江蘇省海門市能仁中學(226100) 仇建新

南通市中考數(shù)學“壓軸題”之探究與思考—2016年8月暑期能仁教育集團研訓中考試題分析

江蘇省海門市能仁中學(226100) 仇建新

【2012—2016年南通市中考數(shù)學第27題回放】

1.(2012年南通27題12分)如圖,在△ABC中,AB=AC=10cm,BC=12cm,點D是BC邊的中點.點P從點B出發(fā),以acm/s(a＞0)的速度沿BA勻速向點A運動:點Q同時以1cm/s的速度從點D出發(fā),沿DB勻速向點B運動,其中一個動點到達端點時,另一個動點也隨之停止運動,設(shè)它們運動的時間為ts.

圖1

(1)若a=2,△BPQ∽△BDA,求t的值:

(2)設(shè)點M在AC上,四邊形PQCM為平行四邊形.

②是否存在實數(shù)a,使得點P在∠ACB的平分線上?若存在,請求出a的值:若不存在,請說明理由.

2.(2013年南通27題13分)如圖,在Rt△ABC中,是邊長為a(a為小于3的常數(shù))的等邊三角形,將△DEF沿AC方向平移,使點D在線段AC上,DE//AB,設(shè)△DEF與△ABC重疊部分的周長為T.

(1)求證點E到AC的距離為一個常數(shù):

(3)若點D運動到AC的中點處,請用含a的代數(shù)式表示T.

3.(2014年南通27題13分)如圖,矩形ABCD中,AB=3,AD=4,E為AB上一點,AE=1,M為射線A上一動點,AM=a(a為大于0的常數(shù)),直線EM與直線CD交于點F,過點M作MG⊥EM,交直線BC于G.

圖2

(1)若M為邊AD中點,求證:△EFG是等腰三角形:

(2)若點G與點C重合,求線段MG的長:

(3)請用含a的代數(shù)式表示△EFG的面積S,并指出S的最小整數(shù)值.

4.(2015年南通 27題 13分)如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=15,BC=9,點P,Q分別在BC,AC上,CP=3x,CQ=4x(0＜x＜3).把△PCQ繞點P旋轉(zhuǎn),得到△PDE,點D落在線段PQ上.

(1)求證PQ//AB:

(2)若點D在∠BAC的平分線上,求CP的長:

(3)若△PDE與△ABC重疊部分圖形的周長為T,且12≤T≤16,求x的取值范圍.

5.(2016年南通27題13分)如圖,△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,BC=12,CO⊥AB于點O.D是線段OB上一點,DE=2,ED//AC(∠ADE＜90°),連接BE、CD,設(shè)BE、CD的中點分別為P、Q.

(1)求AO的長:

(2)求PQ的長:

(3)設(shè)PQ與AB的交點為M,請直接寫出|PM-MQ|的值.

縱觀2012—2016年的數(shù)學“壓軸題”帶給我們的思考:

一、考題分值:

基本控制在12—13分,多數(shù)13分,只有2012年12分.

二、命題形式:

(1)以幾何綜合題為主,滲透代數(shù)知識與方法,關(guān)注幾何證題探究及幾何證明思路的同時,也側(cè)重于關(guān)注代數(shù)的運算,往往與150分(滿分)擦肩而過的不是28題,卻是27題,尤其第(3)問,關(guān)注并培養(yǎng)好孩子一定的運算能力、運算信心和與運算技巧等.近幾年命題形式、內(nèi)容呈現(xiàn):

(a)等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理或者由相似三角形的對應(yīng)邊成比例建立方程求線段的長:

(b)考查了圖形的運動,特殊三角形的判定和性質(zhì),分析出全程情況,再結(jié)合圖形的性質(zhì)求解:

(c)圍繞某個圖形(或重合部分)的周長或面積考查:

(d)由中點構(gòu)造三角形中位線,利用中位線的數(shù)量與位置關(guān)系等進行求解.

