楊保華, 趙金帥

(1.江蘇師范大學(xué)商學(xué)院，江蘇 徐州 221116；2.江蘇師范大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，江蘇 徐州 221116)

?

優(yōu)化離散灰色冪模型及其應(yīng)用

楊保華1, 趙金帥2

(1.江蘇師范大學(xué)商學(xué)院，江蘇 徐州 221116；2.江蘇師范大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，江蘇 徐州 221116)

考慮已有的灰色預(yù)測(cè)模型主要能對(duì)指數(shù)型發(fā)展系統(tǒng)或冪函數(shù)型發(fā)展系統(tǒng)進(jìn)行模擬預(yù)測(cè)，本文構(gòu)建了一種不僅能夠模擬指數(shù)型和冪函數(shù)型的發(fā)展系統(tǒng)，并且能夠體現(xiàn)出二者之間的相互作用關(guān)系的離散灰色冪模型；并針對(duì)初始條件對(duì)離散灰色冪模型模擬精度的影響，首先給出了離散灰色冪模型的建模步驟，然后以平均相對(duì)誤差最小化為目標(biāo)、參數(shù)之間的關(guān)系為約束條件，構(gòu)建了離散灰色冪模型初始條件的優(yōu)化模型，實(shí)現(xiàn)對(duì)離散灰色冪模型初始條件的優(yōu)化。結(jié)果表明，優(yōu)化的離散灰色冪模型使得平均相對(duì)誤差在理論上達(dá)到了最小化，其模擬精度和預(yù)測(cè)精度都高于傳統(tǒng)模型。最后，通過(guò)中國(guó)網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物人數(shù)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)和仿真數(shù)據(jù)分析，說(shuō)明了本文優(yōu)化方法的有效性和適用性。

灰色系統(tǒng); 離散灰色冪模型; 參數(shù)優(yōu)化; 網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物

1 引言

灰色預(yù)測(cè)模型[1-2]通過(guò)累加生成弱化序列的隨機(jī)性，尋找系統(tǒng)變化規(guī)律并以此為基礎(chǔ)建立的預(yù)測(cè)模型，一般具有較高的模擬精度和預(yù)測(cè)精度，為小樣本信息下行為序列的預(yù)測(cè)建模提供了有效工具。作為灰色預(yù)測(cè)模型體系中的核心部分，GM(1,1)模型群[3]已被廣泛應(yīng)用于能源、教育、經(jīng)濟(jì)、管理等方面，同時(shí)眾多學(xué)者在GM(1,1)模型群的特性研究、背景值改進(jìn)、時(shí)間響應(yīng)式優(yōu)化、擴(kuò)展研究等方面開(kāi)展了系統(tǒng)深入的工作[4-6]，極大地推動(dòng)了GM(1,1)模型群的發(fā)展。

由于灰色GM(1,1)預(yù)測(cè)模型存在著由離散形式的方程到連續(xù)形式的方程轉(zhuǎn)變所造成的誤差，謝乃明[7]提出了離散灰色預(yù)測(cè)模型避免了從差分方程到微分方程的跳躍。而GM(1,1)冪模型作為傳統(tǒng)GM(1,1)模型和灰色Verhulst模型的擴(kuò)展，模型中冪指數(shù)可以根據(jù)建模的實(shí)際背景進(jìn)行靈活調(diào)整，以適用于不同的原始序列建模，較好地反映數(shù)據(jù)的非線性特征[8]。為提高GM(1,1)冪模型的建模精度, 研究人員分別從GM(1,1)冪模型背景值插值系數(shù)的優(yōu)化[9]、無(wú)偏性[10]以及病態(tài)型[11]等角度進(jìn)行了研究。此外,為提高冪模型對(duì)震蕩型數(shù)據(jù)的適應(yīng)性,學(xué)者們又構(gòu)建了基于傅立葉級(jí)數(shù)的小樣本振蕩序列灰色預(yù)測(cè)模型[12],這些模型的建立提高了GM(1,1)冪模型的預(yù)測(cè)精度,并且在實(shí)踐中得到了廣泛的應(yīng)用[3-15]。在經(jīng)典GM(1,1)模型和離散GM(1,1)模型的求解過(guò)程中，以第一個(gè)數(shù)據(jù)為白化微分方程的初始條件，然而，Liu Sifeng等[2]和王正新等[9]都從理論上證明了第一個(gè)數(shù)據(jù)與模型的發(fā)展系數(shù)和預(yù)測(cè)值無(wú)關(guān)，研究人員給出了一些初始條件選取的改進(jìn)方法[6-17]。

