter Considerations in Design and Applications of Switching Regulators［C］//Proc.IEEE Industrial Application Society Annual Meeting，1976：366-382.

［12］Hiti S，Vlatokovic V，Boroyevich D.A New Control Algorithm for Three-phase PWM Buck Rectifier with Input Displacement Factor Compensation［J］.IEEE Transactions on Power Electronics，1994，2（2）：173-180.

［13］Chandrasekaran S，Boroyevich D，Lindner D.Input Filter Interactions in Three Phase AC-DC Converters［C］//Proc.IEEE Power Electronics Specialist Conference，1999，2：987-992.

［14］Belkhayat M.Stability Criteria for AC Power Systems with Regulated Loads［D］.Indiana：Purdue University，1997.

［15］Casadei D，Serra G，Tani A.Stability Analysis of Electrical Drives Fed by Matrix Converters［C］//Proceedings of the 2002 IEEE International Symposium on Industrial Electronics，2002，4：1108-1113.

［16］孫健，劉長紅，史偉偉.三相電壓型PWM整流器的穩(wěn)定性分析［J］.電機與控制應(yīng)用，2014，41（1）：1-4．

［17］韓剛，蔡旭，王晗.基于LCL濾波的PWM整流器穩(wěn)定性控制的研究［J］.電力電子技術(shù)，2011，45（6）：79-81．

［18］鮑陳磊，阮新波，王學(xué)華，等.基于P l調(diào)節(jié)器和電容電流反饋有源阻尼的LCL型并網(wǎng)逆變器閉環(huán)參數(shù)設(shè)計［J］.中國電機工程學(xué)報，2012，32（25）：133-142．

［19］胡壽松.自動控制原理［M］第3版.北京：國防工業(yè)出版社，1994.

Small Signal Stability Research for Active Front End Rectifier

JIN Xuefeng，JIANG Yida，TIAN Kai，LI Chengyuan，GAO Sheng
（Tianjin Research Institute of Electric Science Co.，Ltd.，Tianjin300180，China）

Stability analysis of active front end rectifier was done by using state equations method.State space model of system，consisting of power stage，DC voltage and current control loops，and phase locked loop，was derived.Then，small signal model was obtained by linearizing the state space model at its equivalent point.Finally，system stability analysis could be made by solving eigenvalues of the linearized system utilizing numerical calculation method.Effect of various input filter parameters on output power limit was discussed for demonstrating the proposed analysis method.It was also verified by physical model simulation，which proves the proposed method is useful for parameters design and optimization for a certain active front end rectifier system.

active front end rectifier；stability analysis；state-space model

TM461

A

10.19457/j.1001-2095.20161206

2015-12-04

修改稿日期：2016-08-02

金雪峰（1978-），男，碩士，高級工程師，Email：jinxuefeng@tried.com.cn