(2)最近五年27題以三角形或(特殊)四邊形—直線型居多,共有四年以純?nèi)切螢榛A(chǔ),一年(2014年)既有三角形又有四邊形,最終還是以三角形為主.因此,初中階段關(guān)注于三角形教學顯得更加重要,不容忽視其中考地位.

三、能級要求:

章建躍教授曾指出要讓學生解“真正的數(shù)學題”,并直言“好題”絕不是那種人為制造的“題目”,而應(yīng)該是“真正的數(shù)學題”.章教授認為“真正的數(shù)學題”應(yīng)該滿足一些基本條件,例如:反映數(shù)學的本質(zhì),與重要的數(shù)學概念和性質(zhì)相關(guān),不糾纏于細枝末節(jié),體現(xiàn)基礎(chǔ)知識和聯(lián)系性,解題方法自然、多樣,具有發(fā)展性,表述形式簡潔、流暢且好懂等等.從這個意義上講,上面涉及的五道壓軸題都符合“真正的數(shù)學題”,基本屬于原創(chuàng)題.

能級要求:C—D級,近幾年考查要求有所提升,而且難度系數(shù)在遞減(趨勢),難度在加強,D級居多,甚至于趕超28題,例如:2016年27題難度系數(shù)0.33,28題難度系數(shù)0.35.因此,平時教育學生不僅僅學會考試(智力因素),而且要了解并掌握命題老師的命題能級要求(意圖等),掌握必備的應(yīng)試技巧和心理因素等(非智力因素),這也往往影響了孩子中考考試優(yōu)異成績的正常發(fā)揮因素之一.

從5年的試題也看出,每年的能級要求在逐步增加,但需要我們堅守的是教學內(nèi)容的關(guān)注點,函數(shù)、方程與建模思想等思想不可少,教師的一種引導與數(shù)學基本思想、方法的滲透,讓學生真正理解萬變不離其宗.

四、命題方向:

近5年的中考試題都是以“直線型”(三角形、四邊形或特殊四邊形)為背景的幾何綜合題呈現(xiàn),借助于動態(tài)變化的形式,這類題孩子們看看有些后怕的.在探討動態(tài)問題時,首先要對運動過程做一個比較客觀、合理與全面的分析,弄清楚運動過程的來龍去脈以及其中的變量和常量.變量反映了運動變化(外在)關(guān)系,常量則是問題求解(內(nèi)在)的重要依據(jù),關(guān)鍵是抓住“不變的量”.其次,要分清運動過程中不同的變化關(guān)系,關(guān)注“臨界點或值”,這一點決定了事物變化(本質(zhì))所遵循的規(guī)律,常常蘊含在數(shù)學解題中,凸出表現(xiàn)為不同的函數(shù)關(guān)系,滲透“建?！钡臄?shù)學思想,真正體現(xiàn)由“形”向“數(shù)”的轉(zhuǎn)化(化歸)過程.

從學生發(fā)展的觀點看,南通中考壓軸題都有很好的發(fā)展性和導向性.從初中數(shù)學的視角來看,如上所述,考查了初中階段所學的諸如函數(shù)、方程等重要知識點.同時又要求學生有扎實的數(shù)學功底、較強的分析問題和解決問題的能力,特別是問題的轉(zhuǎn)化和遷移能力.從高中數(shù)學的視角來看,試題為高中階段進一步學習方程、函數(shù)等知識奠定了基礎(chǔ).

當然,我們在平時的教學中也應(yīng)該敢于突破,一題多變,一題多法等,以“不變”應(yīng)“萬變”,相信這些都會對于學生的后繼發(fā)展帶來巨大的幫助.

五、教學建議:

1.瞻前顧后,厘清知識結(jié)構(gòu)

解決壓軸題,既需要扎實的基礎(chǔ)知識作功底,也需要縝密的思維分析問題,和靈活(多樣)的方法結(jié)合與處理,還需要概括、抽象的數(shù)學思想方法作統(tǒng)領(lǐng),所以以上各方面就需要足夠的數(shù)學知識與思想方法儲備,把握壓軸題在各個年級階段的不同內(nèi)容、不同的能級要求,能夠?qū)⑶昂蟮闹R結(jié)構(gòu)圖更加系統(tǒng)與合理,更加優(yōu)化與完善:考生還要有會中考應(yīng)試的技巧和方法,平時要訓練具備一定的應(yīng)試心理素質(zhì),這些也往往影響能否考試正常發(fā)揮.

