樊玉環(huán)，馬艷芬，魏 喆，修 濤

(黑龍江工程學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 哈爾濱150001)

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反對(duì)稱矩陣空間上保持行列式的函數(shù)

樊玉環(huán)，馬艷芬，魏 喆，修 濤

(黑龍江工程學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 哈爾濱150001)

刻畫了反對(duì)稱矩陣空間上的保持行列式的函數(shù)的形式，受反對(duì)稱矩陣空間上行列式性質(zhì)的影響，分別研究了奇數(shù)階反對(duì)稱矩陣空間及偶數(shù)階反對(duì)稱矩陣空間上保行列式的函數(shù)的形式.

保持；行列式；反對(duì)稱矩陣；函數(shù)

自2011年文獻(xiàn)[1]研究了保持矩陣的一些性質(zhì)的函數(shù)，給出了保持中的一個(gè)新方向，在文獻(xiàn)[2]中研究了域上上三角矩陣空間的保持冪等的函數(shù)的形式；文獻(xiàn)[3]刻畫了了域上保持對(duì)合矩陣的函數(shù)的形式，分別刻畫了全矩陣空間及上三角矩陣空間上保持對(duì)合矩陣的函數(shù)的形式；文獻(xiàn)[4]研究了域上矩陣空間的保持正交性的函數(shù)，分別刻畫了全矩陣空間、上三角矩陣空間及對(duì)稱矩陣空間上保持正交性的函數(shù)的形式；文獻(xiàn)[5]研究了特殊矩陣空間上保持行列式的函數(shù)，分別刻畫了上三角矩陣空間及對(duì)稱矩陣空間上保行列式的函數(shù)的形式；本文在文獻(xiàn)[5]的基礎(chǔ)上，繼續(xù)研究保持行列式的函數(shù)，即反對(duì)稱矩陣空間上保行列式的函數(shù)的形式，對(duì)這一函數(shù)保持中的新方向進(jìn)行了補(bǔ)充及完善.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)F是特征不為2的域，F(xiàn)*表示F{0}，SKn(F)為F上所有n階反對(duì)稱矩陣的全體，AT為A的轉(zhuǎn)置矩陣，detA為A的行列式，Af=(f(aij)).

定義1[6]稱函數(shù)f∶F→F是SKn(F)上保持行列式的函數(shù),如果f滿足detAf=f(detA),?A∈SKn(F).

定義2[7]稱f∶F→F是域同態(tài)，如果f滿足

f(a+b)=f(a)+f(b),f(ab)=f(a)f(b)

定義3[8]設(shè)A是一個(gè)n階方陣，若滿足AT=-A，則稱A為反對(duì)稱矩陣.

性質(zhì)1[8]若A是反對(duì)稱矩陣，則其主對(duì)角線上的元素全為零.

性質(zhì)2[8]若A是奇數(shù)階反對(duì)稱矩陣，則其行列式為零.

2 反對(duì)稱矩陣空間上保持行列式的函數(shù)

定理1f∶F→F是奇數(shù)階反對(duì)稱矩陣空間上的保持行列式的函數(shù)充要條件為f是F上的奇函數(shù).

證明 由定義1.3及性質(zhì)1.1可設(shè)任意的，

SKn(F),

由Af的定義知Af=(f(aij))∈SKn(F)可得

f(0)=0

(1)

f(aij)=-f(-aij)

(2)

由aij的任意性可知f是F上的奇函數(shù).即f∶F→F是奇數(shù)階反對(duì)稱矩陣空間上的保持行列式的函數(shù)，則f是F上的奇函數(shù).

若f是F上的奇函數(shù)，則

Af=

SKn(F),

由性質(zhì)2知detAf=0，再由若f是F上的奇函數(shù)可知f(0)=0，得

detAf=f(detA)

即f是F上的奇函數(shù),則f∶F→F是奇數(shù)階反對(duì)稱矩陣空間上的保持行列式的函數(shù).

定理2f∶F→F是偶數(shù)階反對(duì)稱矩陣空間上的保持行列式的函數(shù)的充要條件是下列之一成立：

1)f≡0

2)f=cδ，其中cn-1=1,滿足δ(xy)=δ(x)δ(y).

