徐文婷 徐麗群

（上海交通大學安泰經濟與管理學院，上海 200030）

多因素影響的易變質品利潤最優(yōu)組合策略研究

徐文婷 徐麗群

（上海交通大學安泰經濟與管理學院，上海 200030）

針對易變質商品，考慮需求依賴于銷售價格與營銷效用水平，研究了單個企業(yè)的定價、補貨周期、保鮮投入及動態(tài)營銷投入聯合決策問題。首先建立目標企業(yè)的單位時間利潤模型，其次通過解決最優(yōu)控制問題確定動態(tài)營銷投入函數，并利用三維搜索方法得到目標函數的近優(yōu)解。最后進行數值實驗，驗證了模型的有效性并分析相關參數的靈敏度。數值實驗表明，商品初始變質率、營銷成本系數和補貨成本增加會引起最優(yōu)保鮮投入的增加，企業(yè)資金上限的增加最終會提高補貨周期內的單位時間總利潤。

易變質商品；保鮮投入；營銷投入；最優(yōu)定價；補貨周期

1 問題描述與模型假設

1.1 問題描述

本文研究的是一個生產加工并銷售單一易變質食品如蛋糕餅干類零食、新鮮瓜果的電商平臺初創(chuàng)企業(yè)的利潤最優(yōu)策略問題。企業(yè)處于起步階段，需要投入營銷支出以增加市場需求；同時由于其商品具備易變質的特點，需要投入保鮮技術投資即本文的保鮮包裝投入以降低變質率。由于企業(yè)資金資源有限，需要同時考慮保鮮包裝投入和營銷投入，找到最優(yōu)的投資組合，并確定最優(yōu)的價格和補貨周期，實現補貨周期內的單位時間總利潤最優(yōu)。具體的聯合決策關系如圖1所示。

圖1 企業(yè)的定價、補貨及投資聯合決策關系圖

1.2 模型假設

為了便于分析，進行如下幾個假設：

1.該庫存系統(tǒng)針對一種無限計劃周期的易變質食品，且在每個周期不存在退換貨情況。

2.零售商瞬間補貨，供給提前期為0，且不允許缺貨。

3.企業(yè)投入保鮮支出，由此控制的變質率系數θ(μ)是關于保鮮包裝投入μ的連續(xù)凸函數。

4.生產易變質商品后變質情況隨時發(fā)生。

具體符號說明如下：

K：單位訂單的補貨成本；

c：企業(yè)生產單位商品的生產成本；

w：企業(yè)在單位時間的單位庫存成本；

Q：每一周期開始階段的生產批量；

T：補貨周期；

p：商品的單位銷售價格，其中p＞c；

I(t)：商品在t時刻的庫存水平；

λ：企業(yè)在補貨周期內的單位時間營銷投入；

m(t)：企業(yè)在時刻為增加市場需求而投入的營銷努力，其中m(t)＞0；

M(t)：營銷投入產生的營銷努力水平；

μ：企業(yè)在補貨周期內的單位時間保鮮包裝投入，其中μ≥0；

θ(μ)：企業(yè)投入保鮮支出后商品的變質率；

a：商品的市場基本需求；

β：商品需求對價格的敏感性系數；

γ：營銷投入推動銷售額的系數；

α：營銷投入效用水平的衰減率；

R：企業(yè)的資金上限；

Π：企業(yè)在單個補貨周期內的單位時間總利潤。

2 模型的建立和求解

2.1 模型的建立

企業(yè)在單個補貨周期[0,T]銷售易變質商品，確定商品的價格p，并通過營銷投入λ以控制營銷努力水平M(t)，影響商品的市場需求D(p,M(t))。根據J?rgensen可得到k為反映營銷投入邊際成本的正數參數，而企業(yè)的營銷努力m(t)可以提高營銷努力水平M(t)，參考Zhang，假設滿足下式：

根據Netessine需求函數可定義為：

企業(yè)同時為了延長商品的新鮮程度，投入單位商品保鮮包裝成本μ以降低商品變質率，企業(yè)投入保鮮支出后商品的變質率θ(μ)=θ0e-gμ, g≥0。由于商品在生產后變質隨時發(fā)生，假設庫存的變質情況與庫存量成一定比例，即為θ(μ)I。在每一個周期內，商品的庫存隨著顧客需求以及部分商品的變質而逐漸減少，在周期結束時降為0。即企業(yè)的每一補貨周期的庫存變化為：

