傅銘煥，張志昌

(1.浙江省水利水電勘測(cè)設(shè)計(jì)院，浙江杭州 310002； 2.西安理工大學(xué)，陜西西安 710048)

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密排加糙床面消力池自由水躍躍長(zhǎng)計(jì)算

傅銘煥1,2，張志昌2

(1.浙江省水利水電勘測(cè)設(shè)計(jì)院，浙江杭州 310002； 2.西安理工大學(xué)，陜西西安 710048)

水躍長(zhǎng)度作為消力池設(shè)計(jì)的重要參數(shù)，對(duì)消力池安全穩(wěn)定以及經(jīng)濟(jì)合理的影響效果顯著。通過(guò)建立水躍區(qū)水體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程，研究密排加糙床面消力池水躍旋滾長(zhǎng)度和水躍長(zhǎng)度的變化規(guī)律，提出了水躍旋滾長(zhǎng)度和水躍長(zhǎng)度計(jì)算的理論方法，并根據(jù)已有文獻(xiàn)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)所推公式涉及的物理參數(shù)進(jìn)行率定。計(jì)算研究結(jié)果表明，密排加糙床面消力池水躍旋滾長(zhǎng)度和水躍長(zhǎng)度均隨躍前斷面弗勞德數(shù)、躍前斷面水深和水躍共軛水深比的增大而增大，隨著床面當(dāng)量粗糙高度的增加而減小。經(jīng)驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)，水躍旋滾長(zhǎng)度和水躍長(zhǎng)度的計(jì)算值與實(shí)測(cè)值接近。

密排加糙床面； 運(yùn)動(dòng)方程； 水躍旋滾長(zhǎng)度； 水躍長(zhǎng)度

在泄水建筑物下游往往需要布設(shè)消力池來(lái)抬高下游水深，使下泄水流形成淹沒(méi)水躍，消耗高速水流能量。為了提高消力池消能效果，各種輔助消能工應(yīng)運(yùn)而生，如消力墩、T形墩、齒墩等。近年來(lái)有人提出計(jì)算了粗糙壁面消力池，并對(duì)其水力特性進(jìn)行了試驗(yàn)研究。研究表明，消力池底板上的連續(xù)凸體能顯著提升水躍區(qū)水體的剪切與紊動(dòng)強(qiáng)度，有效降低消力池的共軛水深和水躍長(zhǎng)度，從而獲得更好的消能效果[1- 4]。所謂的粗糙壁面消力池，就是將消力池底板做成連續(xù)的粗糙塊，現(xiàn)階段粗糙壁面消力池的布置形式主要有兩種，一種為波狀床面消力池，另一種為密排加糙床面消力池。文獻(xiàn)[5-6]通過(guò)邊界層理論和水躍區(qū)動(dòng)量方程研究了波狀床面消力池壁面切應(yīng)力和水躍區(qū)邊界層沿程發(fā)展規(guī)律，給出了水躍共軛水深和水躍長(zhǎng)度的理論計(jì)算方法。文獻(xiàn)[7]通過(guò)前人關(guān)于床面阻力的動(dòng)量假設(shè)，提出了密排加糙床面水躍共軛水深計(jì)算的半理論公式。文獻(xiàn)[8]對(duì)文獻(xiàn)[1]和[3]作者提出的密排加糙床面水躍長(zhǎng)度和水躍旋滾長(zhǎng)度經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行了驗(yàn)證，并提出了計(jì)算水躍長(zhǎng)度和水躍旋滾長(zhǎng)度新的經(jīng)驗(yàn)公式。文獻(xiàn)[9]研究了均布糙體和孤立糙體的空化特性，結(jié)果表明，均布糙體的初生空化數(shù)遠(yuǎn)低于孤立糙體；文獻(xiàn)[10]在對(duì)明流反弧段加糙防蝕的研究中，認(rèn)為在反弧段進(jìn)行均勻加糙，對(duì)防止反弧末端的空蝕破壞十分有利。文獻(xiàn)[11]對(duì)波狀涵洞中流速的研究表明，波狀床面水流紊動(dòng)加劇，雷諾切應(yīng)力增大，流速減小明顯，空蝕的可能性亦減小。由此可見(jiàn)，在溢流面上適當(dāng)?shù)木鶆蚣硬?，?duì)防止空蝕破壞是有利的。但現(xiàn)階段對(duì)其水躍水力特性，尤其是水躍長(zhǎng)度的研究仍停留在試驗(yàn)層面。文獻(xiàn)[12]和[13]通過(guò)水躍區(qū)水體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程，分別從理論角度研究了平底二元水躍和漸擴(kuò)散水躍的水躍長(zhǎng)度，獲得了很好的效果。作者亦試圖通過(guò)追蹤水躍區(qū)水體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，探索密排加糙床面自由水躍長(zhǎng)度理論計(jì)算的可行性，以供工程設(shè)計(jì)參考。