2.以生為本,優(yōu)化認知結(jié)構(gòu)

認知結(jié)構(gòu)是指學習者頭腦里的知識結(jié)構(gòu),他們已有的全部觀念內(nèi)容和組織,簡單來說說是學生頭腦中的知識結(jié)構(gòu).

廣義上,認知結(jié)構(gòu)是學生已有的觀念的全部內(nèi)容及其組織:狹義地說,它是學生在某一學科的特殊知識領(lǐng)域內(nèi)的觀念的全部內(nèi)容及其組織.奧蘇貝爾提出了三個主要的影響有意義學習和遷移的認知結(jié)構(gòu)變量:觀念的可利用性、觀念的可辨別性和觀念的穩(wěn)定性與清晰性.個人的認知結(jié)構(gòu)是在學習過程中通過同化作用,在心理上不斷擴大并改進所積累的知識而組成的,學習者的認知結(jié)構(gòu)一旦建立,又成為他學習新知識的極重要的能量或因素.

學生解決“動態(tài)類”壓軸題時或多或少會感到有點困難,平時的教學中教師不該用相關(guān)(現(xiàn)成)課件代辦或包辦,讓學生在自然狀態(tài)下體會運動中“變”與“不變”,平時要有意識地培養(yǎng)和積累具有一定的活動經(jīng)驗,學會合理劃分運動中的各個階段(尤其關(guān)注臨界點與臨界值):體驗解法的靈活性與多樣性,不拘泥于某一種方法,體悟“一題多變”、“一題多解”,善于從不同角度(視野)解決同一問題,既要學會“分類”,還要學會“歸類”,最終能夠達到比較靈活地獨立解決和掌握“壓軸題”的基本套路和方法等.

3.立足四基,關(guān)注核心素養(yǎng)

四基:基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗:

數(shù)學的六大核心素養(yǎng):數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析.

平時的教學中,我們不僅僅關(guān)注孩子“雙基”(基礎(chǔ)知識、基本技能)的培養(yǎng),還要在留有課堂教學余地和時間同時,滲透數(shù)學“基本思想”的教學,關(guān)注課本“課題學習”、“閱讀與思考”與“數(shù)學活動”等教學.讓學生“活”起來,不僅僅體現(xiàn)在課堂上的熱鬧(外顯),更應(yīng)關(guān)注學生們的基本活動經(jīng)驗(內(nèi)顯)的交流、分享與體驗等等.作為教師不僅僅教會學生解題,更應(yīng)該學會與學生的及時溝通交流、質(zhì)疑互動,還要相互取長補短,互進互長,不斷優(yōu)化教學策略與方法等.初中(三年)階段的教學,不僅僅關(guān)注課堂內(nèi)的教學,還要關(guān)注課堂外的拓展與延伸.我們深知,培養(yǎng)與提升初中數(shù)學的核心素養(yǎng)并非一朝一夕,這不僅僅需要用心、細心,更需要耐心、恒心等.

回想?yún)⒓?016年7月5日—7日(暑期檔),李庾南老師“自學·議論·引導”海門市實驗區(qū)數(shù)學教師培訓會議上,南通市數(shù)學教研員袁亞良老師明確指出:在歷年難度基本不變,題量基本不變,命題原則基本不變(維穩(wěn))的前提下,改進南通中考數(shù)學命題思路和套路迫在眉睫!命題改革要“三化”,即:題型設(shè)置力求多樣化、破解壓軸考題程式化、引領(lǐng)解題教學科學化.因此,給我們的師生明確了新目標和要求的同時,思考如何面對新的機遇和挑戰(zhàn)?如何傳承并發(fā)揚新教育理念……需要實踐中創(chuàng)新,且行且思考!