江蘇省蘇州市張家港市沙洲中學(xué)(215600) 孫衛(wèi)星

放手探究自主建模—對一道“實習(xí)作業(yè)”的教學(xué)嘗試

江蘇省蘇州市張家港市沙洲中學(xué)(215600) 孫衛(wèi)星

立足課本問題,引導(dǎo)學(xué)生自主應(yīng)用所學(xué)過的立體幾何、曲線與方程、三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識,通過解決課本上“直角煙筒彎頭”實際問題,使學(xué)生完成一個完整的數(shù)學(xué)建模過程,建立起研究與創(chuàng)造的觀念,改善學(xué)生的思維品質(zhì),提高學(xué)生的治學(xué)能力.

數(shù)學(xué)建模 轉(zhuǎn)化 立體幾何 曲線與方程 三角函數(shù) 教材

數(shù)學(xué)建模就是通過計算得到的結(jié)果來解釋實際問題,并接受實際的檢驗,來建立數(shù)學(xué)模型的全過程.為了解決課本上“直角煙筒彎頭”實際問題,創(chuàng)設(shè)一個教學(xué)過程去誘導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望、培養(yǎng)他們的自學(xué)能力,增強他們的數(shù)學(xué)素質(zhì)和創(chuàng)新能力,提高他們的數(shù)學(xué)素質(zhì),強調(diào)的是獲取新知識的能力.

一、課堂教學(xué)回放

江蘇省普通高中課程標準實驗教科書(數(shù)學(xué))必修4課后實習(xí)作業(yè):煙筒彎頭是有兩個圓柱形的煙筒焊在一起做成的,現(xiàn)在要用矩形鐵片做成一個直角煙筒彎頭(如圖,單位: cm),不考慮焊接處的需要,選用的矩形鐵片至少應(yīng)滿足怎樣的尺寸?請你設(shè)計出一個最合理的裁剪方案.(在矩形鐵片上畫出的裁剪線應(yīng)是什么圖形?)

圖1

問題1直角煙筒彎頭與我們熟悉的哪個幾何體比較接近?這個幾何體側(cè)面積如何計算?

學(xué)生通過分析,采用了逆向思維的思考方式,把直角煙筒彎頭,還原成一個圓柱,再把圓柱的側(cè)面展開,還原成矩形,就可以得到矩形鐵片至少應(yīng)滿足的尺寸,即長為9πcm,寬為21cm,如圖所示.

圖2

引導(dǎo)同學(xué)通過“分析法”這種逆向思維,將立體幾何圖形“轉(zhuǎn)化“為平面幾何,完成了第一個問題矩形紙片至少應(yīng)滿足的尺寸,也讓同學(xué)看到了這種重要數(shù)學(xué)思想方法在實際生活中的運用.反之,在制作煙筒彎頭的過程中,他們在通過實驗、觀察、分析,重點考慮的是如何把兩個圓柱形的煙筒焊在一起成為一個直角?他們得出了兩個重要結(jié)論:①圓柱上的截面是一個橢圓;②橢圓平面與圓柱的底面二面角成45°時,才能焊接成直角彎頭.

問題2圓柱上的截面橢圓在側(cè)面展開圖是什么曲線?即矩形鐵片上的裁剪線應(yīng)是什么圖形?

這次實習(xí)作業(yè)的難點是如何得到矩形鐵片的裁剪線.立體圖形是由平面圖形構(gòu)成的,通過研究幾何體的側(cè)面展開圖來研究立體圖形,這是一種好方法.受此啟發(fā),為了得到紙片上的裁剪線是什么圖形,我們準備把圓柱的側(cè)面展開,如果用剪刀沿著母線EF剪開,把圓柱的側(cè)面展開,得到的裁剪線大致圖像.至于裁剪線是怎樣的圖形,我們還要進一步精確研究.在學(xué)習(xí)解析幾何的時候,我們通常建立直角坐標系,求出曲線的方程,從而也能知道曲線的圖形.根據(jù)同學(xué)們的思路是把一個立體幾何圖形轉(zhuǎn)化到它的側(cè)面展開圖來進行研究,再利用曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系來找到曲線的圖形,實現(xiàn)了思維上的一個大跨越.

