江蘇省南通市通州區(qū)二甲中學(226321)陸忠華

善用衍生結論,巧解關于三角形外心的向量問題

江蘇省南通市通州區(qū)二甲中學(226321)陸忠華

在近年的數(shù)學模擬考試、期末考試中,出現(xiàn)了一類關于三角形外心的向量問題,考生普遍反應題目難,解題方向不明確,存在較大的解題障礙.筆者研究后發(fā)現(xiàn),該類問題如果能善用一個解題的衍生結論,那么解題的方向會豁然開朗,“難題”將不再是“難題”.

下面我們先來探究一個問題:

已知如圖1,△ABC的三邊分別為a,b,c,點O是△ABC的外心,試用邊長a,b,c表示下式:

圖1

圖2

圖3

利用此衍生結論,可以很好地解決與三角形外心有關的問題,下面我們舉例來說明.

一、利用衍生結論解決求值問題

圖4

二、利用衍生結論解決求范圍問題

例3(2012年無錫高三期末第13題)設點O是△ABC的三邊中垂線的交點,且AC2?2AC+AB2=0,則的取值范圍是___.

分析:已知條件是關于邊的二次關系,利用衍生結論(3)可以將目標轉化成邊的關系,在結合二次函數(shù)知識可以解決.

三、利用衍生結論解決多參量問題

通過以上各例,我們會發(fā)現(xiàn),類似問題之所以能被簡單的解決,關鍵在于衍生結論的使用,提供了問題處理的方向,找到了問題轉化的途徑.對衍生結論的研究,使我們對關于三角形外心的向量表示式有了進一步的認識,更能厘清向量與數(shù)量之間的轉化關系,提高了學生的解題能力,加深了學生對數(shù)學的認知.