根據符號和假設，將本文研究的企業(yè)單位時間利潤最優(yōu)問題描述為：

2.2 模型的求解

2.2.1 動態(tài)營銷努力的求解

該問題可從解決最優(yōu)控制問題開始，假設其他變量為定值，先對動態(tài)營銷努力m(t)進行求解。構建哈密爾頓函數如下：

當該函數取得最大值記為H*，可知對應的影子價格λ1(t)和λ2(t)分別滿足以下伴隨方程：

另外，根據M(T)和I(0)不受限制，可得到對應的橫截條件為λ1(0)=0，λ2(T)=0。將橫截條件作為邊界條件，可確定動態(tài)規(guī)劃問題的解和對應哈密爾頓函數為：

其中λ1和λ2滿足：

對于最優(yōu)m*(t)，滿足H(m*(t),M(t),I(t),λ1,λ2)≥H(m(t), M(t), I(t), λ1,λ2)

命題1：當企業(yè)的商品定價、保鮮投入，以及補貨周期一定時，其動態(tài)的營銷努力由下式決定：

推論1：當μ,T一定時，最優(yōu)營銷努力m*與[t1,t2)呈現正相關的關系，即最優(yōu)營銷努力隨著商品價格的增加而增加。另外，當m*(t)＞0恒成立；當(t)=0。

證明1：當t∈[t1,t2)時，對（10）求偏導可知最優(yōu)營銷努力m*與p呈現正相關的關系。證明2：對λ2(t)求導，可知當λ2'=0時，可得易證λ2(t)在t∈[0， t*]單調遞減，在t≥t*單調遞增，即λ2(t)最小值為λ2(t*)。當t*≥T，可得λ2(t)在t∈[0，T]單調遞減且λ2(T)=0，此時可得另外，當λ2(0)≤0：時可得證畢。

現實中，當商品的價格越來越高，其利潤高但市場需求量減少，激勵企業(yè)進行營銷投入以刺激市場需求和增加利潤；反之，當商品價格足夠小時，市場需求足夠大，則無需投入營銷支出。

推論2：當μ,p一定時，最優(yōu)營銷努力m*與T在[t1,t2)呈現負相關的關系，即最優(yōu)營銷努力隨著商品的補貨周期的增加而減少。證明略。

現實中，當具有易變質特性的商品的補貨周期越短，其激勵商家投入營銷支出以增加市場需求量并盡快賣出商品，以實現瞬時可變利潤最大；反之，當T越長，商家為維持瞬時可變利潤最大而傾向減少營銷投入。

由（1）（3）和（9）和I(T)=0，Q=I(0)可依次得出M(t)和I(t)和Q，表達式如下：

最終，式（4）的優(yōu)化問題簡化成如下優(yōu)化問題：

2.2.2 最優(yōu)定價、補貨周期及保鮮投入的求解

由于目標函數（15）涉及3個變量，無法簡單通過數學一階求導求解出使得Π最大的最優(yōu)解(p,T,μ)，因此采用三維搜索算法。算法步驟如下：

Step 1：i=0時，令p0,μ0,T0取隨機初值，精度參數ε＞0。

Step 2：對于給定的p0,μ0,T0，尋找最優(yōu)的m(t),M(t), I(t)和Q。運用三維搜索算法計算實現（15）最大的(pi, μi, Ti)，相應的單位時間總利潤為Πi(pi,μi,Ti)。

Step 3：當Πi+1(μi+1, pi+1,Ti+1)-Πi(μi, pi, Ti)≤ε，獲得最優(yōu)解μ*=μi+1，p*=pi+1，T*=Ti+1。算法結束，否則轉至Step 2。

3 最優(yōu)組合策略及敏感性分析

3.1 最優(yōu)組合策略

針對本文研究的易變質商品的利潤目標進行數值分析，以驗證模型和算法的應用性和有效性，并對相關參數進行敏感性分析。具體參數值見表1。利用表中的數據，進行三維搜索求解。由式(12)-(15)得到該算例的最優(yōu)解(p*,T*,μ*)=(13.429, 0.4575,36.51)，最優(yōu)生產量為80.666，目標函數解為1353.2。

表1 各參數賦值

3.2 參數敏感性分析

在最優(yōu)組合策略解的基礎上，對主要參數進行敏感性分析，每次只改變一個參數，且改變每個參數值的幅度為-30%，-15%，15%，30%，求解對應的最優(yōu)解(p*,T*,μ*)以及Q和π*的變化率，以便觀察參數變化的影響。結果如圖2-圖5所示。

圖2 初始變質率θ 0對最優(yōu)策略的影響(%)