證明 充分性顯然，下面證明必要性.由定理1的證明可知對(duì)?x∈F，有

f(-x)=-f(x)

(3)

由Bf的定義及式(3)知

若f(d)=-f(d)，即f(d)=0且detBf=f(detB).再由d的任意性可得f=0.

若f(d)≠-f(d)，由性質(zhì)3得detBf=fn(d)，由f的定義可得

f(dn)=fn(d)

(4)

在上式中令d=1可得

fn-1(1)=1

(5)

由Cf的定義及式(3)知

且由性質(zhì)3可得

(f(1)f(xy)-f(x)f(y))2

由f的定義知

fn-4(1)(f(x)f(y)-f(1)f(xy))2=0

(6)

由式(5)知f(1)≠0，再由式(6)得

f(x)f(y)-f(1)f(xy)=0

(7)

對(duì)于?x，y∈F,取

由Df的定義及式(3)知

fn-4(1)≠0,故

通過計(jì)算可得

f(x)+f(y)=f(x+y)

(8)

取δ=f-1(1)f，下面證明δ是域F上的一個(gè)單的自同態(tài). 應(yīng)用式(7)可得

δ(ab)=f-1f(ab)=

f-1f-1(1)f(a)f(b)=

f-1(1)f(a)f-1(1)f(b)=

δ(a)δ(b)

即

δ(ab)=δ(a)δ(b)

(9)

應(yīng)用式(8)可得

δ(a+b)=f-1(1)f(a+b)=

f-1(1)(f(a)+f(b))=

f-1(1)f(a)+f-1(1)f(b)=δ(a)+δ(b)

δ(a+b)=δ(a)+δ(b)

(10)

在式(7)中令b=a-1，則有

f(a)f(a-1)=f2(1)

再由式(5)可知

f(a)≠0,?x∈F*

(11)

若δ(a)=δ(b)， 由式(3)、(10)得

δ(a)=δ(b)?δ(a)-δ(b)=0?δ(a-b)=0?f-1(1)f(a-b)=0、

應(yīng)用式(11)得a=b，即

δ(a)=δ(b)?a=b

(12)

由式(9)、(10)及式(12)可得δ是域F上的一個(gè)單的自同態(tài).

[1] YAO H, SONG X, WANG G. A note on functions preserving some properties of matrices[C]//Proceeding of the Sixth International Conference of Matrices and Operators, 2011. 77-80.

[2] 樊玉環(huán),王佩臣. 域上上三角矩陣空間的保持冪等的函數(shù)[J]. 河北科技大學(xué)學(xué)報(bào), 2013, 34(003): 200-203.

[3] 樊玉環(huán), 馬艷芬, 蔣超凡. 域上保持對(duì)合矩陣的函數(shù)[J].河北科技大學(xué)學(xué)報(bào), 2014, 35(006): 538-542.

[4] 樊玉環(huán), 馬曉峰, 譚麗娟. 域上矩陣空間的保持正交性的函數(shù)[J]. 黑龍江大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào), 2015, 32(1): 54-57.

[5] 樊玉環(huán), 魏 喆, 修 濤. 域上特殊矩陣空間的保持行列式的函數(shù)[J]. 齊齊哈爾大學(xué)學(xué)報(bào), 2016, 32(2): 81-83.

[6] 華羅庚, 萬哲先. 典型群[M].上海: 上?？萍汲霭嫔? 1962.

[7] 張海山. 反對(duì)稱矩陣的若干性質(zhì)[J]. 甘肅教育學(xué)院學(xué)報(bào), 2003(3): 14-17.

[8] 樊正華, 徐新萍. 淺談行列式的計(jì)算方法[J].江蘇教育學(xué)院學(xué)報(bào), 2011, 27(1): 61-64

Determinant preserving function on anti-symmetric matrix space

FAN Yu-huan, MA Yan-fen, WEI Zhe, XIU Tao

(Department of Mathematics, Heilongjiang Institute of Technology, Harbin 150001)

In this paper, the forms of determinant preserving function on anti-symmetric matrix space were described. Under the influence of the properties of determinant on anti-symmetric matrix spaces, the forms of determinant preserving function on odd and even order anti-symmetric matrices space were studied.

preserve; determinant; anti-symmetric matrix; function

2015-12-23.

黑龍江省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(12541668)

樊玉環(huán)(1981-)，女，碩士，講師，研究方向：矩陣代數(shù).

O153.3

A

1672-0946(2016)06-0703-03