圖3

接下來以圓柱的側(cè)面展開矩形一邊為Y軸,中位線為X軸建立平面直角坐標系如圖,我們發(fā)現(xiàn)在曲線上任取點Q(x,y),并在平面圖形上,根據(jù)點Q的位置特點試圖尋找到某種x和y關(guān)系,然后建立曲線方程,是一件非常困難的事情.

問題3:建好了直角坐標系后,又用什么方法來得到曲線方程?當點Q的位置在哪里時,容易發(fā)現(xiàn)x和y的關(guān)系?

發(fā)現(xiàn)再回到圓柱體內(nèi)找找關(guān)系,點Q的特點要看得更清楚,我們再一次把平面圖形回歸到立體圖形中,在圓柱體內(nèi)的Q的位置處找x和y關(guān)系.平面直角坐標系中的X軸就是圓柱的一個中間的圓截面.我們發(fā)現(xiàn)x=弧AP,這時如果把眼光放在扇形AOP中,以O(shè)A為始邊,OP為終邊的角在解答過程中,我們一直在想如何利用好橢圓面與圓柱底面所成的角為45°這個條件,為此我們作出了兩平面所成二面角的平面角,即∠QCP=45°,在等腰直角△QCP中,PQ=CP=y,在Rt△OCP中,sinθ=即y=r sinθ=原來是三角函數(shù)正弦曲線的方程.

二、教學(xué)感悟

2.1 高中數(shù)學(xué)建模到底難在哪里,如何提高學(xué)生解應(yīng)用題的能力

高考中加重了數(shù)學(xué)應(yīng)用份量,應(yīng)用題考查的重要性愈顯突出.但現(xiàn)狀表明,“數(shù)學(xué)應(yīng)用題問題”仍是長期困擾學(xué)生和教師的難題.筆者認為高中數(shù)學(xué)建模難在以下方面.

一方面,生活與學(xué)習(xí)脫節(jié),缺乏必要的生活常識,對應(yīng)用題條件產(chǎn)生誤讀,理解與原意出偏差.傳統(tǒng)的教育模式導(dǎo)致了學(xué)生重解題、輕生活,因而生活閱歷有限,對應(yīng)用題的背景和情境不熟,學(xué)生對應(yīng)用題的閱讀理解能力差.應(yīng)用題的背景對大部分考生而言較為陌生,解決問題時可能會產(chǎn)生理解題意上的障礙,得分率自然就低.在教學(xué)中,不妨以例題為基本內(nèi)容,做些生活化的加工,拉近數(shù)學(xué)與生活的距離.傳統(tǒng)應(yīng)用題教學(xué)是為了鞏固數(shù)學(xué)知識,拉大了與現(xiàn)實生活之間的距離,造成這些問題離學(xué)生太遠,學(xué)生欠缺這方面的生活經(jīng)驗,必要時可對教材中應(yīng)用題的選材做適當?shù)馗木?使之成為學(xué)生喜歡的充滿生活樂趣的數(shù)學(xué)問題.

另一方面,學(xué)生做應(yīng)用題時找不著合適的數(shù)學(xué)模型,不能應(yīng)用恰當?shù)臄?shù)學(xué)語言表述問題.用數(shù)學(xué)建模方法解決實際問題,首先是用數(shù)學(xué)語言表達問題即構(gòu)造模型,其次是用數(shù)學(xué)工具求解所建立的模型.用數(shù)學(xué)語言表述問題,包括模型假設(shè)、模型構(gòu)造等.此時,除了要有廣博的數(shù)學(xué)知識、各種實際知識和足夠的實踐經(jīng)驗之外,還特別需要豐富的想象力和敏銳的洞察力.本節(jié)課應(yīng)用題言簡意賅,是課本的“實習(xí)作業(yè)”,重視建模,淡化計算,不失為一道好題.

本應(yīng)用題涉及到立體幾何、曲線與方程、三角函數(shù)等知識,貼近學(xué)生的學(xué)習(xí)實際,背景公平,難度適中,無任何牽強附會之嫌.因此該問題的設(shè)計充分體現(xiàn)了“源于教材而高于教材”的理念,對應(yīng)用題教學(xué)將起到積極的引導(dǎo)作用.考生對該題背景熟悉,對題干的理解較容易,便于建模,較好地考查了學(xué)生的應(yīng)用意識,得到了師生一致好評.