1 公式推導(dǎo)

1.1 水躍旋滾長(zhǎng)度

圖1 密排加糙床面水躍Fig.1 Hydraulic jump on uniform rough height bed

1.1.1 理論分析 水流從急流到緩流的過(guò)渡過(guò)程中，上下游水流存在壓力差使得水體向上躍起形成回流，假設(shè)使水流向上躍起的加速度為f，對(duì)于密排加糙床面消力池，假定由于床面底部的凸起，額外作用于水流質(zhì)點(diǎn)豎直方向上的加速度為Mf，則密排加糙床面自由水躍水體質(zhì)點(diǎn)的受力情況如圖1所示。圖1中h1，h2分別為躍前斷面和躍后斷面水深；v1，v2分別為躍前斷面和躍后斷面平均流速；Lr為水躍旋滾長(zhǎng)度；g為重力加速度；ks為密排加糙床面粗糙高度；M為由于床面的密排加糙額外在豎直方向上產(chǎn)生的加速度系數(shù)；x，y為坐標(biāo)軸，x軸方向同水體主流方向，y軸方向?yàn)樨Q直方向，坐標(biāo)原點(diǎn)為水躍躍前斷面水面處。則水躍區(qū)水體質(zhì)點(diǎn)在豎直方向y上沿時(shí)間的運(yùn)動(dòng)方程為：

d2y/dt2=(1+M)f-g

(1)

式中：t為水躍區(qū)水體質(zhì)點(diǎn)從躍前斷面開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；y為水體質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)間內(nèi)在豎直方向上運(yùn)動(dòng)的距離。

對(duì)式(1)求不定積分可得：

(2)

(3)

式中：c1，c2為積分常數(shù)。

假設(shè)在t=0時(shí)刻，水體質(zhì)點(diǎn)位于坐標(biāo)軸原點(diǎn)，此時(shí)質(zhì)點(diǎn)流速同主流方向，即水體質(zhì)點(diǎn)在豎直方向上的瞬時(shí)速度為零，可知：

(4)

將式(4)代入式(2)和(3)，可得c1=0，c2=0，故

(5)

根據(jù)總流方程，假定Q=v1bh1=vxb(h1+y)。其中vx為水體質(zhì)點(diǎn)流經(jīng)x斷面處的斷面平均流速；b為消力池寬度。假定水體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至x斷面時(shí)在x軸方向上的瞬時(shí)速度正比于該斷面的平均流速，可得

dx/dt=avx=av1/(1+y/h1)

(6)

式中：a為流速系數(shù)。

將式(5)代入式(6)，并對(duì)其變形可得

(7)

假定在t=0到t=tr時(shí)段內(nèi)，水體質(zhì)點(diǎn)從坐標(biāo)原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至水躍旋滾末端水面處，則對(duì)式(7)進(jìn)行積分，即

(8)

(9)

根據(jù)假定，t=tr時(shí)，水體質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至水躍旋滾末端水面，此時(shí)y=h2-h1。將其代入式(5)可得：

(10)

將式(10)代入式(9)，即：

(11)

(12)

當(dāng)密排加糙床面轉(zhuǎn)化成一般混凝土壁面時(shí)，Mf=0，此時(shí)式(12)變?yōu)橐话慊炷帘诿嫦Τ厮S旋滾長(zhǎng)度，即：

(13)

文獻(xiàn)[14]分析認(rèn)為，在躍前斷面弗勞德數(shù)Fr1=1.82～7.67范圍內(nèi)，一般混凝土壁面水躍長(zhǎng)度是水躍旋滾長(zhǎng)度的1.973～1.614倍。取其均值，故一般混凝土壁面水躍長(zhǎng)度可表示為：

(14)

