◇ 江西 袁人兵

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解題訓練中典型例題的選擇

◇ 江西 袁人兵

有效的解題訓練是提高學生分析問題、解決問題能力的重要途徑．那么選擇什么樣的習題,才能起到有效訓練的目的?本文以拋物線的學習為例,介紹幾種例題的選擇視角與讀者分享．

1 要有利于鞏固基礎知識

例1已知點P是拋物線y2=2x上的一個動點,則點P到點A(0,2)的距離與點P到該拋物線準線的距離之和的最小值為( ).

解析設點P在準線上的射影為P′,由拋物線定義得|PP′|=|PF|,則

|PF|+|PA|=|PP′|+|PA|.

點評對雙基的考查一直是高考命題的一個重要方向．雙基是指基礎知識和基本方法,因此例題的選擇要有助于學生對基礎知識的掌握以及對基本方法的靈活應用．本題求解中首先根據(jù)拋物線的定義將點P到準線的距離|PP′|轉(zhuǎn)化為|PF|,再利用3點共線解決問題.

2 要有利于體現(xiàn)知識點間的聯(lián)系

例2已知點A(x1,y1)、D(x2,y2) (其中x1

(1) 當點B的坐標為(1,0)時,求直線AD的斜率;

(2) 記△OAD的面積為S1,梯形ABCD的面積為S2,求證:S1/S2<1/4.

(1) 當點B坐標為(-1,0)時,求k的值;

(2) 記△OAD的面積S1,四邊形ABCD的面積為S2.

(ⅱ) 求證:S1/S2≥1/2.

點評圓錐曲線包括橢圓、雙曲線和拋物線,三者無論是從定義(第二定義),還是相關性質(zhì)上都有其相似性,因此對于適合其中某一種曲線的性質(zhì),往往都可以類比推理到其他曲線．上述2例無論從命題形式,還解題方法上看,都有異曲同工之妙．

下面給出例3的解析過程:

解析(1)因為B(-1,0),所以A(-1,y0),代入x2/4+y2/3=1 (y≥0),解得y0=3/2,代入直線y=kx+1,得k=-1/2.

所以

而y1+y2=kx1+1+kx2+1=k(x1+x2)+2,所以

3 一題多變的例題有利于學生知識系統(tǒng)化

例5(逆向變換)拋物線C:y2=4x的焦點為F,直線l過F且與C交于A、B2點.若|AF|=3|BF|,則l的方程為( ).

Ay=x-1或y=-x+1;

例6(拓展變換) 設F為拋物線C:y2=3x的焦點,過F且傾斜角為30°的直線交C于A、B2點,O為坐標原點,則△OAB的面積為____.(答案:9/4)

點評一題多變通常從改變問題的條件、改變問題的結(jié)論(如例6)、條件與結(jié)論互換(如例5與例4)等視角來實現(xiàn)．對些類問題的訓練能有效考查學生靈活應用所學知識解決問題的能力．

4 典型例題有利于總結(jié)解題方法

例7同例5

圖1

解法1如圖1所示,作出拋物線的準線l1及點A、B到準線的垂線段AA1、BB1,并設直線l交準線于點M.設|BF|=m.

由拋物線的定義可知|BB1|=m,|AA1|=|AF|=3m.

點評解析幾何具有代數(shù)與幾何的雙重身份,解題中即可以從幾何角度入手,挖掘解析幾何的幾何本質(zhì)．也可從數(shù)的角度入手,即通過坐標法,實現(xiàn)幾何問題的代數(shù)化求解．本題從幾何與代數(shù)2種視角實現(xiàn)了對問題的解答.

江西省贛州市南康區(qū)第四中學)