劉渝琳，鄭效晨

(1.重慶大學公共管理學院，重慶 400030； 2.重慶大學公共經(jīng)濟經(jīng)濟與

公共政策研究中心，重慶 400030；3.重慶大學經(jīng)濟與工商管理學院，重慶 400030)

?

基于通貨膨脹和風險偏好視角的資產(chǎn)配置研究

劉渝琳1,2，鄭效晨3

(1.重慶大學公共管理學院，重慶 400030； 2.重慶大學公共經(jīng)濟經(jīng)濟與

公共政策研究中心，重慶 400030；3.重慶大學經(jīng)濟與工商管理學院，重慶 400030)

不確定條件下的資產(chǎn)配置問題無論對于學術研究還是投資行為都具有重大的理論和實際意義。本文選取廣義范圍上的現(xiàn)金、股票、債券作為投資者進行資產(chǎn)配置的產(chǎn)品，在CRRA(Constant Relative Risk Aversion)和HARA(Hyperbolic Absolute Risk Aversion)兩種偏好假設下，分別求出了投資者效用最大化時的最優(yōu)財富以及最優(yōu)資產(chǎn)組合中各資產(chǎn)的權(quán)重，并比較分析了兩種偏好假設下通貨膨脹、風險偏好、投資期限三種因素對資產(chǎn)配置的影響。研究結(jié)論表明：通貨膨脹會影響股票和債券的風險溢價，進而影響最優(yōu)資產(chǎn)組合中各資產(chǎn)的權(quán)重；股票的權(quán)重不會受投資期限的影響，在通貨膨脹率和風險偏好不變時，其值始終為一常數(shù)，但債券和現(xiàn)金的權(quán)重則由投資期限、通貨膨脹和風險偏好共同決定；此外，在CRRA和HARA偏好假設下，以上三種因素對資產(chǎn)配置的影響存在較大差異，特別是在HARA框架下存在買空行為。

資產(chǎn)配置；最優(yōu)資產(chǎn)組合；通貨膨脹；風險偏好；投資期限

1 引言

近年來，關于金融資產(chǎn)配置的問題逐漸成為學術界及業(yè)界研究的熱點，如何在不確定條件下使投資者的效用達到最大化是學者們研究的重點和最終目的。特別是在通貨膨脹條件下，面對風險偏好不同的投資者，如何提供有效且有針對性的資產(chǎn)配置建議也是投資機構(gòu)所面臨的主要問題。以Campbell[1]的綜述文章為標志，家庭金融逐漸成為金融領域研究的主要方向，并在養(yǎng)老、股市參與、資產(chǎn)分散化、房地產(chǎn)投資、貧富差距改善等方向有了一定成果[2]。而家庭投資決策則是家庭金融中最重要的內(nèi)容之一，主要包括家庭的市場參與決策、投資組合分配決策、具體交易決策等[3]。目前大多數(shù)學者從風險偏好視角研究資產(chǎn)配置問題[4-6]，但很少有學者同時從通貨膨脹和風險偏好兩個角度去研究家庭資產(chǎn)配置，在研究過程中，也很少有文章細化到各種金融資產(chǎn)權(quán)重的求解。因此，本文基于通貨膨脹和風險偏好的雙重視角研究了家庭資產(chǎn)配置，從而全面考量宏觀層面的經(jīng)濟風險和微觀個體的風險偏好對資產(chǎn)配置的綜合影響，與此同時求出了最優(yōu)資產(chǎn)組合中各金融資產(chǎn)權(quán)重的閉合解，這是本文的第一個貢獻。