2.2 立足課本平臺,通過再開發(fā)應(yīng)用,提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)、治學(xué)能力

高中數(shù)學(xué)新課標蘇教版的教材習(xí)題編制很有特點、立意鮮明,每道習(xí)題精挑細選,適應(yīng)不同層次學(xué)生的發(fā)展要求.好的問題是知識發(fā)生的源泉是誘發(fā)思維的導(dǎo)火索,是智慧生成的土壤.教師應(yīng)該用好課本習(xí)題,精選典型問題供學(xué)生探究討論,開啟學(xué)生的思維和靈感,滲透數(shù)學(xué)思想方法,提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).激發(fā)學(xué)生參與問題探索的熱情,提高他們的治學(xué)能力.教師利用教材中例題或習(xí)題,使之成為簡單的數(shù)學(xué)建模問題.改編現(xiàn)有數(shù)學(xué)教材中例題或習(xí)題的條件和結(jié)論,符合高中生認識規(guī)律且易激發(fā)學(xué)生探索熱情的簡單數(shù)學(xué)建模問題.

本節(jié)課是針對矩形鐵片上的裁剪線是什么圖形的探究,同學(xué)們通過實驗、猜想、探索、和研討,共同完成了一個不簡單的數(shù)學(xué)建模問題.讓我們體驗到了立體圖形→平面圖形→立體圖形的思路歷程,也感受到了解析幾何與立體幾何及三角函數(shù)等知識的完美結(jié)合.以此搭建再思考的平臺,引導(dǎo)學(xué)生開展探究,可以大大激發(fā)學(xué)生參與課堂的熱情讓死的知識活起來讓靜的課堂動起來.在這次的數(shù)學(xué)建?；顒又?也有一些不足的地方,個別同學(xué)掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識不夠牢固,已學(xué)知識點不能做到熟練應(yīng)用.

2.3 “以生為本”,教師放手讓學(xué)生自主思考、探究為主

建構(gòu)的過程既是積極思考的過程,也是思維能力提升的過程,建構(gòu)離不開思考.知識不完全通過教師傳授得到的,而是學(xué)習(xí)者在一定的情境下,借助教師和學(xué)習(xí)伙伴等的幫助,利用必要的學(xué)習(xí)材料,通過意義建構(gòu)的方式獲得的,我們要為學(xué)生的主動思考創(chuàng)造機會.

首先,要創(chuàng)設(shè)平等參與的情境,為學(xué)生提供一個獨立思考,自我感悟,自主發(fā)展的空間.民主、寬松互動的氛圍,有助于學(xué)生思維的自由馳騁,有助于優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì).其次,要留給學(xué)生充分的思考時間.新課程倡導(dǎo)“以人為本”的理念,我們要尊重學(xué)生的主體地位,充分發(fā)揮學(xué)生思考的主觀能動性,讓學(xué)生多動手、多動腦、多感悟,減少教師的講和學(xué)生的聽,增加學(xué)生的想和思,少以自己的思考代替學(xué)生的思考.讓學(xué)生當好思維活動的主角,通過自己的思考去解決面對的問題.最后、要讓學(xué)生盡情表達自己的想法.教學(xué)中我們要敢于放手讓學(xué)生說出自己的想法,哪怕是錯誤的思路.當學(xué)生把內(nèi)部思維語言轉(zhuǎn)化為外部語言時,就有機會認識自己是怎樣想的,自己的想法是怎樣形成的,實際上是對自己的認知過程進行了再認知,是一次有效提升元認知思維的活動.

本節(jié)課通過一次數(shù)學(xué)建模活動,學(xué)生積極思考,思維主動,快樂地擔當主角,產(chǎn)生了一種種優(yōu)美的解法.教師甘當綠葉,在學(xué)生思維疑惑處,加以恰到好處地點撥引導(dǎo).每個同學(xué)都有些自己的深刻感悟,利用數(shù)學(xué)中的幾何知識可以幫助我們解決許多實際問題,數(shù)學(xué)來源于生活又服務(wù)于生活.如果學(xué)生在生活中能用所學(xué)數(shù)學(xué)知識來解決生活實際中的問題,他們感覺是一件很有意義的事情！