刁素蘭, 曾 鵬, 吳紅英

(1.廣州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院， 廣東 廣州 510006; 2.懷化學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 湖南 懷化 418008)

部分跟蹤與傳遞性

刁素蘭1, 曾 鵬1, 吳紅英2

(1.廣州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院， 廣東 廣州 510006; 2.懷化學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 湖南 懷化 418008)

跟蹤性質(zhì); 遍歷偽軌; 平均偽軌; syndetic傳遞

0 引 言

設(shè)(X,f)是一個(gè)拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)(簡稱動力系統(tǒng)),是指(X,ρ)是一個(gè)緊致度量空間,其中ρ表示X上的一個(gè)度量,f:X→X是一個(gè)連續(xù)滿射. 跟蹤性質(zhì)在動力系統(tǒng)中扮演著重要的角色.1980年,BLANK[1-2]引進(jìn)了平均跟蹤性質(zhì)的概念并證明了某些攝動雙曲系統(tǒng)具有平均跟蹤性質(zhì). 自從平均跟蹤的概念問世以來,平均跟蹤性質(zhì)受到了較多學(xué)者的關(guān)注[3-7],并且有越來越多新的跟蹤概念出現(xiàn)[5,8-9].

這時(shí),也稱點(diǎn)z,ε-平均跟蹤ξ.

NIU[7]證明，若映射f有平均跟蹤性質(zhì)且極小點(diǎn)稠密,則f是syndetic傳遞的.

1 預(yù)備知識

設(shè)(X,f)是一個(gè)動力系統(tǒng).U,V?X,記N(U,V)={i∈Z+:U∩f-i(V)≠φ}.設(shè)點(diǎn)x∈X和非空開集U?X,記N(x,U)={i∈Z+:fi(x)∈U}.稱映射f是傳遞的,是指對任意2個(gè)非空開集U,V?X,有N(U,V)≠φ.稱映射f是syndetic傳遞的,是指對任意2個(gè)非空開集U,V?X,N(U,V)是syndetic的. 稱點(diǎn)x∈X是f的一個(gè)極小點(diǎn),是指對X的任意一個(gè)開鄰域U,N(x,U)是syndetic的.f的全體極小點(diǎn)組成的集記為AP(f).

d({i∈Z+:ρ(f(xi),xi+1)<δ})=1.

還需要下面的引理.

2 主要結(jié)果的證明

引理2[12]設(shè)(X,f)是一個(gè)動力系統(tǒng).如果映射f是傳遞的并且極小點(diǎn)稠密,則f是syndetic傳遞的.

證明 不失一般性,設(shè)diamX=1.設(shè)U,V是X中的2個(gè)非空開集.選取x∈AP(f)∩U,y∈AP(f)∩V,取ε>0,滿足B(x,ε)∈U,B(y,ε)∈V.由于x,y是極小點(diǎn),則N(x,B(x,ε)),N(y,B(y,ε))是syndetic的.記N1,N2分別是它們的最大間距,令N=N1+N2.由于f是一致連續(xù)的,則存在0<δ<ε,滿足當(dāng)ρ(u,v)<δ時(shí), 對任意n∈{0,1,…,N},有

(1)d(M)=0;

其中,M1={0,1,2,…,m1}∪{m2,m2+1,…,m3}∪{m4,m4+1,…,m5}∪…;

其中,m1=1,m2=m1+1,…,mi=mi-1+1.

令ξ1=x,f(x),…,fm1(x);

ξ2=y,f(y),…,fm2-m1(y);

ξ3=x,f(x),…,fm3-m2(x);

ξ4=y,f(y),…,fm4-m3(y)

…

由于x,y是極小點(diǎn),存在k,l∈{0,1,…,N-1},使得

由于f的一致連續(xù)性,有

因而

fr+k(z)∈B(x,ε),fs+l(z)∈B(y,ε).

故

fr+k(z)∈B(x,ε)∩f-[(s+l)-(r+k)](B(y,ε))≠?.

因而f是傳遞的.由引理2知,f是syndetic傳遞的.

證明 不失一般性,設(shè)diamX=1.設(shè)U,V是X中的2個(gè)非空開集.選取x∈AP(f)∩U,y∈AP(f)∩V,取ε>0,滿足B(x,ε)∈U,B(y,ε)∈V.由于x,y是極小點(diǎn),則N(x,B(x,ε)),N(y,B(y,ε))是syndetic的.記N1,N2分別是它們的最大間距,令l=N1+N2.由于f是一致連續(xù)的,則存在0<δ<ε,滿足當(dāng)ρ(u,v)<δ時(shí),對任意n∈{0,1,…,l},有

η1=x,f(x),…,f2N-1(x);

η2=y,f(y),…,f2N-1(y).

由于x,y是極小點(diǎn),存在k,m∈{0,1,…,l-1},使得

因?yàn)閒是一致連續(xù)的,因此有

從而

fi1+k(z)∈B(x,ε),fi2+m(z)∈B(y,ε).

所以

fi1+k(z)∈B(x,ε)∩f-[(i2+m)-(i1+k)](B(y,ε))≠?.

因此f是傳遞的. 根據(jù)引理2,f是syndetic傳遞的.

3 結(jié) 語

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【責(zé)任編輯： 周 全】

Partial shadowing property and transitivity

DIAOSu-lan1,ZENGPeng1,WUHong-ying2

(1. School of Mathematics and Information Sciences, Guangzhou University， Guangzhou 510006， China；2. Department of Mathematics, Huaihua University，Huaihua 418008， China)

shadowing property; ergodic pseudo-orbit; average pseudo-orbit; syndetic transitive

2015-12-01;

2015-12-23

刁素蘭(1990-)，女，碩士研究生. E-mail：diaosulan168@163.com.

1671- 4229(2016)05-0031-04

O 189.11

A

汪火云, 曾鵬. 平均偽軌的部分跟蹤[J]. 中國科學(xué), 2016:

10.1360/N012014-00256.