本文的第二個貢獻是從效用偏好函數(shù)視角研究通貨膨脹對資產(chǎn)配置的影響。確定最優(yōu)資產(chǎn)組合中各資產(chǎn)的權(quán)重是資產(chǎn)配置問題研究的重點。雖然Samuelson[7]和Merton[8]求解了CRRA偏好假設下的最優(yōu)投資策略，但由于通貨膨脹因素的存在，股票和債券的風險溢價會發(fā)生變化，致使最優(yōu)資產(chǎn)組合中資產(chǎn)權(quán)重發(fā)生改變。盡管Campbell和Viceira[9]，Brennan和Xia Yihong[10]，Munk等[11]從不同視角研究了通貨膨脹對資產(chǎn)配置的影響，但從效用偏好函數(shù)視角研究通貨膨脹對資產(chǎn)配置的文獻為數(shù)不多，這是本文的另一個貢獻。

本文的第三個貢獻在于比較分析了不同偏好假設下的最優(yōu)資產(chǎn)組合。以往文獻幾乎都選取單一效用偏好函數(shù)(CRRA或HARA)，雖然Bajeux-Besnainou等[12]在CRRA模型上求解了HARA偏好假設下的最優(yōu)投資策略，但并未對兩種偏好假設進行比較，也未進行數(shù)值模擬分析。本文同時選取CRRA和HARA兩種效用函數(shù)研究了不同風險偏好與資產(chǎn)配置之間的關系，目的在于全面分析不同偏好假設對投資策略的影響。此外，在研究結(jié)果上本文得出的一些結(jié)論也與以往文獻有一定差異。如在研究投資期限對最優(yōu)資產(chǎn)組合中權(quán)重的影響時會出現(xiàn)買空行為，但是買空行為出現(xiàn)的趨勢是與Bajeux-Besnainou等[13]的研究相反的。

2 基本模型與假設

假設在連續(xù)時間0到T上，市場是無摩擦、無風險套利的，此時投資者可以將財富配置于現(xiàn)金、股票和債券三種資產(chǎn)上，并且在時間t時(t介于0到T的閉區(qū)間)三種資產(chǎn)的價格分別為Mt，St和Bt。

2.1 現(xiàn)金

假設t時刻的現(xiàn)金價格Mt滿足以下隨機過程：

dMt/Mt=rtdt

(1)

其中，rt是即時名義利率，為文章中唯一的狀態(tài)變量，滿足以下奧恩斯坦—奧倫貝克過程(Ornstein-Uhlenbeck Process)：

(2)

2.2 股票

假設t時刻的股票價格St滿足以下隨機微分方程：

dSt/St=(rt+ξS)dt+σ1dz+σ2dzr

(3)

其中，ξS是股票的風險溢價；σ1和σ2代表股票價格指數(shù)的波動度，二者均為正數(shù)；dz和dzr是兩個彼此正交的布朗運動過程。

2.3 債券

假設t時刻零息債券的價格Bt滿足以下微分方程：

dBt/Bt=(rt+ξB)dt+σBdzr

(4)

其中，ξB代表債券的風險溢價；σB是債券價格指數(shù)的波動度，與股票價格指數(shù)一樣，通常假定為正數(shù)。在不含通貨膨脹的條件下，ξB和σB滿足以下關系：

ξB=θrσB

(5)

其中，θr代表利率風險的市場價格。

根據(jù)Vasicek[14]的研究，當債券的投資期限τ固定時，σB與τ存在以下關系：

σB=σr(1-e-arτ)/ar

(6)

其中，(1-e-arτ)/ar是債券價格相對于短期利率的彈性，通常用利率未定權(quán)益的久期D予以表示。

2.4 通貨膨脹率

假設π代表通貨膨脹率，Pt代表t時刻商品的價格，此時Pt遵循以下隨機過程：

dPt/P=πdt+σπdzπ

(7)

與利率分析一樣，通貨膨脹率π同樣滿足奧恩斯坦—奧倫貝克過程：

(8)

因此，當考慮通貨膨脹因素時，債券和股票的風險溢價就會發(fā)生變化，這里我們僅考慮風險溢價和通貨膨脹呈線性關系的簡單情形。此時：

ξB=θrσB(1+π)

(9)

ξS=(θSσ1+θrσ2)(1+π)

(10)

其中，θS代表股票風險的市場價格。

2.5 增長最優(yōu)投資組合

首先定義一個包含股票及債券波動度的擴散矩陣M：

(11)