事實(shí)上，時(shí)間序列預(yù)測(cè)在工業(yè)生產(chǎn)過(guò)程控制、經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)分析、氣象學(xué)等領(lǐng)域中也有著重要的應(yīng)用。目前也有許多較成熟的方法，如統(tǒng)計(jì)回歸[18]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[19]、小波變換[20]、支持向量機(jī)[21]和經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解[22]等，但這些預(yù)測(cè)方法不僅需要復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算，而且依賴于大量的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)。因此，這些方法不適用于短期的小樣本數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)。而對(duì)于具有相對(duì)較多的數(shù)據(jù)的時(shí)間序列預(yù)測(cè)問(wèn)題，研究人員也將上述的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、小波變換、支持向量機(jī)等方法引入到灰色預(yù)測(cè)模型，來(lái)提高灰色預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)精度和適應(yīng)能力[23]。

無(wú)論從什么角度對(duì)灰色預(yù)測(cè)模型進(jìn)行優(yōu)化分析，都無(wú)法避免灰色GM(1,1)模型僅能較好模擬指數(shù)型變化序列和GM(1,1)冪模型僅能較好描述冪函數(shù)型變化序列的不足。事實(shí)上，現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)的演化趨勢(shì)受到多種因素的綜合作用，其變化趨勢(shì)不僅表現(xiàn)為指數(shù)型的增長(zhǎng)[24]或冪函數(shù)型的飽和性增長(zhǎng)[8]，常常還會(huì)受到兩種增長(zhǎng)趨勢(shì)的綜合性的非線性作用，從而使得系統(tǒng)的時(shí)間序列表現(xiàn)出更復(fù)雜的變化態(tài)勢(shì)。

基于此，本文借鑒離散灰色模型的思想，給出一種能夠描述系統(tǒng)變化趨勢(shì)表現(xiàn)出復(fù)雜的變化規(guī)律的離散灰色冪模型，該模型不僅能夠描述時(shí)間序列的指數(shù)型變化和冪函數(shù)型的變化規(guī)律，并能綜合考慮他們之間非線性作用；考慮到初始條件的選取對(duì)模型模擬精度的影響，構(gòu)建初始值優(yōu)化的離散灰色冪模型，應(yīng)用實(shí)例和仿真分析表明新模型可以顯著地改善預(yù)測(cè)模型的建模精度并具有良好的適應(yīng)性。

2 離散灰色冪模型及其特性

定義1 設(shè)x(0)(k)，x(1)(k)如上所述，稱灰方程：

x(1)(k+1)=β0+β1kγ+β2x(1)(k)

(1)

為離散灰色冪模型，其中γ稱為冪指數(shù)。

(2)

其中，

(3)

(4)

性質(zhì)1當(dāng)γ=0時(shí)，離散灰色冪模型適用于具有近似指數(shù)x(t)≈ceat規(guī)律的序列建模。

性質(zhì)2當(dāng)γ=1時(shí)，離散灰色冪模型適用于具有近似非齊次指數(shù)x(t)≈ceat+b規(guī)律的序列建模。

此外，從定理2和定理3關(guān)于離散灰色冪模型的時(shí)間響應(yīng)式可以看出，該模型的模擬和預(yù)測(cè)結(jié)果依賴于參數(shù)β0、β1和β2和初始值x(1)(1)、x(1)(n)，選擇不同的初始值將會(huì)直接影響到最終的模擬預(yù)測(cè)結(jié)果。下節(jié)將研究給定冪指數(shù)γ的情況下，離散灰色冪模型初始條件的優(yōu)化問(wèn)題。

3 離散灰色冪模型的初始條件優(yōu)化

3.1 已知參數(shù)β0、β1和β2的情形下離散灰色冪模型初始條件的優(yōu)化

(5)

證明：由離散灰色冪模型DGPM-x(1)(1)的時(shí)間響應(yīng)式可得：

(1)當(dāng)β2≠1時(shí)，

可得：

(2)當(dāng)β2=1時(shí)，

可得：

(6)

