江蘇省江浦高級(jí)中學(xué)(211800) 徐愛(ài)勇

對(duì)一道解幾題的解法探究與辨析思考*

江蘇省江浦高級(jí)中學(xué)(211800) 徐愛(ài)勇

1.問(wèn)題背景

在解題過(guò)程中,對(duì)于同一道試題,從多個(gè)角度去分析探究,就會(huì)得到不同的啟示,從而引出豐富多樣的解法.因此,在進(jìn)行解題教學(xué)時(shí),我們不失時(shí)機(jī)地開(kāi)展“一題多解”訓(xùn)練,通過(guò)廣泛地聯(lián)想,使學(xué)生的思維觸角伸向不同的方向、不同的層次,這樣不僅能鞏固復(fù)習(xí)所學(xué)知識(shí),而且能較好地培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性.

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容,也是每年高考的一個(gè)必考點(diǎn).在近些年的高考和?？贾?出現(xiàn)了許多精彩的考題.又由于研究雙曲線及拋物線的方法與橢圓有諸多相似之處,再考慮到江蘇高考對(duì)橢圓的考試要求(B級(jí))明顯地高于雙曲線(A級(jí))和拋物線(A級(jí)),故而對(duì)與橢圓相關(guān)試題的命制成為各類考試的一個(gè)熱點(diǎn).

作為數(shù)學(xué)教師,我們應(yīng)當(dāng)站在更高的層次上來(lái)看待這些試題,通過(guò)對(duì)這些精彩試題研究,揭示它們的解法和算理,提升學(xué)生的興趣,發(fā)揮其最大的教學(xué)功能.本文將對(duì)一道?？冀馕鰩缀晤}展開(kāi)解法探究、思維辨析和點(diǎn)滴思考,并能夠引起廣泛地關(guān)注,以期達(dá)到對(duì)“一題多解”有著較為全面的認(rèn)識(shí).

2.題目展示

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)設(shè)直線PF2的傾斜角為α,直線PF1的傾斜角為β,當(dāng)β?α=時(shí),證明:點(diǎn)P在一定圓上;

(3)設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為Q,在滿足條件(2)的情形下證明: PF1+PF2=PQ.

(3)下面著重研究第(3)問(wèn).

3.解法探究

3.1 思維基點(diǎn)1—從代數(shù)方程出發(fā)

解法1因?yàn)?/p>

圖1

3.2 思維基點(diǎn)2—從正弦定理出發(fā)

在Rt△PQR中,

3.3 思維基點(diǎn)3—從余弦定理出發(fā)

3.4 思維基點(diǎn)4—從托勒密定理出發(fā)

解法4托勒密定理指出,圓的內(nèi)接凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積.根據(jù)題意,得

又因?yàn)?/p>

所以PF1+PF2=PQ.

3.5 思維基點(diǎn)5—從幾何構(gòu)造出發(fā)

解法5因?yàn)镼F1=QF2,所以∠QPF1=∠QPF2= 60°,在PQ上截取PM=PF2,PN=PF1,△PF2M與△PF1N是等邊三角形,易證△F1QN≌△QF2M,所以QN=F2M,PN=PF1,所以PF1+PF2=PQ.

圖2

4.思維辨析

4.1 從方程的角度出發(fā),增加解題必勝的信念

方程思想是通過(guò)分析問(wèn)題中的變量間的等量關(guān)系,從而建立方程(或方程組),或運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問(wèn)題,使問(wèn)題易于解決,其精髓是方程(組)的確定.

根據(jù)本題所給的條件,我們不難得出如下的方程:

而對(duì)于這四個(gè)方程,我們瞄準(zhǔn)一個(gè)目標(biāo)(PF1+PF2=PQ),并且緊緊抓住問(wèn)題中的兩個(gè)變量(x,y),那么,只需對(duì)方程(4)做合理變形即可.我們的學(xué)生在應(yīng)試中對(duì)解析幾何的運(yùn)算存在較大地盲目性,在解題的過(guò)程中的目標(biāo)意識(shí)不夠明確.究其原因,應(yīng)該是在平時(shí)的訓(xùn)練中缺乏對(duì)字母運(yùn)算的“方程意識(shí)”.鑒于此,我們?cè)谄綍r(shí)的解幾教學(xué)環(huán)節(jié)中,加強(qiáng)方程思想的滲透,勢(shì)必會(huì)增加解題必勝的信念.

4.2 從函數(shù)的角度出發(fā),提高解題轉(zhuǎn)化的能力

函數(shù)思想是運(yùn)用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn),集合與對(duì)應(yīng)的思想,去分析和研究數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系,建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù),再利用函數(shù)的圖像或性質(zhì)去分析問(wèn)題,轉(zhuǎn)化問(wèn)題,從而使問(wèn)題獲得解決,其精髓是構(gòu)造函數(shù).