∑=MMT和∑-1分別表示方差—協(xié)方差矩陣和方差—協(xié)方差矩陣的逆矩陣。

接下來便可以構(gòu)建增長最優(yōu)投資組合H(T)。根據(jù)Merton[15]，H(T)可以表達成：

(12)

(13)

根據(jù)公式(9)-(11)，公式(13)可以寫成以下形式：

(14)

其中，wS和wB代表增長最優(yōu)投資組合中股票和債券的權(quán)重。

通過以上的假設可以將公式(12)寫成以下形式，并在后文分析中起到重要作用。

(15)

3 基于CRRA和HARA偏好假設下的最優(yōu)資產(chǎn)組合

3.1 CRRA偏好假設下的最優(yōu)資產(chǎn)組合

在CRRA偏好假設下，投資者的效用函數(shù)U(X)是遞增、凹性的，并且滿足稻田條件。此時，CRRA偏好假設下的效用函數(shù)可以表示為：

(16)

其中，X(t)代表t時刻投資者的財富；γ是風險厭惡系數(shù)，代表投資者的風險偏好，是一個固定常數(shù)。投資者的資產(chǎn)與增長最優(yōu)投資組合滿足以下鞅過程：

X(0)/H(0)=E[X(T)/H(T)]

(17)

其中，E代表條件期望；X(0)和H(0)分別代表投資者的初期財富和增長最優(yōu)投資組合的初始值。一般地，假設H(0)=1，因此公式(17)可以寫成：

E[X(T)/H(T)]=X(0)

(18)

因此，CRRA偏好假設下投資者的最優(yōu)效用函數(shù)可以表示成：

maxE[X(T)1-γ/1-γ]，約束條件為 E[X(T)/H(T)]=X(0)

(19)

下文最優(yōu)財富表達式中的X0與X(0)含義相同，基于以上分析，最優(yōu)資產(chǎn)組合問題最終變成了求解一個有約束條件的拉格朗日定理問題。假設X*(T)代表CRRA偏好假設下，投資者的效用函數(shù)達到最大化時的最優(yōu)財富，根據(jù)Cox和Huang[16]關于最優(yōu)財富的定義可以求出CRRA偏好假設下投資者的最優(yōu)財富X*(T)和拉格朗日乘數(shù)κ的大小。

(20)

根據(jù)公式(2)可知求出r(s)的值為：

(21)

(22)

Y(t)/H(t)=E[Y(T)/H(T)]=E[H(T)n-1]

(23)

由于Y(T)≡H(T)na.s.，Y(t)最終可以寫成以下形式：

Y(t)=H(t)E[H(T)n-1]

(24)

將公式(15)帶入公式(24)可得：

(25)

為方便理解，可以將公式(25)簡化成以下形式：

Y(t)=H(t)nE(eGn)

(26)

由于Gn是對數(shù)正態(tài)分布，因此公式(26)可以寫成：

(27)

通過觀察，公式(27)的指數(shù)部分可以用以下幾個函數(shù)來表示J(n-1)，K(σBar/σr)，L(r)以及時間的函數(shù)?(t)，即

Y(t)=H(t)n?(t)exp[J(n-1)K(σBar/σr)L(r)]

(28)

利用伊藤定理，可以將Y(t)表達成以下形式：

dY(t)/Y(t)=ndH(t)/H(t)+J(n-1)K(σBar/σr)dr+[·]dt

(29)

其中，[·]代表確定因子。因此根據(jù)公式(2)和(4)，公式(29)可以寫成：

dY(t)/Y(t)=ndH(t)/H(t)+J(n-1)K(σBar/σr)(σr/σB)dBt/Bt+[·]dt

(30)

通過觀察不難發(fā)現(xiàn)J(n-1)等于n-1，而K(σBar/σr)等于σBar/σr，n=1/γ a.s.。

因此，可以得到CRRA偏好假設下的最優(yōu)資產(chǎn)配置。

命題1.CRRA偏好假設下，投資者的最優(yōu)資產(chǎn)配置為：

(31)

