新疆石河子第一中學(xué)高中數(shù)學(xué)組(832000)朱友忠

一道“?？碱}”最大值的探究及拓展

新疆石河子第一中學(xué)高中數(shù)學(xué)組(832000)朱友忠

一次高三數(shù)學(xué)模擬試卷上有一道填空題(第16題,填空壓軸題)引發(fā)的一個(gè)創(chuàng)新問(wèn)題,最大值是“恒”為定值嗎?的確值得我們?nèi)ヌ骄?

分析對(duì)錯(cuò) 發(fā)現(xiàn)問(wèn)題 探究問(wèn)題 歸納結(jié)論

圖1

學(xué)生答題出錯(cuò)原因的分析:

據(jù)閱卷情況統(tǒng)計(jì)結(jié)果,約有3%的學(xué)生給出了正確答案填“4”;約有80%的學(xué)生是錯(cuò)填約有17%的人空著不填或是隨便猜一個(gè)別的答案.

經(jīng)事后調(diào)查,填“4”的某些學(xué)生是“瞎貓碰上了死耗子”,好運(yùn)氣,沒(méi)有任何依據(jù);比如,有個(gè)別學(xué)生把該橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)依次連結(jié)得到一個(gè)菱形,此菱形的面積正好是正確答案“4”;還有一些學(xué)生把兩邊過(guò)焦點(diǎn)的平行四邊形直接誤改為橢圓內(nèi)接矩形的最大面積,此矩形的的最大面積也正好是“4”,這些學(xué)生竟然將“4”填在答題卷上,歪打正著,令人啼笑皆非,只能是一個(gè)巧合的答案,依據(jù)不足;個(gè)別學(xué)生是用通解通法正常思路,化了大力氣,認(rèn)真細(xì)致作出了解答;大部分學(xué)生也用的此方法,覺(jué)得運(yùn)算量較大,半途而廢,就把該平行四邊形的面積直接理解為過(guò)焦點(diǎn)的矩形面積是最大的,所以導(dǎo)致填“這個(gè)錯(cuò)誤的答案.

經(jīng)對(duì)此題的進(jìn)一步探究,并整理了學(xué)生所思所想,得出一個(gè)重要的結(jié)論,又將該結(jié)論在講評(píng)課上展示出來(lái),供同學(xué)們參考.

將此題歸納為下述兩類(lèi)問(wèn)題,的確值得我們細(xì)致地探究一番.

問(wèn)題一、在橢圓內(nèi)過(guò)焦點(diǎn)的任意內(nèi)接平行四邊形,如圖2,求平行四邊形面積的最大值的問(wèn)題.

問(wèn)題二、在橢圓內(nèi)不過(guò)焦點(diǎn)任意的內(nèi)接平行四邊形,如圖3,求平行四邊形面積的最大值的問(wèn)題.

設(shè)在橢圓內(nèi)過(guò)焦點(diǎn)的內(nèi)接矩形,如圖4,面積的最大值為S0;設(shè)在橢圓內(nèi)過(guò)焦點(diǎn)的內(nèi)接平行四邊形,如圖5,面積的最大值為S1;設(shè)橢圓內(nèi)不過(guò)焦點(diǎn)任意內(nèi)接矩形,如圖6,的最大面積為S2;設(shè)在橢圓內(nèi)不過(guò)焦點(diǎn)任意的內(nèi)接平行四邊形,如圖7,面積的最大值為S3;設(shè)順次連結(jié)橢圓四個(gè)頂點(diǎn)的四邊形,如圖8,的面積為S4,則S0,S1,S2,S3,S4有著怎樣的關(guān)系呢?

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

圖7

圖8

對(duì)“問(wèn)題一”的探究

推導(dǎo)一(智取)

圖9

圖10

圖11

最大.故在橢圓內(nèi),過(guò)焦點(diǎn)的內(nèi)接平行四邊形面積最大為S1,即S1=2ab.

圖12

對(duì)“問(wèn)題二”的探究

圖13

探究一:先考慮斜率不存在的情形,設(shè)直線AB,CD的方程分別為,x=?t和x=t,如圖12所示,令A(yù)(xA,yA),B(xB,yB)所以

所以

當(dāng)θ=45°時(shí)取等號(hào),即S2=2ab.

探究二:由如圖14所示,當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)直線AB的方程為: y=kx+m,由橢圓的對(duì)稱性可設(shè)直線CD的方程為:y=kx+n;設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)

圖14

因?yàn)閙≠n,所以m+n=0,設(shè)兩平行直線AB,CD間的距離

圖15

問(wèn)題二、③先考慮,當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),橢圓內(nèi)任意內(nèi)接矩形,如圖4,最大面積S2=2ab.④先考慮,當(dāng)直線AB的斜率kAB存在時(shí),橢圓內(nèi)任意內(nèi)接平行四邊形,如圖5,最大面積S3=2ab.⑤該橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)順次連結(jié)的一個(gè)菱形,如圖6,的面積S4=2ab.綜上,關(guān)于面積最大值之間的相互關(guān)系(注:“Si”(i=0,1,2,3,4)表示橢圓中內(nèi)接平行四邊形面積的最大值)有如下結(jié)論: