王海任，李 忱，苗亞男，趙 麗

(1.太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原 030024；2.山西省煤炭管理干部學(xué)院，太原 030006)

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平面問題各向同性彈性非線性本構(gòu)方程

王海任1，李 忱1，苗亞男1，趙 麗2

(1.太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原 030024；2.山西省煤炭管理干部學(xué)院，太原 030006)

基于張量函數(shù)得到的非線性各向同性材料的本構(gòu)方程是完備的，不可約的。張量不變量、標(biāo)量不變量表示的張量本構(gòu)方程雖然在任意坐標(biāo)系下都成立、具有普適性，但是實際應(yīng)用仍需要轉(zhuǎn)換到特定坐標(biāo)系，才能和幾何方程、平衡方程一起，組成完備的方程組求解彈性力學(xué)問題。將不變量表示的各向同性非線性本構(gòu)方程，退化到笛卡爾直角坐標(biāo)系下，推導(dǎo)出各向同性材料平面問題(平面應(yīng)力與平面應(yīng)變)的應(yīng)力-應(yīng)變方程，得到的本構(gòu)方程是非線性的，并且將方程退化為線性與胡克定律比較研究。

各向同性；平面問題；非線性；本構(gòu)方程

材料的本構(gòu)關(guān)系研究，是當(dāng)前變形體力學(xué)研究的熱點(diǎn)問題之一，對于不同的研究對象，只有給出正確的本構(gòu)關(guān)系，才有可能客觀的反映出研究問題的本質(zhì)。在實際應(yīng)用中，本構(gòu)關(guān)系是材料和結(jié)構(gòu)強(qiáng)度設(shè)計、壽命安全評估的基礎(chǔ)。為此，需要給出描述材料力學(xué)性質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系。實際問題一般都是三維問題，為簡化計算，可以利用研究對象幾何形狀特點(diǎn)與受力特點(diǎn)，將三維問題簡化到平面域進(jìn)行求解。例如，田雪坤等[1]在推導(dǎo)球坐標(biāo)下的非線性熱彈性本構(gòu)方程時，將應(yīng)變與位移進(jìn)行簡化，在簡化應(yīng)力計算時，引入了沿板殼厚度的積分來表示力和力矩，從而將三維問題轉(zhuǎn)化為平面問題。平面問題的基本方程通常包括：平衡微分方程，幾何方程，本構(gòu)方程，變形協(xié)調(diào)方程，邊界條件的描述，方程的求解方法等。近十幾年來，平面問題依然是許多研究者的研究重點(diǎn)。例如，蘇成等[2]推導(dǎo)了兩邊簡支無限長薄板的彎曲問題并且得到了平面應(yīng)力問題的基本解；吳成勇等[3]利用應(yīng)變和函數(shù)方法，對平面應(yīng)力問題進(jìn)行求解；袁訓(xùn)鋒等[4]在平面應(yīng)力狀態(tài)下研究切應(yīng)力最值的問題；任珊等[5]從三維空間問題出發(fā)，推導(dǎo)平面問題按應(yīng)力求解需要滿足的條件，得到了空間問題可以簡化為平面問題的幾種情況；李芳等[6]在研究結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計問題時，考慮研究對象的2維平面結(jié)構(gòu)，提出利用虛擬層合單元進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化的方法對平面應(yīng)力問題進(jìn)行結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化；董春亮等[7]從平面應(yīng)力狀態(tài)問題分析方法入手，提出了一種基于應(yīng)力圓的平面應(yīng)力問題的新解法，等等?？梢钥闯?，以上平面問題的研究，大多局限于方程的平面問題求解方法以及實際應(yīng)用問題,并不涉及到本構(gòu)(物理)方程的研究。研究物質(zhì)的宏觀力學(xué)行為僅有變形和運(yùn)動的幾何描述及守恒定律，不能構(gòu)成數(shù)學(xué)物理(初)邊值問題的完整提法，因為僅有幾何描述和守恒定律所給出的方程個數(shù)總少于需要確定的未知數(shù)個數(shù)。本文根據(jù)李忱推導(dǎo)出的非線性各向同性材料的不變量表示的本構(gòu)方程[8]，推導(dǎo)笛卡爾直角坐標(biāo)系下各向同性材料平面問題(平面應(yīng)力與平面應(yīng)變)下的應(yīng)力-應(yīng)變方程，得到包含完備不可約彈性常數(shù)的各向同性材料非線性平面問題本構(gòu)方程。

1 張量形式本構(gòu)方程

張量函數(shù)的完備和不可約表示，包含了非線性本構(gòu)方程一般且協(xié)調(diào)一致不變形形式，規(guī)定了所引入標(biāo)量變量的數(shù)目和類型，明確了獨(dú)立的彈性張量形式。張量函數(shù)在建立描述非線性材料力學(xué)行為模型的過程中尤為有效。因為，不變性條件在張量函數(shù)中起到了支配性作用，“不變”是張量及張量函數(shù)的本質(zhì)的特性。Wineman和pipkin[9,10]曾證明，張量多項式的完備表示均可以看作是一般張量函數(shù)的完備表示，但這種完備的表示絕大多數(shù)情況下并不是可約的。李忱在研究非線性本構(gòu)理論時，采用“構(gòu)造性證明”的方法，給出了各向同性材料的彈性張量本構(gòu)方程，并且由于采用構(gòu)造性方法，其多項式表示是完備、不可約的。由共軛的應(yīng)力-應(yīng)變張量K-E表示的非線性彈性本構(gòu)方程為[11]：

K=K(1)+K(2)+K(3)+K(4)=φ01+2φ1E+3φ2E2=

(1)

其中：

(2)

式(1)的分量形式為：

(3)

2 平面問題

平面問題的特點(diǎn)是物體所受的面力和體力及其應(yīng)力與某一個坐標(biāo)軸無關(guān)[12]。平面問題可以分為平面應(yīng)力問題，平面應(yīng)變問題，廣義平面應(yīng)力問題，廣義平面應(yīng)變問題，本文研究的主要是簡單的平面應(yīng)力與平面應(yīng)變問題。

2.1 平面應(yīng)力狀態(tài)

由彈性理論可知，平面應(yīng)力狀態(tài)下，應(yīng)力張量與應(yīng)變張量分別表示為：

應(yīng)力張量分量：

(4)

應(yīng)變張量分量 ：

(5)

(6)

將式(6)代入式(3)，合并同類項并化簡，省略3階以上高階項，分別得到平面應(yīng)力狀態(tài)下各應(yīng)力分量的表達(dá)式為：

(7)

(8)

(9)

(10)

2.2 平面應(yīng)變狀態(tài)

對于平面應(yīng)變狀態(tài)，此時的應(yīng)力張量與應(yīng)變張量可以表示為：

應(yīng)力張量：

(11)

應(yīng)變張量：

(12)

(13)

將式(13)代入到式(3)，合并同類項并化簡，省略3階以上高階項，分別得到平面應(yīng)變狀態(tài)下各應(yīng)力分量的表達(dá)式為：

(14)

(15)

(16)

(17)

3 本構(gòu)方程的退化及其與胡克定律的比較

由上面可以看出：式(1)退化為平面問題條件下的本構(gòu)方程，也是十分復(fù)雜的。但是如果我們引入彈性力學(xué)的一般假定，即材料是連續(xù)的，物體為均勻的各向同性，小變形狀態(tài)，初始狀態(tài)為無應(yīng)力的自然狀態(tài)，可以將得到的本構(gòu)方程進(jìn)一步退化為線性，得到如下線性本構(gòu)關(guān)系：

3.1 平面應(yīng)力狀態(tài)

將得到的平面應(yīng)力狀態(tài)下的非線性本構(gòu)方程截取線性部分，如下式所示：

σ11=k1(ε11+ε22+ε33)+2k2ε11

(18)

σ22=k1(ε11+ε22+ε33)+2k2ε22

(19)

σ22=k1(ε11+ε22+ε33)+2k2ε22

(20)

σ12=2k2ε12

(21)

通過觀察，我們發(fā)現(xiàn)此時的本構(gòu)關(guān)系里僅僅含有k1和k22個獨(dú)立的彈性常數(shù)。由平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力狀態(tài)可知，此處的σ33=0，由此，我們得到：

σ22=k1(ε11+ε22+ε33)+2k2ε33

(22)

繼而可以得到：

(23)

由式(23)可以看出，在平面應(yīng)力狀態(tài)下，ε33并不獨(dú)力，與ε11和ε22有確定的函數(shù)關(guān)系，這也意味著，在某一個確定的應(yīng)力狀態(tài)下，ε33是確定不變的，這個結(jié)果與現(xiàn)有文獻(xiàn)[13]得到的結(jié)論一致。

此時將ε33的表達(dá)式(23)代入σ11,σ22和σ12的表達(dá)式(18)、 (19) 、(21)中，得到：

(24)

(25)

σ22=2k2ε12

(26)

胡克定律在平面應(yīng)力情況下應(yīng)力分量與應(yīng)變分量的關(guān)系為：

(27)