從命題1可以看出，三種資產(chǎn)的權(quán)重之和為1，其中每種資產(chǎn)的權(quán)重都取決于三個因素：投資期限τ、通貨膨脹率π和風險偏好γ。

3.2 HARA偏好假設下的最優(yōu)投資策略

根據(jù)風險偏好的不同，HARA效用函數(shù)會有幾種不同的表現(xiàn)形式，為簡化研究，本文以HARA冪效用函數(shù)為例：

(32)

(33)

同理可求出HARA偏好假設下的最優(yōu)財富Y*(T)和拉格朗日乘數(shù)κ′的大小。

(34)

(35)

Y′(t)=H(t)n(γ+1)[n(γ+1)-1]E(eGn)

(36)

類似CRRA簡化方程式的表達，公式(36)可以寫成：

Y′(t)=H(t)n(γ+1)?(t)exp[J[n(γ+1)-1]K(σBar/σr)L(r)]

(37)

進而得到以下隨機過程：

dY′(t)/Y′(t)=[(γ+1)/γ]dH(t)/H(t)+(ar/γ)dBt/Bt+[·]dt

(38)

因此，可以求出HARA偏好假設下投資者的最優(yōu)資產(chǎn)配置。

命題2.HARA偏好假設下，投資者的最優(yōu)資產(chǎn)配置為：

(39)

4 數(shù)值模擬

本文數(shù)值模擬部分的參數(shù)是基于Munk等[11]研究成果進行取值的。具體取值結(jié)果如下：

(ii)dSt/St=(rt+ξS)dt+σ1dz+σ2dzr，其中，σ1=0.0236，σ2=0.0198。

此外，股票風險價格θS=0.0121，利率風險價格θr=0.0213。

4.1 投資期限對最優(yōu)資產(chǎn)組合權(quán)重的影響

表1 不同投資期限下的債券波動度、債券風險溢價(單位：10-3)及增長最優(yōu)組合中的債券權(quán)重

表2 CRRA和HARA偏好假設下不同投資期限最優(yōu)資產(chǎn)組合中債券及現(xiàn)金權(quán)重

圖1 CRRA偏好假設下投資期限對最優(yōu)資產(chǎn)組合中債券權(quán)重的影響

圖2 CRRA偏好假設下投資期限對最優(yōu)資產(chǎn)組合中現(xiàn)金權(quán)重的影響

圖3 HARA偏好假設下投資期限對最優(yōu)資產(chǎn)組合中債券權(quán)重的影響

模擬結(jié)果1：當通貨膨脹率和風險偏好不變時，CRRA和HARA偏好假設下的最優(yōu)資產(chǎn)組合中股票權(quán)重均為固定值，但HARA框架下的股票權(quán)重遠高于CRRA框架下的股票持有比例。債券權(quán)重都隨投資期限的增加而下降(在τ=2后下降趨勢減緩)，現(xiàn)金權(quán)重都呈上升趨勢(在τ=2后上升趨勢減緩)，但HARA偏好假設下會出現(xiàn)買空行為。

表3 CRRA和HARA偏好假設下不同通貨膨脹率下最優(yōu)資產(chǎn)組合中股票、債券及現(xiàn)金的權(quán)重

圖4 HARA偏好假設下投資期限對最優(yōu)資產(chǎn)組合中現(xiàn)金權(quán)重的影響

4.2 通貨膨脹對最優(yōu)資產(chǎn)組合權(quán)重的影響

在風險偏好不變(假設γ=2)及投資期限固定(τ=3)的情況下，文章將考慮不同通貨膨脹率(π=0,0.01,0.02…0.2)對最優(yōu)資產(chǎn)組合中股票、債券及現(xiàn)金權(quán)重的影響。

