江蘇省江浦高級中學(xué)數(shù)學(xué)組(211800) 肖浩春

不一樣的題目同樣的精彩

江蘇省江浦高級中學(xué)數(shù)學(xué)組(211800) 肖浩春

解析幾何中有很多關(guān)于定點(diǎn)、定值、定直線的問題,這個方面已被研究得很多、很透徹,但還有很多領(lǐng)域尚未被挖掘.筆者近日通過研究,給出下列一些有關(guān)定直線的命題及推廣,找出一些相關(guān)試題的命制與其之間的聯(lián)系,加深對有關(guān)類型題的理解,促進(jìn)我們平時的課堂教學(xué).

圖1

證明設(shè)點(diǎn)M(x0,y0),由題意,x0≠±a.因?yàn)锳1(?a,0),A2(a,0),所以直線MA1的方程為

因?yàn)镻,Q,B三點(diǎn)共線,所以kPB=kQB,即

把P和Q兩點(diǎn)坐標(biāo)代入上式,經(jīng)化簡得

注(1)徐州市2014—2015高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷(理)第19題是此命題的一個特例.

(2)南京市2013屆高三數(shù)學(xué)學(xué)情調(diào)研卷第18題第(3)問是命題1逆命題的一個特例.

注(1)命題1的結(jié)論實(shí)際上是推廣1的特例(當(dāng)m=c的時候),那么證明可參照命題1的思路進(jìn)行,留給讀者完成.

(2)2010江蘇卷第18題第(3)問是推廣1逆命題的一個特例.

(3)此結(jié)論可適用于圓和雙曲線(證明留給讀者完成).

對于圓,則有:已知圓O:x2+y2=a2,圓與x軸的左右交點(diǎn)分別為A1,A2,B為直徑A1A2上一點(diǎn),坐標(biāo)為(m,0)(?a＜m＜a,m≠0),過B任意作一條直線l與圓O交于點(diǎn)P,Q(異于A1,A2)兩點(diǎn),設(shè)直線PA1與直線QA2相交于點(diǎn)M,則點(diǎn)M始終在直線上.

(4)對于拋物線,有一個類似的結(jié)論:

已知拋物線D:y2=2px(p＞0),直線x=m(m＞0)與拋物線相交于A1,A2(A1在第一象限),與x軸相交于點(diǎn)B,過B任意作一條直線l與拋物線D交于點(diǎn)P,Q(異于A1,A2)兩點(diǎn),設(shè)直線PA1與直線QA2相交于點(diǎn)M,則點(diǎn)M始終在直線x=?m上.(證明略)具體地,當(dāng)點(diǎn)B為拋物線焦點(diǎn)時,則點(diǎn)M始終在拋物線準(zhǔn)線上.

略證要證明此命題,首先要用一個重要結(jié)論:

(此結(jié)論容易證,留給讀者思考)設(shè)A(x1,y1),則B(?x1,?y1)因?yàn)?/p>

注泰州市2014—2015高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷(文)第20題是此命題的一個特例.

注(1)命題2的結(jié)論實(shí)際上是推廣2的特例(當(dāng)m=c的時候),那么證明可參照命題2的思路進(jìn)行,留給讀者完成.

(2)此結(jié)論可適用于圓和雙曲線(讀者可參照推廣1的注（3）試著寫出并給出證明).

(3)對于拋物線,有一個類似的結(jié)論:

已知拋物線W:y2=2px(p＞0),B(m,0)(m＞0),F(t,0)(t＞0,t≠m),過B任意作一條直線l與拋物線W交于點(diǎn)P,Q兩點(diǎn),直線PF交拋物線于另一點(diǎn)C,直線QF交拋物線于另一點(diǎn)D,則直線PD與QC的交點(diǎn)M始終在直線x=?t上.(證明略)

具體地,當(dāng)F為焦點(diǎn)時,點(diǎn)M始終在準(zhǔn)線上.

圖3

分析推廣3實(shí)際上是把推廣2中的定點(diǎn)F改為任意一點(diǎn),這樣就導(dǎo)致問題更加復(fù)雜化,雖然點(diǎn)M不在定直線上,但是我們可以得到一個定值的結(jié)果(斜率之積為定值)

證明由題可知

所以

注(1)南京市、鹽城市2015屆高三年級第二次模擬考試(數(shù)學(xué))第18題第2問是此命題的一個特例.

(2)此命題筆者所采取的方法與(1)中?？碱}參考答案所給的方法不一樣:答案是從直線出發(fā),設(shè)直線方程,筆者是從點(diǎn)出發(fā),設(shè)點(diǎn)坐標(biāo).這兩種思路是我們解直線與圓錐曲線位置關(guān)系有關(guān)問題的常用方法.

(3)有興趣的讀者不妨研究在圓、雙曲線、拋物線中有沒有相似的結(jié)論.

在這里筆者給出圓中相似的結(jié)論(不作證明):

已知圓O:x2+y2=a2(a＞0),A為圓上異于圓與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的任一點(diǎn),B與A關(guān)于原點(diǎn)O對稱,F為圓內(nèi)任意一點(diǎn)(不在線段AB上),直線AF交圓于另一點(diǎn)C,直線BF交圓于另一點(diǎn)D,設(shè)直線AD與BC的交點(diǎn)為M,則直線MF的斜率與直線AB的斜率之積為?1.

此結(jié)論即:MF⊥AB,又因?yàn)锽D⊥AM,AC⊥BM,所以點(diǎn)F為三角形ABM的垂心.

注(1)命題3的結(jié)論實(shí)際上是推廣4的特例(當(dāng)m=c的時候),那么證明可參照命題3的思路進(jìn)行,留給讀者完成.

(2)此結(jié)論可適用于圓和雙曲線(猜想和證明留給讀者完成).

(3)對于拋物線,有一個類似的結(jié)論:

已知拋物線W:y2=2px(p＞0),F(m,0)(m＞0),過F任意作一條直線l與拋物線W交于點(diǎn)P,Q兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),過P作垂直y軸的直線交直線OQ于M,則點(diǎn)M始終在直線x=?m上.

此證明可參照命題3的證明思路,略.

具體地,當(dāng)F為焦點(diǎn)時,則M在準(zhǔn)線上.換句話說:此時PO為焦點(diǎn)弦,過P向準(zhǔn)線作垂線,垂足為M,則M,O,Q三點(diǎn)共線.這是拋物線中有關(guān)焦點(diǎn)弦的一個常見結(jié)論.

通過以上的幾個命題及其推廣,我們發(fā)現(xiàn)不同的條件卻有著很多相同或相似的結(jié)論,確實(shí)是“不一樣的題目,同樣的精彩”.