高翔

中圖分類號：TP3文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號：2095-9214（2016）12-0037-01

問題一：初中已學(xué)過函數(shù)，你能舉幾個函數(shù)的例子嗎？

學(xué)生活動：舉例

學(xué)情分析：學(xué)生在初中已學(xué)過函數(shù)的描述性定義，會把函數(shù)看成變量間的依賴關(guān)系，接觸了正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等，了解其圖像和性質(zhì)，且函數(shù)現(xiàn)象大量存在于學(xué)生周圍。

學(xué)生舉例情況預(yù)測：應(yīng)能舉出用解析式表示的函數(shù)，困難之處在于對圖像、表格等函數(shù)的理解。

課堂實況：恰與預(yù)測相同，學(xué)生舉出了如一次函數(shù)、二次函數(shù)的例子，也有同學(xué)能夠舉出實際生活中的實例，但學(xué)生不能舉出圖像和表格的函數(shù)例子。

教師舉例：

①某城市從零點到晚二十四點一天的氣溫變化曲線圖；（幾何畫板演示）②某學(xué)生考試成績表。

學(xué)生順利舉出有解析式的函數(shù)后，對教師所給實例不能做出準(zhǔn)確的判斷，甚至有一些同學(xué)根本無從下手，不知如何判斷。

原因是：學(xué)生已經(jīng)忘記初中所學(xué)的函數(shù)定義，更談不上對定義的應(yīng)用。

對策：教師幻燈片給出初中所學(xué)函數(shù)定義，并引導(dǎo)學(xué)生作簡要分析。重點班學(xué)生能利用定義迅速判斷出教師所給的例子①、②是函數(shù)，而對口班學(xué)生則在知道、分析了定義后仍不能應(yīng)用，需教師再細(xì)致引導(dǎo)、教授如何用定義判斷，之后的判斷比較順利。

教學(xué)感想：在課堂中教師為主導(dǎo)、學(xué)生是主體是新教改教學(xué)的一個基本理念。那么在具體到這一堂課中應(yīng)怎樣貫徹呢？我認(rèn)為應(yīng)根據(jù)不同學(xué)校不同學(xué)生的情況具體問題具體分析。針對學(xué)生初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差，函數(shù)部分仍為難點這一具體情況，教師在這里的“主導(dǎo)”地位體現(xiàn)在幫助學(xué)生回憶初中函數(shù)的定義，意識到“判斷是否是函數(shù)”這一問題的解決工具是我們所學(xué)過的“函數(shù)的定義”，這就為學(xué)生鋪設(shè)了一個臺階，讓如何判斷“是否是函數(shù)（圖像與表格形式的函數(shù)）”這一讓學(xué)生上不著天、下不著地的問題變得有理可依、有據(jù)可查。讓問題恰好處在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)。而實際課堂學(xué)生的回答的情況也表明確實如此。教師引導(dǎo)完后，具體例子的判斷，話語權(quán)交給學(xué)生，貫徹“學(xué)生是主體”這一理念，讓學(xué)生試著運(yùn)用定義去解決問題。此時，學(xué)生狀態(tài)很好，感覺對函數(shù)的判斷很有成就感，學(xué)生積極踴躍地參與回答問題。此時，教師引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步深入思考，將學(xué)生的思維引入更高的一個層次，提出問題二。

問題二：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了“集合”，你能用集合的語言刻畫初中的函數(shù)定義嗎？

也可進(jìn)行分解成：

（1）x、y有范圍嗎？（2）定義中還有一個關(guān)鍵詞是什么？

“對應(yīng)”，我們在定義中給它一個符號f。

教學(xué)感想：對于一些抽象、難度較大的問題，教師要充分發(fā)揮“主導(dǎo)”作用，可將問題內(nèi)容分解，難度降低，適當(dāng)提示，給學(xué)生鋪設(shè)臺階，給予助力。如果放任思考，對于一些基礎(chǔ)不是特別好的同學(xué)可能會不知如何入手去想，從而游離思緒于課堂之外，失去了參與課堂的積極性。

課堂進(jìn)行到這里，學(xué)生的思維已經(jīng)從正面例子的感性認(rèn)知體驗上升到理性的定義總結(jié)，思維與理解都有了一定的深化與發(fā)展。在課堂實況中，教師明顯看到很多學(xué)生面露欣喜，感覺很有收獲，也有所成就。此時，教師進(jìn)一步提問，掀起學(xué)生思維的波瀾。

