湖南省長沙市雅禮教育集團(tuán)南雅中學(xué)(410129) 石向陽

雙變量中任意與存在混搭不等式問題的辨析與求解

湖南省長沙市雅禮教育集團(tuán)南雅中學(xué)(410129) 石向陽

不等式恒成立問題與能成立問題一直倍受命題人的青睞,也一直是學(xué)生學(xué)習(xí)的疑點、教師教學(xué)的難點、歷年高考的亮點.其實,數(shù)學(xué)中恒成立問題就是任意性問題;能成立問題就是存在性問題,在方程或不等式中就是有解問題.

任意性與存在性問題雖然年年考,但卻在悄然之中發(fā)生著某些改變.總體而言,改變的軌跡是從單變量向雙變量甚至是多變量發(fā)展,從單一任意性或單一存在性向任意與存在混搭上發(fā)展,但不管怎樣發(fā)展,它們的基礎(chǔ)始終還是單變量的任意與存在性問題.

對于單變量的“恒成立”、“有解”的不等式問題,文[1]用數(shù)形結(jié)合的思想,得出了兩組重要的命題(不失一般性,假設(shè)所提及的最值存在).

引理1(1)?x∈A,a＞f(x)恒成立?a＞[f(x)]max(x∈A);

(2)?x∈A,a＜f(x)恒成立?a＜[f(x)]min(x∈A);

引理2(1)a＞f(x)在x∈A上有解?a＞[f(x)]min(x∈A);

(2)a＜f(x)在x∈A上有解?a＜[f(x)]max(x∈A).

對于雙變量中任意與存在混搭的不等式問題,學(xué)生往往更容易迷惑,下面就此問題分析總結(jié)歸納如下:

命題1(1)?x1∈A,?x2∈B使得f(x1)＞g(x2)成立?[f(x)]min＞[g(x)]min;

(2)?x1∈A,?x2∈B使得f(x1)＞g(x2)成立?[f(x)]max＞[g(x)]max.

命題2(1)?x1∈A,?x2∈B使得f(x1)＞g(x2)成立?[f(x)]max＞[g(x)]min;

(2)?x1∈A,?x2∈B使得f(x1)＜g(x2)成立?[f(x)]min＜[g(x)]max.

命題3(1)?x1∈A,?x2∈B使得f(x1)＞g(x2)成立?[f(x)]min＞[g(x)]max;

(2)?x1∈A,?x2∈B使得f(x1)＜g(x2)成立?[f(x)]max＜[g(x)]min.

下面從兩個角度說明上述命題的正確性及合理性.為了節(jié)省篇幅,只解釋命題1(1),其余依此類推.

方法1(分步單變量轉(zhuǎn)化法)“?x1∈A,?x2∈B,使得f(x1)＞g(x2)成立”,第一步,可以先把f(x1)當(dāng)成是常量,“?x2∈B使得f(x1)＞g(x2)成立”等價于f(x1)＞[g(x2)]min;第二步,再把當(dāng)g(x2)成是常量,“?x1∈A使得f(x1)＞g(x2)成立”等價于[f(x1)]min＞g(x2).綜合以上兩步就得出了正確的結(jié)論:“?x1∈A,?x2∈B使得f(x1)＞g(x2)成立?[f(x)]min＞[g(x)]min”.

在f(x1)和g(x2)中,依次把其中一個視為常量,另一個視為變量,這樣就把問題轉(zhuǎn)化成了前面熟悉的單變量的任意(或存在)性問題了．面對多個變量的時候,同樣可以采取類似的方法,可以先把其中的一個視為變量,其它的視為常量,這樣就把問題轉(zhuǎn)化為單變量的常規(guī)題了．

方法2(引入中間變量搭橋法)設(shè)變量k滿足f(x1)＞k＞g(x2),即f(x1)＞k在x1∈A上恒成立且k＞g(x2)在x2∈B上有解(由引理1,引理2)?f(x)min＞k且k＞g(x)min?[f(x)]min＞[g(x)]min.

這里巧妙地利用橋梁k,把雙變量的問題轉(zhuǎn)化為兩個單變量的問題,再利用引理1,引理2使問題得到解決.

例1(2010年山東理科高考22題)已知函數(shù)f(x)= lnx??1,g(x)=x2?2bx+4.若對任意x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),求實數(shù)b的取值范圍.

解法1由命題1知“對任意x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2)”?[f(x)]min≥[g(x)]min.

當(dāng)x∈(0,1),f′(x)＜0;當(dāng)x∈(1,+∞),

所以f(x)在(0,1)上是減函數(shù),在(1,2)上是增函數(shù),所以對任意x∈(0,2),有

而對勾函數(shù)h(x)在x∈[1,2]單調(diào)遞減,

例2(2006年湖北理科高考21題)設(shè)x=3是函數(shù)f(x)=(x2+ax+b)e3?x(x∈R)的一個極值點.