證明：由離散灰色冪模型DGPM-x(1)(n)的時(shí)間響應(yīng)式可得：

(1)當(dāng)β2≠1時(shí)，

可得：

(2)當(dāng)β2=1時(shí)，

即：

3.2 未知參數(shù)β0、β1和β2的情形下灰色離散冪模型初始條件的優(yōu)化

以上是假定模型的參數(shù)β0、β1和β2已經(jīng)確定的情形下得到的初始條件的最優(yōu)解析解。事實(shí)上，初始條件和β0、β1和β2之間有著緊密的聯(lián)系，一旦利用最優(yōu)的初始條件c1和cn替代原始條件x(1)(1)和x(1)(n)，參數(shù)β0、β1和β2也會(huì)相應(yīng)地變化。因此，有必要考慮參數(shù)β0、β1和β2未知的情形下，初始條件優(yōu)化的問(wèn)題。

由定理1可知：

令(BTB)i為用BTY替換BTB中第i列所獲得的矩陣，其中i=1,2,3。則有:

(1)對(duì)于DGPM-x(1)(1)模型，在上述β0、β1和β2的代數(shù)表達(dá)式中，令x(1)(1)=c1。并以平均相對(duì)模擬誤差(ARPE)最小化為目標(biāo)，以參數(shù)之間的關(guān)系為約束條件，構(gòu)建如下優(yōu)化模型：

(7)

(2)對(duì)于DGPM-x(1)(n)模型，在上述β0、β1和β2的代數(shù)表達(dá)式中，令x(1)(n)=cn。并以平均相對(duì)模擬誤差最小化為目標(biāo)，以參數(shù)之間的關(guān)系為約束條件，構(gòu)建如下優(yōu)化模型：

(8)

利用運(yùn)籌學(xué)軟件LINGO(或MATLAB、EXCEL等)可以很方便的求解以上模型，得到參數(shù)c1、cn、β0、β1和β2的優(yōu)化值。

4 應(yīng)用實(shí)例與仿真分析

中國(guó)電子商務(wù)市場(chǎng)隨著社會(huì)信息化發(fā)展而迅速崛起，網(wǎng)上購(gòu)物作為一種新興的消費(fèi)模式應(yīng)運(yùn)而生。2012年，中國(guó)網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物用戶規(guī)模已達(dá)到2.42億人，網(wǎng)購(gòu)用戶比例提升至42.9%，交易規(guī)模達(dá)人民幣12,594億元，占據(jù)中國(guó)社會(huì)零售總額的6%。并自2003年起至2011年期間保持了100%的年復(fù)合增長(zhǎng)，這一擴(kuò)張速度已超過(guò)世界任何一個(gè)國(guó)家。對(duì)比中國(guó)網(wǎng)民總量、寬帶網(wǎng)絡(luò)覆蓋率、智能手機(jī)覆蓋率、中國(guó)人均可支配收入的增長(zhǎng)前景，可以發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物市場(chǎng)的發(fā)展遠(yuǎn)未飽和。據(jù)麥肯錫全球研究院的估計(jì)，2020年中國(guó)網(wǎng)購(gòu)規(guī)模預(yù)估將達(dá)到25000-40000億元，保守估計(jì)其規(guī)模將是2011年的3.5倍。

事實(shí)上，網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物人數(shù)規(guī)模的增長(zhǎng)不僅會(huì)隨電子商務(wù)的快速發(fā)展而體現(xiàn)出指數(shù)型的增長(zhǎng)趨勢(shì)，而且其自身規(guī)模也具有一定的飽和性(即“S”型增長(zhǎng))，并且二者之間也具有一定的交互作用；即網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物人數(shù)演化不僅會(huì)體現(xiàn)出指數(shù)性的快速增長(zhǎng),也會(huì)體現(xiàn)出系統(tǒng)發(fā)展極限的冪函數(shù)性，也受到他們之間相互作用的影響。因此應(yīng)用本文給出的離散灰色冪模型可以較好地描述這種系統(tǒng)內(nèi)在演化規(guī)律，進(jìn)而可以為系統(tǒng)發(fā)展的短期預(yù)測(cè)提供可選擇的工具。

以中國(guó)2006-2012年的網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物人數(shù)數(shù)據(jù)(如表1所示，數(shù)據(jù)來(lái)源于中國(guó)互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)信息中心(CNNIC)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù))為例, 說(shuō)明優(yōu)化離散灰色冪模型的優(yōu)越性。應(yīng)用2006-2012年的7個(gè)數(shù)據(jù), 取γ=1.7774，按照本文提出的優(yōu)化方法可得， c1=3432.789，β0=4133.995，β1=2023.626和β2=0.53096。離散灰色冪模型為：