在CRRA偏好假設下，根據(jù)公式(14)可以求出不同通貨膨脹率下增長最優(yōu)投資組合中股票、債券的權(quán)重，進而根據(jù)公式(31)求出最優(yōu)資產(chǎn)組合中股票、債券及現(xiàn)金的權(quán)重(表3)。由圖5可以看出在γ=2及τ=3的前提下，當通貨膨脹率由0增加到0.2時，股票和債券的權(quán)重幾乎呈線性增長趨勢，而現(xiàn)金權(quán)重始終隨著通脹率的增加而下降。

HARA偏好假設下，最優(yōu)資產(chǎn)組合中的股票權(quán)重始終處于較高態(tài)勢(表3)，并且隨著通貨膨脹率的加大，股票權(quán)重平緩上升(圖6)。債券權(quán)重基本維持在40%-50%左右，并隨著通脹率加大而略有增加。值得注意的是，當風險偏好和投資期限不變時現(xiàn)金賬戶權(quán)重始終為負，這意味著投資者產(chǎn)生了買空行為，當通脹率加大時，買空程度也會隨之加大。

注：星號線代表股票權(quán)重，點號線代表債券權(quán)重，直線代表現(xiàn)金權(quán)重。圖5 CRRA偏好假設下通貨膨脹率對最優(yōu)資產(chǎn)組合權(quán)重的影響

圖6 HARA偏好假設下通貨膨脹率對最優(yōu)資產(chǎn)組合權(quán)重的影響

作為更為普遍的效用函數(shù)，HARA允許出現(xiàn)買空行為。對于長期投資者來說，現(xiàn)金已經(jīng)不是無風險資產(chǎn)，特別是在考慮通貨膨脹因素時，持有現(xiàn)金頭寸風險更為明顯。因此，投資者的買空行為在風險厭惡系數(shù)較低時更為明顯。當然，即便在CRRA偏好假設情況下，也可能會出現(xiàn)買空行為，并且在風險厭惡系數(shù)越低時，買空程度越大(Bajeux-Besnainou等[13])。

模擬結(jié)果2：當投資期限和風險偏好不變時，CRRA和HARA偏好假設下最優(yōu)資產(chǎn)組合中股票和債券權(quán)重都會隨通貨膨脹率的增大而增加，現(xiàn)金比例都呈下降趨勢。但是在HARA框架下，股票和債券的初始權(quán)重要高于CRRA框架下的權(quán)重，并且隨著通貨膨脹率的加大，買空趨勢增強。

5.3 風險偏好對最優(yōu)資產(chǎn)組合權(quán)重的影響。

表4 CRRA及HARA偏好假設下不同風險偏好下最優(yōu)資產(chǎn)組合中股票、債券及現(xiàn)金的權(quán)重

注：星號線代表股票權(quán)重，點號線代表債券權(quán)重，直線代表現(xiàn)金權(quán)重。圖7 CRRA偏好假設下風險偏好對最優(yōu)資產(chǎn)組合權(quán)重的影響

圖8 HARA偏好假設下風險偏好對最優(yōu)資產(chǎn)組合權(quán)重的影響

在CRRA偏好假設下，當投資期限和通貨膨脹率固定時，隨著風險厭惡系數(shù)的增大，最優(yōu)資產(chǎn)組合中股票和債券的權(quán)重平緩下降(圖7)。為了回避風險，投資者更愿意以現(xiàn)金形式擁有資產(chǎn)，當γ=5時，現(xiàn)金權(quán)重已超過80%。便于更好地觀察股票權(quán)重和債券權(quán)重的下降趨勢，圖7展示了當γ=6以后二者的下降速度?？梢钥吹剑敠?6以后，股票權(quán)重下降速度會超過債券權(quán)重下降速度，這更加體現(xiàn)了隨著風險厭惡程度的變大投資者對于風險規(guī)避的追求。

在HARA偏好假設下，隨著風險厭惡系數(shù)的增大，最優(yōu)資產(chǎn)組合中股票權(quán)重和債券權(quán)重都開始下降，而現(xiàn)金權(quán)重開始由負變正，并逐漸增大(圖8)。為了更好地觀察三者之間的關系，圖8展示了γ=6會后的部分結(jié)果。事實上，當風險厭惡系數(shù)足夠大時，通過計算機模擬，三者幾乎呈平行趨勢。需要注意的是，γ=6以后，買空行為消失，這種趨勢與Bajeux-Besnainou等[13]一致。

