張 兵

(江蘇省豐縣民族中學(xué)，221700)

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高中數(shù)學(xué)不等式的教學(xué)策略

張 兵

(江蘇省豐縣民族中學(xué)，221700)

不等關(guān)系與相等關(guān)系都是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量之間的相互關(guān)系,在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中占有重要的地位,同時(shí)也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)之一.因此,對不等式教學(xué)的研究一直受到數(shù)學(xué)教師的關(guān)注．但在實(shí)際教學(xué)過程中,教師往往側(cè)重于不等式的證明與性質(zhì)內(nèi)容的應(yīng)用,而對在實(shí)際問題中引導(dǎo)學(xué)生抽象出不等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型,建立不等關(guān)系的觀念的教學(xué)重視不夠.本文結(jié)合個(gè)人的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勛约旱囊恍┳龇ㄅc體會．

蘇教版高中課標(biāo)教材中幾乎每一部分內(nèi)容都涉及不等式的相關(guān)內(nèi)容.例如，求函數(shù)的定義域、值域問題,參數(shù)取值范圍問題，單調(diào)性問題;立體幾何中涉及線線、線面、面面所成的角問題；一元二次不等式及其解法，二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題，基本不等式及利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性、求值域，等等.從中可看出不等式的內(nèi)容在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性.而學(xué)生對不等式的熟練掌握與應(yīng)用不是一蹴而就的，需要老師在平時(shí)的教學(xué)過程中滲透不等關(guān)系的思想,潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生利用不等式解決問題的習(xí)慣．為了在實(shí)際教學(xué)中更加有效地使學(xué)生理解并正確利用不等式的性質(zhì)解決問題,個(gè)人的做法主要是根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況,設(shè)置恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)策略,立足課本、選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)模式,依據(jù)新課改的精神,引導(dǎo)學(xué)生在合作學(xué)習(xí)中掌握不等式的相關(guān)概念、性質(zhì)；并在此基礎(chǔ)上提高學(xué)生的利用這些概念、性質(zhì)解決問題的能力,達(dá)到解決問題的目的．

在實(shí)際教學(xué)中,為了培養(yǎng)學(xué)生在解決問題過程中運(yùn)用不等式的意識,更好地提高學(xué)生運(yùn)用不等式解決問題的思想,培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新的意識,教師應(yīng)始終把學(xué)生的自主學(xué)習(xí)放到第一位,引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、自我評價(jià)、自我鞏固，逐步形成運(yùn)用不等式解決問題的意識,不斷提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

一、數(shù)學(xué)結(jié)合的思想

華羅庚先生說過:“宇宙之大粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數(shù)學(xué).”數(shù)學(xué)是一切科學(xué)的工具，科學(xué)愈發(fā)達(dá)，需要的數(shù)學(xué)工具就愈多，哪里有‘形’，哪里有‘?dāng)?shù)’，哪里也就少不了數(shù)學(xué)． 數(shù)形結(jié)合是我們解決問題的重要方法,對數(shù)形結(jié)合的靈活運(yùn)用也反映了一個(gè)人的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．因此,在不等式教學(xué)中,教師要始終處理好數(shù)與形的關(guān)系,引導(dǎo)學(xué)生在解決問題時(shí)始終具有兩種思想,即通過數(shù)學(xué)表達(dá)式解決問題時(shí),一定清楚其相應(yīng)的圖形;同時(shí)在利用圖形解決問題時(shí)一定清晰其所代表的數(shù)學(xué)表達(dá)式．?dāng)?shù)形結(jié)合的本質(zhì)一方面是把抽象的問題形象化、具體化、把推理過程簡單化；另一方面用代數(shù)方法解決問題時(shí)避免幾何方法解決問題時(shí)帶來的局限性.兩者的完美結(jié)合是我們成功解決問題的關(guān)鍵所在,也使教師在教學(xué)中的必然行為．

解析解決這道試題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)畫出函數(shù)當(dāng)?shù)膱D象.

