楊海燕

(江蘇省南京市第十三中學,210008)

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○教學研究○

本立而道生
——例談“數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念”教學設計

楊海燕

(江蘇省南京市第十三中學,210008)

“本立而道生”出自《論語》,即做任何事情都要明白事情的根本.教師在教學中同樣需要以學生的發(fā)展為根本.在具體數(shù)學教學中,除了要幫助學生獲得基礎的數(shù)學知識和能力之外,更要幫助學生領會數(shù)學思想、學會運用數(shù)學思想方法統(tǒng)領數(shù)學問題.

本文基于“本立而道生”的思想，談談“數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念”的教學設計.

一、教材與學情分析

“數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念”是蘇教版高中數(shù)學選修1-2第3章第1節(jié)內(nèi)容,這節(jié)課的主要內(nèi)容是數(shù)系的擴充、復數(shù)的引入以及復數(shù)的有關概念.其中數(shù)系的擴充體現(xiàn)了數(shù)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程,同時也體現(xiàn)了數(shù)的發(fā)展的客觀需求和現(xiàn)實背景;而復數(shù)的引入,則是中學階段數(shù)系的又一次也是最后一次擴充.對于高中生來說,學習一些復數(shù)的基礎知識是十分必要的,可以促使他們對數(shù)的概念有一個初步的、較為完整的認識,也給他們運用數(shù)學知識解決問題增添了新的工具.

學生學習這一節(jié)內(nèi)容,可能存在如下障礙:為什么引入虛數(shù)單位i?怎么引入的?復數(shù)是個什么樣的數(shù)?它有何意義?

二、教學目標

(1)理解復數(shù)的概念及復數(shù)的代數(shù)表示,掌握復數(shù)相等的充要條件.

(2)通過回憶并感知數(shù)系擴充的過程,通過歸納并感悟數(shù)系擴充的基本方法,進而形成并理解復數(shù)的有關概念.

(3)通過問題情境感受虛數(shù)引入的必要性,體會人類理性思維的作用,形成學習數(shù)學知識的積極態(tài)度.

三、教學重點難點

教學重點:數(shù)系擴充的過程,復數(shù)的有關概念,復數(shù)相等的充要條件.

教學難點:數(shù)系擴充的原則及對虛數(shù)單位i的理解.

四、教學過程

本節(jié)課的教學程序分成五個環(huán)節(jié)來進行.

1.以“矛盾”誘發(fā)認知沖突,幫助學生認識“虛數(shù)”的產(chǎn)生

問題1我們學校高一年級多少個班?高二年級多少個班?高一、高二年級班級數(shù)之比是多少?

設計意圖引出熟悉的數(shù),為本節(jié)課做鋪墊.數(shù)字是數(shù)學的基本語言,數(shù)學正是起源于對數(shù)的研究.在對數(shù)的研究中,數(shù)系不斷擴充和壯大.

1545年意大利著名的數(shù)學家卡爾丹遇到令人頭疼的問題:

問題2能否將10分成兩部分,且使兩者的乘積為40?

設計意圖引領學生重溫歷史,感悟數(shù)學發(fā)現(xiàn)并不神秘,讓學生與數(shù)學大師一起思考問題、解決問題.歸納出:“找不到這樣的兩個實數(shù),它們的和為10,積為40”,也就是“方程x2-10x+40=0在實數(shù)集內(nèi)無解”.追問:“為什么這個方程無解呢?”“其根本原因是什么?”“-15不能開方，哪個數(shù)能開方就解決了所有負數(shù)開方的問題?”實數(shù)已經(jīng)不夠用了,讓學生處于“憤悱”狀態(tài),形成認知沖突,誘發(fā)學生主動、積極地思考問題,引出課題.

2.以“統(tǒng)一”促進認知順應,幫助學生擴展數(shù)的認識

問題3數(shù)系經(jīng)歷了哪幾次擴充?每一次擴充分別解決了哪些原來無法解決的問題?