(9)

根據(jù)時(shí)間響應(yīng)式(9)可對(duì)2013-2014年的網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物人數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè), 應(yīng)用GM(1,1)模型、離散GM(1,1)模型和初值優(yōu)化離散灰色冪模型的模擬與預(yù)測(cè)結(jié)果如表1所示。

其中，2006—2012年為模擬值，2013-2014年為預(yù)測(cè)值。

表1顯示, 傳統(tǒng)優(yōu)化灰色離散冪模型對(duì)2006-2012年我國(guó)網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物人數(shù)的平均模擬相對(duì)誤差為2.19%,按照灰色模型的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)[2]，該模型通過(guò)α=0.05的殘差檢驗(yàn)，可用于短期預(yù)測(cè)。應(yīng)用式(9)可以獲得2013年和2014年的網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物人數(shù)為28174.88和32183.67。

從表1可以看出，應(yīng)用本文提出的初值優(yōu)化離散灰色冪模型的模擬高于傳統(tǒng)GM(1,1)模型和離散GM(1,1)模型。此外，據(jù)CNNIC發(fā)布的2013年第32次中國(guó)互聯(lián)網(wǎng)發(fā)展?fàn)顩r統(tǒng)計(jì)報(bào)告，2013年6月底，我國(guó)網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物網(wǎng)民規(guī)模達(dá)到2.71億人，與2012年12月底相比，2013年上半年增長(zhǎng)率為11.9%。按此增長(zhǎng)速度預(yù)計(jì)，2013年底網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物人數(shù)將達(dá)到3億人。按此數(shù)據(jù)推斷，初值優(yōu)化離散灰色冪模型的預(yù)測(cè)誤差為6%，而GM(1,1)模型和離散GM(1,1)模型的預(yù)測(cè)誤差分別為28%和14%，因此，優(yōu)化初始條件的離散灰色冪模型在模擬和預(yù)測(cè)方面都比GM(1,1)模型和離散GM(1,1)模型更具有優(yōu)勢(shì)。

為進(jìn)一步討論分析本文構(gòu)建模型的實(shí)用性及其作用效果，下面通過(guò)數(shù)據(jù)仿真來(lái)進(jìn)一步的說(shuō)明本文所構(gòu)建模型的適用性。

仿真數(shù)據(jù)主要考慮6種情形的系統(tǒng)發(fā)展態(tài)勢(shì)：低速增長(zhǎng)型、中速增長(zhǎng)型、高速增長(zhǎng)型、先增后減型、遞減型和先減后增型。其中低速增長(zhǎng)型、中速增長(zhǎng)型和高速增長(zhǎng)型用來(lái)模擬系統(tǒng)在不同上升階段情形；先增后減型和遞減型用來(lái)模擬系統(tǒng)飽和后逐步衰減的階段；而先減后增型則用來(lái)描述增長(zhǎng)型系統(tǒng)受到?jīng)_擊擾動(dòng)后的恢復(fù)發(fā)展情形。

仿真數(shù)據(jù)的生成：以2.1356為初值，上述6種情形的γ值分別取為1.01324、1.3354、0.9455、0.6354、-1.2354和-0.1335；若生成的仿真數(shù)據(jù)不滿足上述給定的情形，則重新產(chǎn)生直至生成數(shù)據(jù)滿足要求，具體生成的仿真數(shù)據(jù)見(jiàn)表2。

以每組前5個(gè)數(shù)據(jù)作為建立模型的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，第6個(gè)數(shù)據(jù)作為預(yù)測(cè)對(duì)比數(shù)據(jù)，應(yīng)用本文給出的初值優(yōu)化方法，建立每類數(shù)據(jù)的優(yōu)化預(yù)測(cè)模型，所得的模擬數(shù)據(jù)與預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)見(jiàn)表2。從表2的模擬結(jié)果的平均模擬誤差與預(yù)測(cè)結(jié)果的誤差來(lái)看，本文給出的優(yōu)化初始條件的離散灰色冪模型對(duì)6種典型的數(shù)據(jù)序列具有較好的模擬與預(yù)測(cè)效果，這也表明本文給出的小樣本數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)模型能夠適應(yīng)多種類型的數(shù)據(jù)序列，即具有較廣的應(yīng)用領(lǐng)域。

5 結(jié)語(yǔ)