(1)求a與b的關(guān)系式(用a表示b),并求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

解(1)

由題意知f′(3)=0,解得b=?3?2a,從而

令f′(x)=0,得

由于x=3是極值點,所以?a?1≠3,得a≠?4.

當(dāng)a＜?4時,?a?1＞3,f(x)在(?∞,3)上單調(diào)遞減,在(3,?a?1)上單調(diào)遞增,在(?1?a,+∞)上單調(diào)遞減;

當(dāng)a＞?4時,?a?1＜3,f(x)在(?∞,?1?a)上單調(diào)遞減,在(?a?1,3)上單調(diào)遞增,在(3,+∞)上單調(diào)遞減.

(2)當(dāng)a＞0時,由(1)可知:f(x)在區(qū)間(0,3)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(3,4)上單調(diào)遞減且f(0)=?(2a+3)e3＜0,f(4)=?(2a+13)e?1＞0,f(3)=a+6,所以,f(x)在區(qū)間[0,4]上的值域是

所以原命題?存在x1,x2使得g(x2)?f(x1)＜1成立?存在x1,x2使得g(x2)＜1+f(x1)成立.由命題2,原命題?g(x)min＜f(x)max+1?所以必須且只須＜(a+6)+1且a＞0,解得0＜a故a的取值范圍是

解由命題3知:原命題?[f(x)]min＞[g(x)]max.由已知得

解由命題3知原命題?[f(x)]min＞[g(x)]max.

我們可以容易地就求出[g(x)]max:因為

但我們在求f(x)min遇到了很大的障礙,幾乎無法求.山重水復(fù)疑無路,怎么辦?這時不要強(qiáng)求.

其實

例5(2012年山東理科高考21題第II問)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),若對任意x1,x2∈[?1,1],有|f(x1)?f(x2)|≤4,求b的取值范圍.

解原命題?|f(x1)?f(x2)|max≤4?[f(x)]max?[f(x)]min=M≤4,據(jù)此分類討論如下:

與題設(shè)矛盾;

與題設(shè)矛盾.

綜上可知,?2≤b≤2.

例6(2015年新課標(biāo)II卷理科21)設(shè)函數(shù)f(x)= emx+x2?mx.

(1)證明:f(x)在(?∞,0)單調(diào)遞減,在(0,∞)單調(diào)遞增;

(2)若對于任意x1,x2∈[?1,1],都有|f(x1)?f(x2)|≤e?1,求m的取值范圍.

解(1)略.(2)對于任意x1,x2∈[?1,1],都有由(1)知f(x)min=f(0)=1,

當(dāng)m=0時,f(x)=1+x2,此時f(x)在[?1,1]上的最大值是2,所以此時

成立;

當(dāng)m≠0時,

令

所以

所以g(m)在R上單調(diào)遞增,而g(0)=0,所以

即f(1)＞f(?1),[f(x)]max=f(1);又由于,

即f(1)＜f(?1),[f(x)]max=f(?1).令h(x)=ex?x,

所以h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

當(dāng)m＞0時,綜上所述,m的取值范圍是(?1,1).

幾點補(bǔ)充說明:

1.f(x1)≥g(x2)與f(x1)≤g(x2)也可以相應(yīng)地變化處理,如例1、例4、例5、例6;

2.雙變量中任意與存在混搭的不等式問題,可轉(zhuǎn)為兩個最值問題;

3.當(dāng)函數(shù)的最值取不到時,應(yīng)該將最大值、最小值相應(yīng)換成上確界、下確界,而且,不管原來的不等式有沒有等號,任意性(或恒成立)問題要添加等號,如例3;存在性(或有解)問題不能添加等號;

4.例題1的解法2比解法1要簡潔,說明解決雙變量中任意與存在混搭的問題,不要死記結(jié)論,關(guān)鍵是掌握兩種方法:分步單變量轉(zhuǎn)化法、引入中間變量搭橋法,把雙變量的問題轉(zhuǎn)化為單變量的問題進(jìn)行處理.如果兩個最值有一個很難求出,需要復(fù)雜的討論時,就先求出容易求的那一個最值.問題就變?yōu)榱藛巫兞康娜我馀c存在性問題,再用分離參數(shù)法就簡單多了.例4更好地說明了這一點.

由上可見,雙變量中任意與存在性問題,是單變量中任意與存在性問題的延伸,本質(zhì)上是一致的,方法上是統(tǒng)一的.在平時的學(xué)習(xí)中只有深刻理解問題的本質(zhì),善于類比和等價轉(zhuǎn)化,才能輕松應(yīng)對.

總之,雙變量中任意與存在混搭的不等式問題,實質(zhì)是研究相應(yīng)函數(shù)的最值問題,把任意與存在混搭問題化歸為最值問題是解決問題的關(guān)鍵所在,也正是在這一點上體現(xiàn)學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)新性.

[1]石向陽.含參數(shù)不等式四類問題的辨析與求解.數(shù)學(xué)通訊,2001(11). (中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)(人民大學(xué)),2001(11),全文轉(zhuǎn)載.)