設計意圖本節(jié)課的生長點是學生對數(shù)已經(jīng)建立的認知序,即學生已經(jīng)學習過一些數(shù)集.在此基礎之上,幫助學生梳理數(shù)系擴充的過程,了解數(shù)系擴充的歷史序,從而形成數(shù)系擴充的邏輯序.在此過程中,讓學生充分交流、合作、討論,感受到每一次擴充都要引入新數(shù).與此同時,感受到數(shù)系擴充是社會發(fā)展的需要,如計數(shù)、平均分配、測量等；同時也是數(shù)學內(nèi)部發(fā)展的需要,如不夠減了、不能整除了、不能開方了等,從而完成數(shù)系擴充：

問題4這幾次數(shù)系的擴充有什么共同特征?

設計意圖引導學生通過對前幾次數(shù)系擴充的歸納與梳理,感受到數(shù)系擴充的合理性,并能提煉出數(shù)系擴充的一般原則:① 引入新數(shù);② 在新的數(shù)集中,原有的運算及其性質(zhì)仍然適用,同時解決了某些運算在原來數(shù)集中不是總可以實施的矛盾，為數(shù)系的再一次擴充以及如何擴充打好了堅實的基礎.同時,有利于培養(yǎng)學生的歸納、概括與表達能力.由此,突破本節(jié)課的一個難點.

綜上所述：食管癌放射治療患者接受優(yōu)質(zhì)護理干預后，并發(fā)癥發(fā)生率，減輕不適；因此，值得在臨床護理工作中采納與應用。

問題5為了解決負數(shù)開平方問題,實數(shù)集應怎樣擴充呢?

設計意圖尋找一個數(shù)的平方等于-1,讓“引入新元i”水到渠成.再規(guī)定:① i2=-1;② 實數(shù)可以與i進行四則運算,進行四則運算時,原有的加法、乘法運算律仍然成立，從而實數(shù)集得以擴充.同時,介紹新元i的200多年的發(fā)展史,使學生們體會在知識發(fā)現(xiàn)過程中的數(shù)學思想、方法和數(shù)學精神,感受到濃厚的數(shù)學文化氣息.

3.以“否定之否定”聯(lián)系“意義賦予”,幫助學生掌握復數(shù)

問題6虛數(shù)單位i和實數(shù)進行四則運算后,可產(chǎn)生新的數(shù),請舉例.能否歸納出其一般形式?

設計意圖學生利用新知嘗試寫出含有i的一些新數(shù),追問:“這些數(shù)中,你覺得哪些可以歸為一類?”“其一般形式是什么?”學生通常會先發(fā)現(xiàn)bi,再發(fā)現(xiàn)a+bi(b≠0)，但會遺漏實數(shù).接著追問:“會不會產(chǎn)生2,3…?”“你覺得哪個形式把剛才所寫的數(shù)都包含在內(nèi)?”引導學生由特殊到一般,從而概括出復數(shù)的代數(shù)形式a+bi(a,b∈R),并學習復數(shù)的有關概念,從而完成從實數(shù)集到復數(shù)集的擴充.追問:“請說出剛剛所舉復數(shù)的實部、虛部分別是什么?”“能否根據(jù)某個特征對復數(shù)進行分類?”引導學生由實數(shù)a,b的不同取值對復數(shù)進行分類,即

從而深化復數(shù)概念,攻克本節(jié)課的重點,數(shù)系擴充表得以完善.

4.精選例題,學以致用

為了檢測學生對復數(shù)有關概念的理解,設置了下列四組練習:

(1)若a,b為實數(shù),則z=a+bi為虛數(shù)；

(2)若b為實數(shù),則z=bi為純虛數(shù)；

(3)若b=0,則z=a+bi為實數(shù).

設計意圖這個診斷性練習出現(xiàn)在學生自主歸納出復數(shù)的分類后,及時鞏固對復數(shù)分類的理解.學生口答,屬于容易題.

例2請用韋恩圖表示出數(shù)集N,Z,Q,R,C的關系?

設計意圖例2主要是前后照應,采用概念同化的方式完善認知結構,用符號語言重現(xiàn)數(shù)系擴充的過程,像樹的年輪一樣在生長.

例3實數(shù)m取什么值時,復數(shù)z=m(m-1)+(m-1)i是(1)實數(shù)?(2)虛數(shù)? (3)純虛數(shù)?

設計意圖讓學生熟悉復數(shù)的分類標準,在解決問題的過程中內(nèi)化復數(shù)有關概念,起到及時反饋、學以致用的功效.并追問:例3中m取什么值時,復數(shù)z是0?是6+2i?學生根據(jù)其學習經(jīng)驗能夠自主解決,進而得到復數(shù)相等的概念.