人類面對(duì)的大量實(shí)際系統(tǒng)都具有信息不完全的特點(diǎn)，正是現(xiàn)實(shí)世界中普遍存在的小樣本、貧信息不確定性系統(tǒng)為灰色系統(tǒng)理論提供了十分豐富的研究資源[24]。 本文借鑒已有的灰色預(yù)測(cè)模型研究的優(yōu)勢(shì)，提出并構(gòu)建了離散灰色冪模型，新模型不僅能夠模擬指數(shù)型增長(zhǎng)序列和冪函數(shù)型增長(zhǎng)序列，并能夠綜合考慮它們之間的相互作用的影響。在上述分析基礎(chǔ)上，建立了給定冪指數(shù)γ的情況下，考慮了參數(shù)β0、β1和β2已知和未知兩種情形下離散灰色冪模型初始條件的優(yōu)化問(wèn)題。應(yīng)用實(shí)例和仿真結(jié)果表明，優(yōu)化初始條件可以有效地改善離散灰色冪模型的建模精度。但考慮到離散灰色冪模型冪指數(shù)γ取值的多樣性和靈活性的特點(diǎn)，如何根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的數(shù)據(jù)特點(diǎn)，建立合理的優(yōu)化模型求解離散灰色冪模型的冪指數(shù)將是一個(gè)研究的重點(diǎn)。此外，以往的研究證明了第一個(gè)數(shù)據(jù)與模型的發(fā)展系數(shù)和預(yù)測(cè)值無(wú)關(guān)，這顯然與灰色系統(tǒng)的最少信息原理相違背[2]，因此，研究建立能夠體現(xiàn)灰色系統(tǒng)最小信息原理的新型預(yù)測(cè)模型也將是一個(gè)重要的研究方向。

表1 GM(1,1)模型、離散GM(1,1)模型和優(yōu)化離散灰色冪模型的建模結(jié)果

表2 基于優(yōu)化初始條件的離散灰色冪模型6種數(shù)據(jù)情形的模擬預(yù)測(cè)對(duì)比分析表

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Optimized Discrete Grey Power Model and Its Application

YANG Bao-hua1, ZHAO Jin-shuai2

(1. Business school ,Jiangsu Normal University, Xuzhou 221116,China；2. Computer college,Jiangsu Normal University, Xuzhou 221116,China)

A large number of practical systems have the characteristics of incomplete information, it is prevalent in the real world of the small sample, and the uncertainty of poor information system provides a very rich resource for the study of gray system theory. Grey prediction model has provided a useful tool for the small sample data predict. But, the existing research suggests that grey forecasting model can better simulate exponential function changes system and power function system, but the existing prediction model cannot better reflecting the exponential and power function combined effects to the system, so it is difficult to apply these model to predict the small sample data which effect by complex multifactorial impact. Based on this consideration, a new grey forecasting model-discrete grey power model is proposed.The new model add one time power function in the existing discrete grey model, and it also allows the power parameters by endue any value. So, the time-responsive features of this model can reflect the exponential and power function changes system, and includes the interaction characteristics of power function and exponential changes in the system. Based on the new model, taking into account the effect of the initial condition in the discrete grey power model, two optimization models are constructed with the objective of minimum average relative error, the constraints of relationships between parameters in order to optimize the initial condition. The example of online shopper from 2006 to 2012 in China is used to compare the simulation and prediction results of GM (1,1) model, discrete GM (1,1) model and the new method, the results show that the optimized model has better simulation and prediction accuracy than other two grey models. Additionally, in order to test adaptive of the new model, under the conditions of a given power exponent, six kinds of situations data Low-growth data、Medium-growth data、Rapid-growth data、Volatility data、Disturbance-growth data and Attenuation data are genercated by using randomly generated method, and the new model is used to simulate and predict the rand data, the results also show that the new model has better stability, which is further illustrated the validity and applicability of the new model. Therefore, the new prediction model constructed in this paper not only enriches the theory of grey forecast model system, but also provides a more rich set of tools for the prediction of small sample system under the combined effects of multiple factors.

grey system; discrete grey power model; parameters optimization; online shopper

1003-207(2016)02-0162-07

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2016.02.020

2014-03-11；

2015-05-20

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71301064)；教育部人文社科基金項(xiàng)目(12YJC630262)

簡(jiǎn)介：楊保華(1979-)，男(漢族)，河南周口人，江蘇師范大學(xué)商學(xué)院副教授，研究方向：灰色系統(tǒng)、應(yīng)急管理、物流工程，E-mail:mathyang@126.com.

N941.5

A