問題三：對示例②稍做改動，如下表所示，成績還是考試次數(shù)的函數(shù)嗎？

問題四：由于電腦故障，在未進(jìn)行第四次考試的情況下，出現(xiàn)了如下表格，成績還是考試次數(shù)的函數(shù)嗎？

問題五：該生第四次考試缺考，如下表，成績還是考試次數(shù)的函數(shù)嗎？

問題三與問題四實質(zhì)上是通過例子在對概念的內(nèi)涵與外延進(jìn)行理解、辨析；而問題五則是一個反例。這三個問題討論辨析的環(huán)節(jié)是學(xué)生最為熱烈、興奮的環(huán)節(jié)，學(xué)生經(jīng)過前面的訓(xùn)練已經(jīng)有了運(yùn)用定義解決問題的意識，學(xué)生均能自覺運(yùn)用定義去判斷，但有些同學(xué)在定義的關(guān)鍵點的理解上還不夠深入，思維的嚴(yán)謹(jǐn)性有所欠缺，所以在問題的認(rèn)識上有很多矛盾和沖突，學(xué)生之間的爭論此起彼伏，而真理是越辨越明的，通過學(xué)生之間意見的交換、爭論、辨析，學(xué)生的思維始終處在高度亢奮的狀態(tài)，而函數(shù)定義中關(guān)鍵詞的理解也在學(xué)生的辯論中躍然而出，不言而自明了。

問題三學(xué)生的困惑點在于兩個88，爭論的焦點是兩個88符合“唯一”確定的y值嗎？而解決這一問題的關(guān)鍵是理解定義中函數(shù)是建立在兩個集合之間的對應(yīng)?！翱荚嚧螖?shù)”構(gòu)成集合A，“成績”構(gòu)成集合B，運(yùn)用集合中元素具有互異性，兩個88在集合中只能出現(xiàn)一次，即符合唯一性。因此成績是考試次數(shù)的函數(shù)。這里實質(zhì)上考察函數(shù)定義中集合B中元素必須滿足唯一性。即集合A中可以多個元素對應(yīng)集合B中一個元素。

問題四實質(zhì)上考察函數(shù)定義中集合B中元素可以不滿足任意性，即B中元素可以多出來，問題五實質(zhì)上考察函數(shù)定義中集合A中的元素必須滿足任意性，即A中元素不可以多出來。在問題五中學(xué)生爭論的焦點還在于缺考成績?nèi)绾翁幚淼膯栴}，若定義缺考為零分，則是函數(shù)；若定義缺考為沒有成績，則不是函數(shù)。

以上四個表格的例子可以用Venn圖表示為：

這樣表示的好處一是使學(xué)生非常清楚的理解函數(shù)的定義，同時也為后面學(xué)習(xí)映射埋下了伏筆。好處二是從圖中也很容易發(fā)現(xiàn)y組成的集合不一定是集合B，即值域是集合B的子集。

課堂進(jìn)行到這里，學(xué)生異常興奮，感覺已非常明白，函數(shù)的概念具體、生動了許多。這時，教師引導(dǎo)學(xué)生再回到定義中去，讓學(xué)生的思維從感性認(rèn)識再上升到理性的思考與分析，提出進(jìn)一步的思考問題。

問題六：在這個定義中，你認(rèn)為哪些是關(guān)鍵詞？

學(xué)生通過思考這個問題，找出函數(shù)的三要素為定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域。師生共同就上面的每一個例子，找出定義域即為集合A，值域為C=fx|x∈A，且CB。

在這個問題中難點是對應(yīng)關(guān)系f到底是什么？以及對函數(shù)符號y=fx的正確理解。

整堂課學(xué)生的參與度之高，學(xué)生思維之活躍是前所未有的。與舊教材先講映射，函數(shù)概念抽象難懂相比，新教材以大量實例引入，以初中概念為依托，由學(xué)生自己循序漸進(jìn)地得出函數(shù)的新概念，使得概念難度降低，學(xué)生易于接受，再由特殊到一般，映射概念的出現(xiàn)水到渠成。

如果說舊教材像邏輯嚴(yán)謹(jǐn)、諄諄教導(dǎo)的嚴(yán)師，那新教材就像一位循循善誘、娓娓道來的朋友，她使我們的數(shù)學(xué)像墮入凡間的仙子，離我們越來越近了！

（作者單位：石家莊第十一中學(xué)）