(28)

τxy=Gγxy

(29)

根據(jù)小變形情況下的應(yīng)變量矩陣形式關(guān)系：

(30)

可知：

(31)

對比退化的本構(gòu)方程與胡克定律可以發(fā)現(xiàn)：

(32)

(33)

k2=G

(34)

最終可以得到：

(35)

同時可以推出：

(36)

3.2 平面應(yīng)變狀態(tài)

平面應(yīng)變狀態(tài)下非線性本構(gòu)方程退化后的線性本構(gòu)方程為：

σ11k1(ε11+ε22)+2k2ε11

(37)

σ22k1(ε11+ε22)+2k2ε22

(38)

σ33k1(ε11+ε22)

(39)

σ12=2k2ε11

(40)

平面應(yīng)變狀態(tài)下胡克定律表達(dá)形式為：

(41)

(42)

(43)

τxy=Gγxy

(44)

參考式(30)，對比平面應(yīng)變兩個本構(gòu)方程，可以得到：

(45)

根據(jù)σ33=k1(ε11+ε22)重新計算σ33的表達(dá)式可以得到：

(46)

此式直接證明了σ33不是一個獨(dú)立的量，可以由σ11和σ22求出，與現(xiàn)有彈塑性力學(xué)教材中的結(jié)論一致[14]。

同樣的，可以利用如上方法，選擇將平面問題下的本構(gòu)方程 退化到更高次非線性，可以得到更加精確的高次非線性彈性本構(gòu)方程。在具體使用過程中，可以依據(jù)具體問題的精度要求酌情選擇方程非線性的次數(shù)。

4 討論與結(jié)論

根據(jù)從張量角度得到的完備多項式形式的本構(gòu)方程，退化為平面問題下的非線性本構(gòu)方程，通過再次退化得到的線性彈性本構(gòu)方程與胡克定律的比較，證明了由非線性彈性本構(gòu)方程退化得到線性部分與胡克定律是一致的。非線性本構(gòu)方程具有14個獨(dú)立的彈性常數(shù)，線性本構(gòu)方程具有2個獨(dú)立的彈性常數(shù)，而且通過比較也可以得到本文線性獨(dú)立常數(shù)與胡克定律的兩個獨(dú)立常數(shù)之間的關(guān)系。其他彈性系數(shù)以及方程非線性部分，是經(jīng)過完備的不可約的非線性彈性張量本構(gòu)方程推導(dǎo)得到的，可以通過具體實驗得到其他彈性系數(shù)的數(shù)值，并且在實際應(yīng)用過程中，可以依據(jù)具體問題的精度要求合理選擇非線性方程的階數(shù)。

[1] 田雪坤, 李忱, 王海任,等. 球坐標(biāo)非線性熱應(yīng)力本構(gòu)方程[J]. 太原科技大學(xué)學(xué)報, 2014,35(6):464-468.

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[3] 吳成勇, 李章政, 蔣國賓,等. 用應(yīng)變和函數(shù)法解平面應(yīng)力問題[J]. 四川大學(xué)學(xué)報：工程科學(xué)版, 2004, 35(5):96-98.

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[14] 陸明萬,羅學(xué)富. 彈性理論基礎(chǔ)[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2001.

TheIsotropic Non-linear Elastic Constitutive Equations of Plane Problem

WANG Hai-Ren1, LI Chen1, MIAO Ya-Nan1, ZHAO Li2

(1.Taiyuan University of Science &Technology, Taiyuan 030024, China; 2.Shanxi Coal Mining Administrators College, Taiyuan 030006, China)

The non-linear constitutive equation of isotropic material on the basis of tensor functions is complete and irreducible. The function expressed by tensor invariants and scalar invariants is correct and universal in arbitrary coordinate. It still needs to be converted into a specific coordinate system, if we want to solve the problems in the practical application. Tensor constitutive equation is degenerated to Cartesian rectangular coordinate system. The stress and strain relationship about the plane problem (plane stress and plane strain) of isotropic materials is derived. These constitutive equations are nonlinear, and these equations are reduced to linear and compared with Hooke's law.

isotropic, plane problem, nonlinear, constitutive equation

1673-2057(2016)05-0495-05

2015-10-14

國家自然科學(xué)基金項目(11372207)；山西省自然科學(xué)基金(2013011005-4)

王海任(1988- )男，碩士研究生，主要研究方向高溫材料力學(xué)行為。通信作者：李忱教授，E-mail:tydz_lc@126.com

O343.5

A

10.3969/j.issn.1673-2057.2016.06.015