模擬結(jié)果3：當投資期限和通貨膨脹率不變時，CRRA和HARA偏好假設下最優(yōu)資產(chǎn)組合中股票和債券權(quán)重都會隨風險厭惡系數(shù)變大而減小，但HARA框架下二者的初始權(quán)重遠高于CRRA框架下的權(quán)重?，F(xiàn)金權(quán)重會隨風險厭惡的增大而增加，并且在HARA框架下，買空趨勢逐漸消失。

5 結(jié)語

本文在CRRA和HARA偏好假設下研究了投資期限、通貨膨脹、風險偏好與資產(chǎn)配置的關系。得出的結(jié)論主要有以下幾點：

第一，通貨膨脹會影響股票和債券的風險溢價，一般來說，隨著通貨膨脹率的加大，股票和債券的風險溢價也會增大，進而影響增長最優(yōu)投資組合中二者的權(quán)重，并最終對最優(yōu)資產(chǎn)組合中各資產(chǎn)的權(quán)重產(chǎn)生影響。

第二，影響最優(yōu)資產(chǎn)組合中各資產(chǎn)權(quán)重的因素主要有三個：投資期限、通貨膨脹率與風險偏好。

第三，三種因素在CRRA和HARA偏好假設下對資產(chǎn)配置的影響存在較大差異。

在未來研究中，文章將在模型構(gòu)建中加入消費和預算約束，并考察其對投資者最優(yōu)財富及資產(chǎn)配置的影響。

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Research on Asset Allocation Based on Inflation and Risk Preference

LIU Yu-lin1，2, ZHENG Xiao-chen3

(1.School of Public Affairs,Chongqing University,Chongqing 400030,China;2.Research Center of Public Economy and Public Policy,Chongqing University,Chongqing 400030,China;3.Economics and Business Administration,Chongqing University,Chongqing 400030,China)

Abstract:Asset allocation problem in the condition of uncertainty is both important for academic research and individual investment.The traditional approach to asset allocation relies on Markowitz’s paradigm which provides an elegant mathematical framework of an optimal asset allocation.Then Merton lays the foundation for dynamic asset allocation who considers an expected utility approach to study the optimal portfolio in a continuous time framework which is a breakthrough for modern finance theory.Cash, stock and bond in the generalized definition have been selected in this paper which are the most important three assets for investors and we obtain the optimal wealth and optimal portfolio weights of investors in the CRRA and HARA framework.The portfolio choice of a power utility that investors can maximize expected utility of wealth at a given investment horizon is considered.Closed form solutions are obtained in a dynamic portfolio optimization model.Also, the effects of inflation, risk preference, investment horizon on the asset allocation are analyzed.The results indicate that inflation which has an effect on the risk premium of stock and bond will finally influence the weights of them in the optimal portfolio.The weight of stock is not determined by the investment horizon, and the value is a constant when the inflation rate and risk preference are not changed.While the weight of bond and cash is determined by investment horizon, inflation rate and risk preference.In addition, the factors have great different influences on the asset allocation in the framework of CRRA and HARA.Especially, short sale will happen in the framework of HARA.

asset allocation; optimal portfolio; inflation; risk preference; investment horizon

1003-207(2016)05-0046-08

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2016.05.006

2014-12-13；

2015-09-16

重慶市社會科學重點規(guī)劃項目(2014ZDJJ12)；教育部人文社會科學研究重大課題攻關項目(13JZD023)；重慶市研究生科研創(chuàng)新項目(CYB14003)

簡介：鄭效晨(1986-)，男(漢族)，遼寧鞍山人，重慶大學經(jīng)濟與工商管理學院，博士研究生，研究方向：金融資產(chǎn)配置，E-mail:zhengxiaochen88@163.com.

F832.48

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