文獻(xiàn)[15]提出的一般混凝土壁面水躍長(zhǎng)度的計(jì)算式為：

(15)

聯(lián)立求解式(13)，(14)和(15)，可得：

(16)

將式(16)代入式(12)，得密排加糙床面水躍旋滾長(zhǎng)度理論計(jì)算式為：

(17)

圖2 參數(shù)D的分布Fig.2 Distribution of parameter D

文獻(xiàn)[3]的作者進(jìn)行了5種體形的密排加糙床面消力池水躍特性試驗(yàn)，粗糙高度ks分別為0.46，0.82，1.46，2.39和3.20 cm。根據(jù)文獻(xiàn)[3]的試驗(yàn)工況，對(duì)密排加糙床面水躍區(qū)水體質(zhì)點(diǎn)相對(duì)加速度參數(shù)D重新分析，結(jié)果如圖2所示，圖中ds=2ks/(h1+h2)為消力池底板當(dāng)量粗糙高度。由圖2可知，相對(duì)加速度參數(shù)D是躍前斷面弗勞德數(shù)，水躍共軛水深比和當(dāng)量粗糙高度的函數(shù)，并隨著弗勞德數(shù)和當(dāng)量粗糙高度的增加而減小，隨著水躍共軛水深比的增大而增大。擬合各工況的試驗(yàn)數(shù)據(jù)可得相對(duì)加速度參數(shù)D的計(jì)算式，即：

D=2.087 6(Fr1-1)-0.109 8[ds+2(η-1)/η]-1.109 8

(18)

將式(18)代入式(17)即可得密排加糙床面自由水躍旋滾長(zhǎng)度半理論計(jì)算式，即：

(19)

式(19)的適用范圍為2.1

由式(19)可知，水躍旋滾長(zhǎng)度隨著躍前斷面弗勞德數(shù)、躍前斷面水深和水躍共軛水深比的增大而增大，隨著床面當(dāng)量粗糙高度的增加而減小。

1.1.2 公式簡(jiǎn)化 由于密排加糙床面水躍的躍后條件往往是未知的，故用式(19)來(lái)求解水躍旋滾長(zhǎng)度存在一定困難。文獻(xiàn)[8]提出的密排加糙床面水躍共軛水深為：

(20)

將式(20)代入式(19)可得：

(21)

可見(jiàn)，用式(21)計(jì)算水躍旋滾長(zhǎng)度較為復(fù)雜，根據(jù)式(21)中水躍旋滾長(zhǎng)度的變化規(guī)律，將其轉(zhuǎn)化為：

Lr=7.62Fr1h1E/(Fr1-1)0.109 8

(22)

圖3 參數(shù)E的分布Fig.3 Distribution of parameter E

式中：E為床面粗糙高度、躍前斷面水深和躍前斷面弗勞德數(shù)的函數(shù)。

根據(jù)文獻(xiàn)[3]的試驗(yàn)工況，分析得E隨床面粗糙高度、躍前斷面水深和躍前斷面弗勞德數(shù)的變化規(guī)律如圖3所示。由圖3可得

(23)

將式(23)代入式(22)，可得水躍旋滾長(zhǎng)度的簡(jiǎn)化公式，即：

(24)

式(24)的適用范圍為2.10

1.2 水躍長(zhǎng)度

1.2.1 理論分析 對(duì)于密排加糙床面，文獻(xiàn)[8]分析發(fā)現(xiàn)，當(dāng)弗勞德數(shù)Fr1=2.4～10.5時(shí)，水躍長(zhǎng)度為水躍旋滾長(zhǎng)度的1.30～1.46倍，取其均值1.38，則水躍長(zhǎng)度可表示為：

Lj=1.38Lr+erf1(Lr)

(25)

式中：erf1(Lr)為密排加糙床面水躍長(zhǎng)度的偏離誤差。

將式(25)代入式(17)，可得：

(26)

圖4 參數(shù)A的分布Fig.4 Distribution of parameter A

式中：A為考慮水躍區(qū)相對(duì)加速度和水躍長(zhǎng)度偏離誤差的參數(shù)。式(26)即為密排加糙床面水躍長(zhǎng)度的理論公式。

文獻(xiàn)[1]研究了3種體形的密排加糙床面消力池水躍特性，粗糙高度ks分別為0.43，0.64和1.13 cm。根據(jù)文獻(xiàn)[1]的試驗(yàn)工況，計(jì)算參數(shù)A如圖4所示。由圖4可知，參數(shù)A的分布規(guī)律與相對(duì)加速度參數(shù)D相似，仍是躍前斷面弗勞德數(shù)，水躍共軛水深比和當(dāng)量粗糙高度的函數(shù)。對(duì)各工況的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，可得