根據(jù)前面的分析,我們較容易得到這樣一條清晰的解題流程:

實(shí)踐證明,思維水平的提升將極大地推進(jìn)學(xué)生運(yùn)算技能的提高.解題教學(xué)中適時(shí)揭開(kāi)“技巧”的神秘面紗,揭示其蘊(yùn)含的思想方法,對(duì)于提高學(xué)生的解題能力大有裨益.

4.3 從表達(dá)的角度出發(fā),豐富解題不同的方法

解題過(guò)程的繁簡(jiǎn)程度是決定解題成敗的重要因素.同樣的思路,不同的過(guò)程,解題效果會(huì)迥然不同.到目前為止,我們已經(jīng)捕獲這樣的關(guān)鍵信息—表達(dá)好點(diǎn)P.由于點(diǎn)P在圓弧x2+y2?2y?3=0(y＜0)上,那么,我們?cè)诒磉_(dá)點(diǎn)P的過(guò)程中,就有了多種形式,從而產(chǎn)生了不同的策略.

策略1(詳見(jiàn)解法1):

策略2(詳見(jiàn)解法2、3):

策略3(詳見(jiàn)解法4、5):

4.4 從辯證的角度出發(fā),審視解題活動(dòng)的意義

筆者在指導(dǎo)學(xué)生解題時(shí),首先強(qiáng)調(diào)通性通法,當(dāng)然也不忽視奇思妙解.盡管有時(shí)思維受阻,抓耳撈腮,但從來(lái)沒(méi)有半途而廢,一點(diǎn)點(diǎn)積累,一次次回味,承秉多想少算,講究解題高效率,因此經(jīng)常性地收獲著“意外”的驚喜.解法5所采用的“構(gòu)造法”,就是一個(gè)“意料之外,情理之中”的產(chǎn)物.

當(dāng)下,在淡化技巧的環(huán)境下談奇思妙解,是否為唱反調(diào)?筆者認(rèn)為,任何觀念都有各自流行的時(shí)代,回顧過(guò)度追求技巧的昨天,也許今天就該流行通性通法,但如果過(guò)度偏向一方,只會(huì)走極端,這種極端不是解決具體問(wèn)題中的極端,而是觀念上的極端.

5.點(diǎn)滴思考

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)探究,也強(qiáng)調(diào)一題多解,通過(guò)多方位、多角度、多途徑、多方式觀察和解決問(wèn)題,能夠激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情,能夠進(jìn)一步增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)基本概念的理解,能夠提高處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力,能夠指引我們找到多題一解的簡(jiǎn)捷通法.因此,我們?cè)谄綍r(shí)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中,要善于多視角、多方面、全方位地分析思考問(wèn)題,以達(dá)到拓寬思路、提高解題能力、發(fā)展創(chuàng)新思維的目的.

同時(shí),對(duì)學(xué)生實(shí)施思維訓(xùn)練的操作過(guò)程中,還要注意以下幾個(gè)環(huán)節(jié):

(1)問(wèn)題(課題)應(yīng)具有探究性、可創(chuàng)造性;

(2)在啟發(fā)性思維的過(guò)程中,應(yīng)注意教師的主導(dǎo)與指導(dǎo)作用;

(3)給學(xué)生充分的時(shí)間進(jìn)行發(fā)散性思維訓(xùn)練;

(4)已達(dá)成解決問(wèn)題方法的共識(shí)后,教師應(yīng)加以總結(jié),以獲得理性認(rèn)識(shí);

(5)加強(qiáng)反饋訓(xùn)練,以深化理性認(rèn)識(shí).

可見(jiàn),不同的視角,產(chǎn)生不同的解題思路.通過(guò)集中展示,更有利于學(xué)生感悟解決問(wèn)題的通性通法,有效提高舉一反三、觸類旁通的能力.在此過(guò)程中,學(xué)生容易感受到:解題教學(xué)不要圖多求難,重視引導(dǎo)學(xué)生多角度審視,全方位探究,復(fù)習(xí)才能收到實(shí)效.

[1]韓雪華.淺析解析幾何運(yùn)動(dòng)變化型問(wèn)題中的參數(shù)選取[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2013,8,55—56.

[2]徐愛(ài)勇.習(xí)題講評(píng)中也要關(guān)注“正確下的貓膩”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2015,4,64—66.

[3]徐愛(ài)勇.對(duì)一道?？碱}多維辨析與深層思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2015,7,32—34.

*本文系江蘇省教育科學(xué)規(guī)劃十二五課題“生態(tài)課堂觀下分層自主學(xué)習(xí)模式的建構(gòu)研究”(批準(zhǔn)文號(hào):201303LX)階段性研究成果.