二、分類討論的思想

張景中院士在《什么是“教育數(shù)學(xué)”》一文中指出:面對不同的情況給出不同的化解方法,全面考慮問題,這就是分類討論思想．分類討論的思想就是為了解決問題,我們往往會根據(jù)問題的條件不同情況進(jìn)行分類,再對每種情況分別討論,逐步解決問題,最后進(jìn)行概括和歸納,解決整個(gè)問題．分類討論的目的是把問題難點(diǎn)進(jìn)行分解,有利于學(xué)生解決問題．為了更好地幫助學(xué)生掌握分類討論的思想解決問題,實(shí)際教學(xué)實(shí)踐中,教師要引導(dǎo)學(xué)生分析問題的條件,通過條件引導(dǎo)學(xué)生探究解決問題的方法及思路,使學(xué)生在已有的知識的基礎(chǔ)上解決問題,使學(xué)生做到有“法”可依,有“規(guī)”可尋．例如，對含參數(shù)的不等式及含絕對值的不等式,往往需要根據(jù)題目中的給出的條件,解決問題時(shí)將其在不同條件下分別加以討論、解決,充分地體現(xiàn)了分類討論的思想．

例2設(shè)a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=2x2+(x-a)|x-a|.

(1)若f(0)≥1,求a的取值范圍;

(2)求f(x)的最小值;

解析本小題所給題目中既含有參數(shù)又含有絕對值,解決問題的主要思路是依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)、圖象及解一元二次不等式等基礎(chǔ)知識,靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法解決問題．

(1)由f(0)=-a|a|≥1，得

(2)當(dāng)x≥a時(shí),f(x)=3x2-2ax+a2,

當(dāng)x≤a時(shí),f(x)=x2+2ax-a2,

三、轉(zhuǎn)化、化歸的思想

涂榮豹、王光明、寧連華在《新編數(shù)學(xué)教學(xué)論》中認(rèn)為：化歸思想是中學(xué)數(shù)學(xué)四個(gè)最基本且最重要的數(shù)學(xué)思想之一．在處理不等式的問題時(shí)我們經(jīng)常遇到無理不等式、分式不等式、高次不等式、對數(shù)不等式、指數(shù)不等式的問題.應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生審視不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),根據(jù)同解原理,把它們轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的一元一次不等式、一元二次不等式，并運(yùn)用基本不等式的常用方法進(jìn)行解題,這正是化歸思想所在．實(shí)踐表明,在高考中超過百分之八十的試題都與我們平時(shí)解決的問題相似或相仿.所以,在平時(shí)教學(xué)中,教師一定要抓牢學(xué)生的基礎(chǔ)知識,引導(dǎo)學(xué)生審視問題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),然后制定解決問題的轉(zhuǎn)化方法,培養(yǎng)其轉(zhuǎn)化、化歸的意識．在解題過程中,重要的思想就是引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)條件分析是否與我們已學(xué)過的知識相關(guān)聯(lián),進(jìn)一步尋求解決問題的方法與步驟．

例3已知函數(shù)f(x)=4x-2x,實(shí)數(shù)s,t滿足f(s)+f(t)=0,設(shè)a=2s+2t,b=2s+t.

(1)當(dāng)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-1,1]時(shí),求f(x)的值域;

(2)求函數(shù)關(guān)系式b=g(a),并求函數(shù)g(a)的定義域.

(2)由實(shí)數(shù)s,t滿足f(s)+f(t)=0,得

4s-2s+4t-2t=0,

即 (2s+2t)2-2×2s+t-(2s+2t)=0.

由a=2s+2t,b=2s+t,得

a2-2b-a=0,

故a≤2,當(dāng)且僅當(dāng)s=t時(shí)取得等號.

綜上，1

四、函數(shù)與方程的思想

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，使學(xué)生感受運(yùn)用函數(shù)概念建立模型的過程和方法,體會函數(shù)在數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中的重要性,初步學(xué)會運(yùn)用函數(shù)思想理解和處理現(xiàn)實(shí)生活中的簡單問題．由此看來,函數(shù)與方程的思想是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要思想之一．雖然函數(shù)與方程是兩個(gè)不同的概念,但是我們利用函數(shù)解決問題時(shí)往往考慮函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)情況,即函數(shù)的零點(diǎn)問題．實(shí)踐表明,在解決問題時(shí),函數(shù)與方程的思想在解決不等式的相關(guān)問題中往往發(fā)揮了重要作用．因此,在解決不等式問題時(shí),需要把不等式的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,利用函數(shù)與方程的思想解決問題．

解析通過數(shù)學(xué)中減元的思想,把問題轉(zhuǎn)化為含有一個(gè)未知量的關(guān)系式,再利用求導(dǎo)的方法進(jìn)行解決問題．

由于y>0,所以有x>1.