(27)

將式(27)代入式(26)，可得水躍長(zhǎng)度的半理論計(jì)算式為：

(28)

式(28)的適用范圍為2.4

可見(jiàn)，密排加糙床面水躍旋滾長(zhǎng)度隨著躍前斷面弗勞德數(shù)、躍前斷面水深和水躍共軛水深比的增大而增大，隨著床面當(dāng)量粗糙高度的增加而減小。

1.2.2 公式簡(jiǎn)化 將式(20)代入式(28)，并根據(jù)式(28)表明的函數(shù)關(guān)系，對(duì)其重新整理可得：

(29)

圖5 參數(shù)F的分布Fig.5 Distribution of parameter F

式中：F為床面粗糙高度、躍前斷面水深和躍前斷面弗勞德數(shù)的函數(shù)。

根據(jù)文獻(xiàn)[3]的工況，對(duì)F隨床面粗糙高度、躍前斷面水深和躍前斷面弗勞德數(shù)的的變化規(guī)律進(jìn)行分析，結(jié)果如圖5所示，可得：

(30)

將式(30)代入式(29)，則水躍長(zhǎng)度計(jì)算式可簡(jiǎn)化為

(31)

式(31)的適用范圍為2.4

2 公式分析與驗(yàn)證

圖6給出了文獻(xiàn)[3]實(shí)測(cè)的水躍旋滾長(zhǎng)度試驗(yàn)值與式(19)和式(24)計(jì)算的水躍旋滾長(zhǎng)度計(jì)算值，圖中弗勞德數(shù)范圍為2.10～9.89。從圖6可以看出，式(19)和式(24)計(jì)算的水躍旋滾長(zhǎng)度均與實(shí)測(cè)值接近。在277組試驗(yàn)工況中，式(19)計(jì)算的水躍旋滾長(zhǎng)度平均誤差為6.60%，誤差超過(guò)10%的共有57組，其中誤差15%～20%的有12組，20%～30%的有9組，超過(guò)30%的有3組。式(24)計(jì)算的水躍旋滾長(zhǎng)度平均誤差為7.4%，誤差超過(guò)10%的共有66組，其中誤差15%～20%的有12組，20%～30%的有8組，超過(guò)30%的有3組。

圖6 旋滾長(zhǎng)度的比較Fig.6 Comparison of vortex roll lengths

文獻(xiàn)[3]亦給出過(guò)考慮壁面粗糙高度的水躍旋滾長(zhǎng)度經(jīng)驗(yàn)計(jì)算式，即：

Lr=ch1(Fr1-1)

(32)

式中：c=6.525exp(-0.6ks/h1)。

式(32)的水躍旋滾長(zhǎng)度平均誤差為15%，誤差大于10%的有179組，其中10%～20%的有110組，20%～30%的有45組，30%～40%的有15組，40%～50%的有7組，誤差大于50%的有2組[8]。

文獻(xiàn)[8]對(duì)文獻(xiàn)[3]的試驗(yàn)成果重新進(jìn)行優(yōu)化分析，給出的水躍旋滾長(zhǎng)度經(jīng)驗(yàn)計(jì)算式為：

(33)

式(33)的平均誤差4.25%，超過(guò)10%的54組，其中有20組超過(guò)了15%[8]。由此可知，式(19)和式(24)計(jì)算的水躍旋滾長(zhǎng)度精度遠(yuǎn)高于式(32)的計(jì)算值，而與式(33)的計(jì)算精度較為接近。

圖7給出了文獻(xiàn)[1]實(shí)測(cè)的水躍長(zhǎng)度試驗(yàn)值與式(28)和式(31)計(jì)算的水躍長(zhǎng)度計(jì)算值，圖中弗勞德數(shù)范圍為2.4～10.5。由圖7可知，式(28)和(31)的計(jì)算值均與實(shí)測(cè)值接近，式(28)計(jì)算的平均誤差為7.46%。在92組試驗(yàn)工況中，誤差超過(guò)10%的共有22組，其中10%～15%的有12組，超過(guò)20%的有4組，最大誤差為28.1%。式(31)計(jì)算的平均誤差為7.75%，誤差超過(guò)10%的共有30組，其中24組數(shù)據(jù)誤差均小于15%，最大誤差為23.7%。