從圖2可以看出，隨著初始變質率θ0的增加，最優(yōu)的p*,T*,Q*下降，μ*上升，另外企業(yè)補貨周期內的最優(yōu)單位時間總利潤Π*下降，反之亦然。該結果表明企業(yè)在商品初始變質率偏大的情況下，為了控制變質損失往往會減少生產量并更多地進行保鮮投入。啟發(fā)企業(yè)：在易變質商品初始變質率較大的情況下，應該采取小批量多頻次生產，同時增加保鮮投入，以降低周期內的商品變質損失；另外降低銷售價格以增加市場需求，降低庫存和損耗。

圖3 保鮮投入效率系數g對最優(yōu)策略的影響(%)

從圖3可以看出，隨著保鮮投入效率系數g的增加，最優(yōu)的p*先降后升，T*,Q上升，μ*先升后降，另外企業(yè)補貨周期內的最優(yōu)單位時間總利潤Π*上升。該結果表明，過低或過高的保鮮投資效率都會抑制企業(yè)的保鮮投入。保鮮投資效率過低意味著單位商品的邊際成本過高，而保鮮投資效率過高則表示商品變質率足夠低，企業(yè)在這兩種情況下均會選擇提高商品價格。另外，保鮮投入效率越高，補貨周期相應越長，最優(yōu)的單位時間總利潤Π*越大。

圖4 營銷成本系數k對最優(yōu)策略的影響(%)

從圖4可以看出，隨著營銷成本系數k的增加，最優(yōu)的p*，T*，Q下降，μ*緩慢上升，另外企業(yè)補貨周期內的單位時間總利潤Π*減少。該結果表明，當企業(yè)面臨營銷投入邊際成本增加時，會偏向于投入保鮮支出而非營銷投入，最優(yōu)補貨周期T*相應延長；而增加的營銷成本也導致最優(yōu)的單位時間總利潤Π*減少。

圖5 補貨成本K對最優(yōu)策略的影響(%)

從圖5可以看出，隨著補貨成本K的增加，最優(yōu)的p*，T*，μ*，Q均上升，而企業(yè)補貨周期內的最優(yōu)單位時間總利潤Π*減少。該結果表明，當企業(yè)面臨較高的補貨成本，一方面會選擇在一個周期內提高生產批量以降低生產頻次和減少補貨成本，并增加保鮮包裝投入以降低商品變質率，進而拉長補貨周期；另一方面企業(yè)傾向抬高價格來彌補補貨成本增加導致的利潤損失。盡管如此，企業(yè)最優(yōu)的單位時間總利潤Π*降低。

3.3 對最優(yōu)解的影響

從表2可以看出，隨著企業(yè)資金上限R的增加，最優(yōu)的p*，T*，μ*，Q均上升，最優(yōu)的單位時間總利潤Π*也相應增加。在現實中，當資金上限增加時，企業(yè)可以在一個補貨周期內生產更多的商品并增加保鮮包裝支出，從而延長補貨周期，企業(yè)也能夠提高銷售價格，最終增加最優(yōu)的單位時間總利潤Π*。

表2 資源上限R對最優(yōu)策略的影響

4 結語

本文考慮了易變質品的定價、補貨周期、保鮮和動態(tài)營銷投入聯合決策問題，其中需求依賴于商品價格和營銷投入，商品變質率與保鮮投入相關，建立了動態(tài)營銷努力決策模型，并在此基礎上利用三維算法來得到最優(yōu)聯合決策。最后通過數值算例計算出最優(yōu)決策，并給出主要參數的敏感性分析，得到以下結論：

隨著商品初始變質率的增加，企業(yè)可采取小批量多頻次生產，同時增加保鮮投入，以降低周期內的商品變質損失；另外可以降價來增加市場需求，降低庫存和損耗。隨著保鮮投入效率系數的增加，企業(yè)可以延長補貨周期并增加生產量，獲得更高的單位時間總利潤；另一方面，保鮮投資效率無論過低或過高，都會抑制企業(yè)的保鮮投入并促使企業(yè)提高商品價格。隨著營銷成本系數的增加，企業(yè)可轉而增加保鮮投入，延長補貨周期，同時采取降價策略以增加市場需求，彌補營銷投入過高對利潤的影響。隨著商品補貨成本的增加，企業(yè)需要增加生產量來降低補貨頻次并降低單位時間補貨成本，同時增加保鮮包裝投入來降低商品變質率，并提高商品價格來彌補補貨成本上升帶來的利潤損失。隨著企業(yè)資金上限的增加，企業(yè)可以投入更多保鮮包裝支出以及營銷支出，同時增加生產量、延長補貨周期并提高價格，獲得更高的單位時間總利潤。

本文未考慮缺貨的情況，而現實中缺貨情況是很常見的。另外本文的保鮮投入是固定的，而現實中保鮮投入往往隨著時間推移而改變。未來可進一步研究考慮缺貨情況下的聯合決策問題，同時也可以考慮研究動態(tài)保鮮投入的庫存系統(tǒng)。

[1] 查金祥. B2C 電子商務顧客價值與顧客忠誠度的關系研究[D].杭州: 浙江大學, 2006.

