◇ 北京 李艷茹

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一道數(shù)學(xué)高考題的多解與探究

◇ 北京 李艷茹

1 題目與簡析

(1)求橢圓C的方程及離心率;

(2)設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上,直線PA與y軸交于點(diǎn)M,直線PB與x軸交于點(diǎn)N,求證:四邊形ABNM的面積為定值.

本題屬于解析幾何問題,主要考查的是橢圓的方程及其簡單的幾何性質(zhì),以及直線和橢圓的位置關(guān)系,考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力,同時(shí)也考查了運(yùn)算能力．

2 解題方法探究

第(1)問可以通過解方程求解,即將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入橢圓方程解出a2和b2(或者根據(jù)橢圓簡單的幾何性質(zhì)直接得出a和b),從而得出橢圓的方程.再依據(jù)橢圓中a、b、c的關(guān)系求出c,最后由離心率公式得出橢圓的離心率．第(2)問有多種解法,現(xiàn)對(duì)不同解法做簡單的分析．

所以四邊形ABNM的面積

從而四邊形ABNM的面積為定值.

點(diǎn)評(píng)該解法是將題目的文字?jǐn)⑹龇g成了符號(hào)語言,以設(shè)橢圓上的點(diǎn)P(x0,y0)坐標(biāo)為出發(fā)點(diǎn),利用直線PA和PB的方程得出點(diǎn)M、N的坐標(biāo),用x0、y0表示出線段|AN|和|BM|的長,再利用四邊形ABNM對(duì)角線垂直的特征得出四邊形ABNM的面積,此種解法計(jì)算量較?。?/p>

方法2設(shè)直線PA方程為y=k(x-2)(k>0), 當(dāng)x=0時(shí),yM=-2k,即M(0,-2k), 所以|BM|=|1-yM|=1+2k.

(1+4k2)x2-16k2x+16k2-4=0,

從而四邊形ABNM的面積為定值.

點(diǎn)評(píng)該解法利用直線與橢圓的位置關(guān)系,以設(shè)直線PA的方程為出發(fā)點(diǎn),通過解析幾何的常用解法,直線方程與橢圓方程聯(lián)立消元得到關(guān)于x的一元二次方程,再利用根與系數(shù)關(guān)系得出點(diǎn)P的坐標(biāo),進(jìn)而寫出直線PB的方程.利用直線PA和PB的方程得出點(diǎn)M、N的坐標(biāo),用k表示出線段|AN|和|BM|的長,再利用四邊形ABNM對(duì)角線垂直的特征得出四邊形ABNM的面積,此法只引進(jìn)了一個(gè)變量k,計(jì)算量比較大．

方法3設(shè)直線PA方程為y=k1(x-2)(k1>0). 當(dāng)x=0時(shí),yM=-2k1,即M(0,-2k1),所以|BM|=|1-yM|=1+2k1.

所以四邊形ABNM的面積

從而四邊形ABNM的面積為定值.

點(diǎn)評(píng)該解法利用直線與橢圓的位置關(guān)系,以設(shè)直線PA和直線PB的方程為出發(fā)點(diǎn),通過解析幾何的常用解法,直線PA方程與直線PB的方程分別與橢圓方程聯(lián)立消元得到關(guān)于x的一元二次方程,再利用根與系數(shù)關(guān)系得出點(diǎn)P的2種橫坐標(biāo)的表示形式,進(jìn)而得出2個(gè)斜率k1和k2的關(guān)系,再利用直線PA和PB的方程得出點(diǎn)M、N的坐標(biāo),用k2和k1分別表示出線段|AN|和|BM|的長,再利用四邊形ABNM對(duì)角線垂直的特征得出四邊形ABNM的面積,此法只引進(jìn)了2個(gè)變量k1和k2,計(jì)算量比較大．

從而四邊形ABNM的面積為定值.

圖1

則點(diǎn)P到直線MN的距離

從而四邊形ABNM的面積為定值.

點(diǎn)評(píng)此解法是利用了間接的方法求四邊形的面積,注意到四邊形ABNM的面積可以用2個(gè)三角形的面積的差來表示.整個(gè)解題過程圍繞求2個(gè)三角形面積展開,即求△PAB的底邊|AB|及點(diǎn)P到直線AB的距離d,△PMN的底邊|MN|及點(diǎn)P到直線MN的距離d1,此種發(fā)方法的計(jì)算量非常大,在計(jì)算求解的過程中要非常細(xì)心才行．

北京市懷柔區(qū)第一中學(xué))