圖7 水躍長(zhǎng)度的比較Fig.7 Comparison of hydraulic jump lengths

可見(jiàn)，本文提出的水躍旋滾長(zhǎng)度與水躍長(zhǎng)度的半理論公式和簡(jiǎn)化公式精度均較高，能很好反映水躍旋滾長(zhǎng)度和水躍長(zhǎng)度的實(shí)際情況，表明用水躍區(qū)水體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程研究水躍旋滾長(zhǎng)度和水躍長(zhǎng)度是可行的。分析認(rèn)為因水躍區(qū)強(qiáng)烈紊動(dòng)，使得水躍旋滾末端前后波動(dòng)明顯，施測(cè)困難造成公式計(jì)算值的局部偏離。

3 結(jié) 語(yǔ)

通過(guò)水躍區(qū)水體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程，理論研究密排加糙床面水躍旋滾長(zhǎng)度和水躍長(zhǎng)度的變化規(guī)律。研究表明，水躍區(qū)相對(duì)加速度參數(shù)D和A是躍前斷面弗勞德數(shù)，水躍共軛水深比和當(dāng)量粗糙高度的函數(shù)；水躍旋滾長(zhǎng)度和水躍長(zhǎng)度隨著躍前斷面弗勞德數(shù)、躍前斷面水深和水躍共軛水深比的增大而增大，隨著床面當(dāng)量粗糙高度的增加而減小。水躍旋滾長(zhǎng)度半理論計(jì)算式(19)計(jì)算的水躍旋滾長(zhǎng)度在弗勞德數(shù)2.1～9.89范圍內(nèi)，平均誤差為6.60%；簡(jiǎn)化計(jì)算式(24)計(jì)算的平均誤差為7.4%。水躍長(zhǎng)度半理論計(jì)算式(28)計(jì)算的水躍長(zhǎng)度在弗勞德數(shù)2.4～10.5范圍內(nèi)，平均誤差為7.46%；簡(jiǎn)化計(jì)算式(31)計(jì)算的平均誤差為7.75%。

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Length calculation of free hydraulic jump on rough bed of stilling basin

FU Ming-huan1,2，ZHANG Zhi-chang2

(1.ZhejiangDesignInstituteofWaterConservancyandHydroelectricPower,Hangzhou310002,China; 2.Xi’anUniversityofTechnology,Xi’an710048,China)

As the important parameters in designing the stilling basin,calculation of the length of the free hydraulic jump plays a major role in the safety,stability and economization for the stilling basin.The research on the variation laws of the vortex roll length of the free hydraulic jump and the hydraulic jump length occurred on the uniform rough height bed of the stilling basin was carried out according to establishing the motion equations for water body particle in the hydraulic jump zone,and developing a theoretical method for calculation of the vortex roll length of the free hydraulic jump and the hydraulic jump length,and the physical parameters are calibrated by the given expressions based on the testing data from the existing literatures.Research results show that both of the hydraulic jump vortex roll length and the hydraulic jump length on the uniform rough height bed of the stilling basin increase with the increase of the upstream Froude number,upstream supercritical water depth and the conjugate depth ratio,and at the same time decrease with the increase of the equivalent roughness of the riverbed.From the verification results it is found that the calculated values are well approximate to the measured values of the hydraulic jump vortex roll length and the hydraulic jump lengths.

uniform rough height beds; motion equations; hydraulic jump vortex roll length; length of hydraulic jump

10.16198/j.cnki.1009-640X.2016.06.010

傅銘煥，張志昌.密排加糙床面消力池自由水躍躍長(zhǎng)計(jì)算[J].水利水運(yùn)工程學(xué)報(bào),2016(6):69-75.(FU Ming-huan,ZHANG Zhi-chang.Length calculation of free hydraulic jump on rough bed of stilling basin[J].Hydro-Science and Engineering,2016(6):69-75.)

2015-12-28

傅銘煥(1989—)，男，浙江杭州人，碩士，主要從事水工水力學(xué)計(jì)算工作。E-mail:fuminghuan2007@163.com

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1009-640X(2016)06-0069-07