[2] Youa P S, Hsieh Y C. An EOQ model with stock and price sensitive demand[J]. Mathematical and Computer Modeling, 2007, 45(7/8): 933-942.

[3] Guchhait P, Maiti M K, Maiti M. Two storage inventory model of a deteriorating item with variable demand under partial credit period[J]. Applied Soft Computing, 2013, 13(1): 428-448.

[4] Dye C Y, Hsieh T P. An optimal replenishment policy for deteriorating items with effective investment in preservation technology[J]. European Journal of Operational Research, 2012, 218(1): 106-112.

[5] Zhang J, Liu G, Zhang Q, et al. Coordinating a supply chain for deteriorating items with a revenue sharing and cooperative investment contract[J]. Omega, 2015, 56: 37-49.

[6] 季芳. 中小企業(yè)實施搜索引擎營銷策略分析[J]. 湖北經濟學院學報, 2009, 7(2): 91-96.

[7] Alvarez B A. Consumer evaluations of sales promotion: the effect on brand choice[J]. European Journal of Marketing, 2005, 39(1/2):54-70.

[8] SeyedEsfahani M M, Biazaran M, Gharakhani M. A game theoretic approach to coordinate pricing and vertical co-op advertising in manufacturer–retailer supply chains[J]. European Journal of Operational Research, 2011, 211(2): 263-273.

[9] Krishnan H, Kapuscinski R, Butz D A. Coordinating contracts for decentralized supply chains with retailer promotional effort[J]. Management science, 2004, 50(1): 48-63.

[10] 劉國莉, 葉同, 王偉. 彈性需求下易變質物品定價, 營銷與生產計劃的聯合優(yōu)化[J]. 控制與決策, 2015, 30(2): 361-365.

[11] J?rgensen S, Zaccour G. A survey of game-theoretic models of cooperative advertising[J]. European Journal of Operational Research, 2014, 237(1):1-14.

[12] Papachristos S, Skouri K. An inventory model with deteriorating items, quantity discount, pricing and time-dependent partial backlogging[J]. International Journal of Production Economics, 2003, 83(3): 247-256.

[13] Li S, Zhang J, Tang W. Joint dynamic pricing and inventory control policy for a stochastic inventory system with perishable products[J]. International Journal of Production Research, 2014, 53(10):2937-2950.

[14] 陳軍. 考慮流通損耗控制的生鮮農產品供應鏈訂貨策略及供需協(xié)調研究[D]. 重慶: 重慶大學, 2009.

[15] Lu L, Zhang J, Tang W. Optimal dynamic pricing and replenishment policy for perishable items with inventory-level-dependent demand[J]. International Journal of Systems Science, 2014, 47(6):1-15.

[16] Netessine S, Rudi N. Supply chain structures on the internet: marketing-operations coordination[J]. Simon School of Business Working Paper No. OP 00-05, 2000.

The Optimal Portfolio Strategy Study on Perishable Product Profi t under Multifactor Infl uence

Xu Wenting Xu Liqun

This paper considers a joint pricing, replenishment, preservation technology investment and dynamic marketing investment decision problem for deteriorating items with price and marketing level sensitive demand rate. First establish a total profi t per unit time model, second determine dynamic marketing investment policy for given selling price, replenishment cycle and preservation technology cost, and then design a three-dimensional search algorithm to find the optimal solutions. Finally, a numerical example is given to illustrate the effectiveness of models and further analyze the sensitivity of relevant parameters. The result shows that the optimal preservation technology investment will increase while basic deterioration rate, marketing investment coeffi cient and replenishment cost grow. Also increased money resource constraint help improve total profit per unit time within a replenishment cycle.

Deteriorating items, preservation technology investment, marketing investment, optimal pricing, replenishment cycle

F275.4

A

1005-9679(2016)06-0044-05

徐文婷，上海交通大學安泰經濟與管理學院碩士生，研究方向：工商管理；徐麗群，上海交通大學安泰經濟與管理學院教授，博士生導師，研究方向：運營與供應鏈管理，城市交通管理。