例4已知(x+y)+(x-2y)i=(2x-5)+(3x+y)i,求實數(shù)x,y的值.

設計意圖強化復數(shù)相等的充要條件,并在解決問題過程中讓學生初步感受到復數(shù)問題可以化歸為實數(shù)問題.

今天我們從數(shù)系擴充的角度引入新元,解決了實數(shù)集內(nèi)負數(shù)不能開平方問題,進而學習了復數(shù)的有關概念.

5.小結收獲,理性升華

通過本節(jié)課的學習,你學到了什么?

設計意圖學生總結,教師提煉,在課堂交流中形成總結的模式和反思的習慣.

五、教學反思

本節(jié)課的教學設計，圍繞 “本立而道生”這一核心思想,緊抓三條主線:數(shù)學史、學習方法和學生活動.

1.數(shù)學史滲透整節(jié)課,體現(xiàn)數(shù)學的文化內(nèi)涵

筆者從學生已有的知識基礎(常見的數(shù)集)出發(fā),再現(xiàn)歷史上數(shù)學家卡爾丹的問題,讓學生經(jīng)歷與數(shù)學大師一起發(fā)現(xiàn)問題、思考問題、解決問題的過程,感受到小小的“i”硬是經(jīng)過了兩個世紀的努力才被人接受.數(shù)學并不神秘,只要我們跳出原有的舊框框,一片更為廣闊的數(shù)學天地便盡收眼底……數(shù)學的文化內(nèi)涵在歷史的脈絡中體現(xiàn)得淋漓盡至,學生學到的不僅是知識,還感受到濃濃的數(shù)學文化氣息.

2.數(shù)學方法貫穿整節(jié)課,體現(xiàn)數(shù)學的思想內(nèi)涵

數(shù)學作為一門具有嚴密的邏輯性的科學體系,以學術形態(tài)存在,具有抽象性、邏輯性和系統(tǒng)性,蘊含著豐富的思想方法.學生在理解、把握數(shù)學知識中,不僅僅是記憶形式上的數(shù)學知識,更重要的是領會以數(shù)學知識為載體的數(shù)學思想方法,諸如類比思想、化歸思想等.

從實數(shù)系到復數(shù)系的擴充與前3次數(shù)系擴充必然有類似之處,其擴充方法也必然有相似之處.筆者設計問題串,引領學生追溯數(shù)的發(fā)展歷史,類比前幾次數(shù)系的擴充,讓學生在知識發(fā)生過程中進行“火熱的思考”,實現(xiàn)“再創(chuàng)造”,抽象概括出數(shù)系擴充的原則.實數(shù)可以根據(jù)某個特征進行分類，類似地,復數(shù)能否分類?如何分類?在此過程中,學生不僅僅是實現(xiàn)了數(shù)系的擴充、復數(shù)的分類,更重要的是通過“火熱的思考”、“再創(chuàng)造”,體會到新舊知識在研究方法上的一致性,形成數(shù)學學習的一貫方法.

3.學生活動串聯(lián)整節(jié)課,體現(xiàn)數(shù)學的人本精神

人們的認識過程是從感性到知性再到理性的,因而要形成理性認識,必須依賴于感性的體驗到知性的理解.從虛數(shù)的“生長”過程來看,是一個從無到有、從疑惑到接受、從模糊到清晰、從片面到完善的過程.只有學生親身“經(jīng)歷”這一歷史過程,才能消除學生對復數(shù)的疑惑:復數(shù)是什么?為什么要引入?怎么引入?引入后有什么用?

筆者引導學生主要進行兩次活動:一是切合自己從一年級起至今的學習經(jīng)歷,回顧依次遇到的數(shù)集,思考數(shù)集擴充的原因以及每一次擴充解決了哪些原本無法解決的問題,再小組交流;二是虛數(shù)單位i與實數(shù)可構成哪些新的數(shù)?同時,小組成員討論:這些新的數(shù)從形式看有什么特征?其一般形式是什么?可以怎么分類?這兩次活動設計,讓學生在探究中自主形成概念,有利于培養(yǎng)學生科學品質(zhì)和創(chuàng)新精神.